江苏省扬州市高邮市第一中学2020-2021学年高三上学期9月阶段性测试数学试题

江苏省扬州市高邮市第一中学2020-2021学年高三数学阶段性测试
一､选择题
1. 已知集合{=A x y =，{}12B x x =-＜＜ ，则A B =（ ） A. ()1,1- B. (]1,1- C. [)1,2 D. ()1,2
C
求出集合A 的范围，直接进行交集运算即可得解.
{{}
==1A x y x =≥，
故{}|12A B x x =≤<，故选：C.
本题考查了集合交集的运算，考查了求函数定义域，在求集合时，注意描述对象的确定，属于简单题.
2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A. 1
y x
= B. 1y x =-
C. lg y x =
D. 12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
B
先判断函数的奇偶性，再依据单调性进行选择．
1y x =为奇函数；lg y x =的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是偶函数但在(0，＋∞)上为减函数；1y x =-在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数．故选B 本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性的应用．
3. 函数()3
ln 2f x x x =-的图象在点11,
22f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程为（ ） A. 5344
y x =- B. 5
24y x =-+
C. 1144
y x =
- D. 1
4
y x =-
A
利用导数求出切线的斜率，求出12f ⎛⎫
⎪⎝⎭的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
依题意，1128f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，()2
13f x x x '=-，故切线斜率1352244k f ⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭，
所求切线方程为151842x y ⎛⎫⎛
⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭-，即5344y x =-.故选：A .
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
4. 对任意R x ∈，函数()32
7f x ax ax x =++不存在极值点的充要条件是（ ）
A. 021a ≤≤
B. 021a <<
C. 0a ≤或21a ≥
D. 0a <或21a >
A
求出导函数()'f x ，由方程()0f x '=没有变号的实数解即可得．
由题意()2
327f x ax ax '=++，()f x 不存在极值点，
0a =时，()70f x '=>，()f x 单调递增，无极值点；
0a ≠时，则24840a a ∆=-≤，解得021a <≤， 综上021a ≤≤．故选：A ．
本题考查用导数与函数的极值的关系，对于可导函数，如果导函数存在变号的零点，则原函数有极值．如果没有变号的零点，则原函数无极值．
5. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日:以弦乘矢，矢又自乘，并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=
1
2
（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为7
2
平方米，则cos ∠AOB =（ ） A. 1
25
B.
325 C. 15
D.
725
D
利用弧田面积公式可求出矢长，继而求出半径和圆心到弧田弦的距离，则可求出cos ∠AOD ，由二倍角可求出cos ∠AOB .
如图，由题意可得：AB =6， 弧田面积S =
12（弦×矢+矢2）=1
2（6×矢+矢2）=72
平方米． 解得矢=1，或矢=-7（舍），
设半径为r ，圆心到弧田弦的距离为d ，
则221
9r d r d -=⎧⎨=+⎩，解得d =4，r =5， ∴cos ∠AOD =
45
d r =， ∴cos ∠AOB =2cos 2∠AOD -1=
3225
-1=7
25．故选：D ．
本题考查传统文化题目，考查二倍角，属于基础题.
6. 函数1
()ln ||f x x x
=+的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
A
当0x >时，利用导数可得()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，故排除,B C ，根据()0f e ->排除D ，则可得答案.
当0x >时，1()ln f x x x
=+，22111
()x f x x x x -'=-=，
由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，
所以()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，故排除,B C ， 又11
()ln ||10f e e e e
-=-+
=->-，故排除D .故选：A. 本题考查了根据函数解析式选择图象，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.
7. 已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）
A. -7
B. 7
C. 1
D. -1
B
由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α，
再由两角和的正切公式()tan αβ+=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+-，将tan 2α
代入运算即可.
解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
，
所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，
又()1
tan 3αβ+= ，
则
tan tan 1
1tan tan 3
αβαβ+=-，
解得tan β= 7，故选B.
本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.
8. 设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ）
A. 1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B. 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C. 1,,233e e ⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. 1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭
C
()f x 恰有两个极值点，则0f
x 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，
另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02
x g x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一
个不是1的解时t 应满足的条件. 由题意知函数()f x 的定义域为0,
，()
()2
21e 121x x f x t x x
x -⎛⎫'=-+-
⎪⎝⎭
()()21e 2x
x t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2
e 122x x x t x x
⎛⎫
-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以0f
x
恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一
个解由方程
e 02
x
t x -=+确定，且这个解不等于1. 令()()e 02x
g x x x =>+，则()()()
2
1e 02x
x g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而
()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e
3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭恰有两个极
值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.故选：C
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 二､多选题
9. 下列四个函数中，最小值为2的是（ ）
A. 1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫
=+<≤ ⎪⎝⎭
B. 1
ln (
0,1)ln y x x x x =+>≠ C. 2y = D. 44x x y -=+
AD
由基本不等式的适用条件和取等号的条件，逐项判断即可得解. 对于A ，当
02
x π
<≤
时，sin 0x >，
1sin 2sin =+
≥=y x x ，当sin 1x =即2x π=时，等号成立，
所以1sin 0sin 2y x x x π⎛⎫
=+
<≤ ⎪⎝⎭
的最小值为2，故A 正确； 对于B ，当01x <<时，1
ln 0ln y x x
=+<，故B 错误；
对于C ，2
2y =
=≥=，
1=≥ 所以2
y =
的最小值不为2，故C 错误；
对于D ，442x x y -=+≥=，当且仅当41x =即0x =时，等号成立， 所以44x x y -=+的最小值为2，故D 正确.故选：AD.
本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
10. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边上的一点为()2,P m m -（0m ≠），则下列各式一定为负值的是（ ） A. sin cos αα B. tan α C. cos sin αα- D. cos2α
AB
由终边上一点的坐标，根据m 与0的大小关系分类讨论坐标所在象限，应用同角三角函数的坐标表示，可得正、余弦及正切函数值，进而判断选项的正误 由题意知： (1)若m > 0时，有
1
sin tan
2ααα===-
∴23
sin cos ,cos sin 2
55ααααα=--==
(2)若m < 0时，有
1sin tan
2ααα=
==-
∴23
sin cos ,cos sin 2
55ααααα=--==
综上，知：一定为负值的有tan α、sin cos αα
故答案为：AB
本题考查了同角三角函数，根据已知角终边上一点结合分类讨论的方法确定各函数值、应用二倍角余弦公式求值，最后判断由它们组成的三角函数的符号
11. 已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数()f x 的图象关于2
x π=
直线对称
B. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭对称
C. 函数()f x 在区间36ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增
D. 1y =与图象()231212y f x x π
π⎛⎫=-≤≤ ⎪
⎝⎭
的所有交点的横坐标之和为83π BCD
根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
由题意2A =，254312T πππ⎛⎫
=⨯-= ⎪
⎝⎭
，∴22πωπ==，又22sin 223πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，42,32k k Z ππϕπ+=-∈，又ϕπ<，∴6
π
=ϕ， ∴
()2sin(2)6f x x π=+． ∵722
6
6
π
π
π⨯
+
=
，∴2x π
=不是对称轴，A 错；
sin 20126ππ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，∴,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭是对称中心，B 正确；
36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，时，2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；
2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，1sin 262x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，2266x k πππ+=+或522,66x k k Z πππ+=+∈，
即x k π=或3
x k π
π=+，k Z ∈，又2312
12x π
π-
≤≤
，∴40,,,33
x πππ=，和为83π
，D 正确．故选：BCD ．
关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数()f x 的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出26
x π
+
的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．
12. 已知111ln 20x x y --+=，2222ln 260x y +--=，记221212()()M x x y y =-+-，则（ ）
A. M 的最小值为
16
5 B. 当M 最小时，2145
x = C. M 的最小值为4
5
D. 当M 最小时2125
x =
AB
根据条件可将221212()()M x x y y =-+-的最小值，转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线
262ln 20x y +--=的距离的最小值的平方，结合两直线的位置关系和导数的几何意义，即可求
解.
由121ln 20x x y --+=和2222ln 260x y +--=， 则221212()()M x x y y =-+-的最小值，
可转化为函数ln 2y x x =-+图象上的点到直线262ln 20x y +--=的距离的最小值的平方， 又由ln 2y x x =-+，可得1
1y x
'=
-， 因为与直线2222ln 260x y +--=平行的直线的斜率为12
-
， 所以11
12
x -=-，解得2x =，则切点坐标为(2,ln 2)，
所以(2,ln 2)到直线2222ln 260x y +--=上的距离d =
=
，
即函数ln 2y x x =-+上的点到直线262ln 20x y +--=上的点的距离的最小值为d =
，
所以221212()()M x x y y =-+-的最小值为2
165
d =
， 又过(2,ln 2)且与直线262ln 20x y +--=垂直的直线为ln22(2)y x -=-， 即24ln 20x y --+=，
联立方程组24ln 20262ln 20x y x y --+=⎧⎨+--=⎩，解得14
5x =，
即当M 最小时，214
5
x =
.故选：AB 本题主要考查了函数与方程综合应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，合理转化求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 三､填空题
13. 1
4
ln 1
2
1(0.25)
e π
-⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭_______________.
1-
本题根据根式运算与分数指数幂的运算直接计算即可.
1
4
ln 1
2
1(0.25)|3|0.54321
e π
ππππ-⎛⎫⨯-=-+⨯-=-+-=- ⎪⎝⎭，
故答案：1-.
本题考查根式的运算与分数指数幂的运算，是基础题.
14. 函数()2
2cos 31y x π=-的最小正周期为________.
13
由余弦的倍角公式知cos(6)y x π=，结合最小正周期2||
T π
ω=
即可求出最小正周期 ()22cos 31cos(6)y x x ππ=-= 由余弦函数的最小正周期2||T πω=
知：21
63
T ππ=
= 故答案为：1
3
本题考查了已知三角函数求最小正周期，首先根据三角恒等变换中的余弦倍角公式化简，再结合三角函数的周期公式求最小正周期
15. 已知01a <<，01b <<，且4()43a b ab +=+，则2+a b 的最大值为_______________.
32-
先根据4()43a b ab +=+得()()41110a b --+=，故()
1
141a b -=
+-，进而得
()()1221341a b b b ⎡⎤
+=-+-+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
，再根据基本不等式即可求解.
解：因为4()43a b ab +=+，所以44430a b ab +--=， 所以()()414110a b b -+-+=，所以()()41110a b --+=， 所以()
1
141a b -=
+-，
所以()()()()()11
1212213213414141a b b b b b b b ⎡⎤-+=
++=---+=-+-+⎢⎥---⎢⎥⎣⎦
，
因为01b <<，所以10b ->，所以
()
1
041b >-，()210b ->， 所以
()()()()11
2122124141b b b b +-≥⨯-=--， 当且仅当
()()1
2141b b =--，即214b =-，212a =-时等号成立；
所以()()122133241a b b b ⎡⎤+=-+-+≤-⎢
⎥-⎢⎥⎣⎦
当且仅当
()()1
2141b b =--，即214b =-，212
a =-时等号成立；
故答案为：32
本题考查跟据条件等式，结合基本不等式求和的最值问题，考查化归转化思想，运算能力，是中档题.
16. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()sin()F x f x x π=-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围_______________.
7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭
转化条件为()sin()f x x π=，作出函数()y f x =及()sin y x π=在[]1,1-的图象，数形结合可得
()sin()f x x π=在[)1,1-上的解，再由函数的周期性即可得解.
令()()sin()0F x f x x π=-=，则()sin()f x x π=，
因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()0f x f x -+=， 所以()(2)(2)f x f x f x =--=-，(0)0f =， 所以函数()f x 的周期为2，
又函数()sin y x π=也是周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-， 所以在同一直角坐标系中作出函数()y f x =及()sin y x π=在[]1,1-上的图象，如图，
所以()sin()f x x π=在[)1,1-上的解为11x =-，21
2x =-，30x =，412x =，
所以函数()F x 在[)1,-+∞上的零点依次有：
1-，12-，0，1
2，1，32
，2，52，3，72，4，92⋅⋅⋅，
若函数()F x 在区间[]1,m -上有10个零点，则7,42m ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭.
故答案为：7,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了函数零点的解决及数形结合思想，属于中
档题. 四､解答题
17. 已知0<α<π2<β<π,cos π1
-43β⎛⎫= ⎪⎝⎭,sin(α+β)=45.
(1)求sin 2β的值;(2)求cos π4α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值.
（1）79-；（2.
()1根据同角的三角变换可得cos 22
π
β⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，再根据倍角公式化简原式，代入已知条件即可 ()2先根据已求得的三角函数值确定αβ，的范围，再通过配凑角的方法将要求的式子通过配
凑，得到与已知角αβ+和
4
π
β-之间的关系，通过两角和与差公式展开即可求得
(1)sin 2β=cos π-22β⎛⎫
⎪⎝⎭
=cos
π2-4β⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2cos 2π-4β⎛⎫ ⎪⎝⎭-1=2×2
13⎛⎫ ⎪⎝⎭
-1=79-. (2)因为0<α<
π2<β<π,所以π2<α+β<3π2,所以sin π-4β⎛⎫
⎪⎝⎭
>0,cos(α+β)<0, 又因为cos π1
-43β⎛⎫= ⎪⎝⎭,sin(α+β)=45,
所以sin π-43β⎛⎫=
⎪⎝⎭,cos(α+β)=-35, 所以cos π4α⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
=cos π
()--4αββ⎡⎤
⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦=cos(α+β)cos π-4β⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin(α+β)sin π-4β⎛⎫ ⎪⎝⎭=-314535⨯+=本题考查了倍角公式和半角公式以及两角和与差的公式，熟练掌握公式的应用是解题的关键，还要能够配凑出角的值． 18. 已知a ∈R ，函数1()||
f x a x =+
. （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；
（2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[]2,1--上有解，求实数a 的取值范围.
（1）[)1,+∞；（2）9,32⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦.
（1）()2f x x ≤转化为1
12||
x x +
≤，然后对0x >和0x <进行分类讨论即可 （2）()20f x x -=⇔1
20||
a x x +
-=，由于[]2,1x ∈--，利用参变分离法，可得， 12a x x =+，令1
()2=+g x x x ，讨论()g x 在[]2,1x ∈--，的值域，即可得到实数a 的取值范围
（1）当1a =时，1()1||f x x =+
，所以
()2f x x ≤1
12||
x x ⇔+≤ ①若0x >，则112||x x +≤变为，(21)(1)0x x x +-≥102
x ⇔-≤<或1≥x ， 所以1≥x ；
②若0x <，则112||x x +≤变为，2210x x x
-+≥0x ⇔>， 所以x ϕ∈ 由①②可得，1
12||
x x +
≤的解集为[)1,+∞. （2）()20f x x -=⇔1
20||
a x x +
-=， 即1
2a x x =+其中[]2,1x ∈--
令1
()2=+
g x x x
，其中[]2,1x ∈--， 对于任意的1x ､[]22,1x ∈--且12x x <，
则()12121211()22g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=+-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
()()
121212
21x x x x x x --=
由于1221x x -≤<≤-，
所以120x x -<，120x x >，1214x x <<， 所以12210x x -> 所以
()(
)
121212
21x x x x x x --0<，故()12()g x g x <，
所以函数()g x 在区间[]2,1--上是增函数 所以9
(2)()(1)32
g g x g -
=-≤≤-=-， 即9(),32g x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故a ∈9,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ (说明1
()2=+
g x x x
的单调性可以用定义也可以求导证明，不写过程扣2分) 本题考查利用函数值域求解参数范围以及参变分离法的运用，属于中档题
19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ︒∠=，AD //BC ，AB =BC =1，AD =2，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成45角，点E 是PD 的中点.
（1）求证：BE ⊥PD ；
（2）求二面角P -CD -A 的余弦值. (1)证明见解析；(2)
3
3
. (1)由题意利用线面垂直的判定定理首先证得线面垂直，然后由线面垂直可得线线垂直； (2)由题意首先作出二面角的平面角，然后结合三角函数的定义和各边的长度可得二面角的余弦值.
(1)连接AE .∵P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面成45°角，
∴∠PDA =45°，△P AD 为等腰直角三角形． ∵点E 是PD 的中点∴AE ⊥PD ， P A ⊥底面ABCD ，P A ⊂面P AD ， ∴面P AD ⊥底面ABCD ，
而面P AD ∩底面ABCD =AD ,∠BAD =90°，∴BA ⊥AD ，∴BA ⊥面P AD ， PD ⊂面P AD ，∴BA ⊥PD ，AE ∩BA =A ，∴PD ⊥面ABE ， BE ⊂面ABE ，∴BE ⊥PD .
(2)连接AC ，下面说明∠PCA 为二面角P −CD −A 的平面角．
取AD 中点F ,连接CF ,∠BAD =90°,AB =BC =1,四边形ABCF 是正方形,∠ACF =45°，又AD =2， ∴FD =CF =1,∠FCD =45°，
∴∠ACD =90°，即AC ⊥CD .又P A ⊥CD ， ∴CD ⊥面P AC ，
∴PC ⊥CD ，即∠PCA 为二面角P −CD −A 的平面角． 在Rt △P AC 中,2AC =,P A =AD =2,226PC AC PA =+=
23
cos 36
AC PCA PC ∠=
==
.
所以二面角P −CD −A 的余弦值为
3
. 本题主要考查线面垂直的判定定理，由线面垂直证明线线垂直，二面角的定义与求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20. 设12()2x x a
f x b
+-+=+(,a b 为实常数).
（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；
（3）若()f x 定义域不为R 且是奇函数时，研究是否存在实数集的子集D ，对任何属于D 的x ､c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由.
（1）证明见解析；（2）12a b =-⎧⎨=-⎩或12a b =⎧⎨=⎩；（3）存，(0,)D =+∞和25
(,log ]7D =-∞.
（1）代入数据计算得到(1)(1)f f -≠-，得到证明.
（2）根据奇函数定义得到112222x x x x a a
b b --++-+-+=-++，化简整理得到20,240a b ab -=⎧⎨-=⎩
，解得答案.
（3）11
()0)212
x
f x x =-+≠-（，考虑(0,)D =+∞时成立，再判断0c <两种情况，分别计算函数值域，解不等式11
3212x
-+
≤-得到答案. （1）证明：2211(1)215
f -+==-+，1
1
12(1)24
f -+-==， 所以(1)(1)f f -≠-，所以()f x 不是奇函数 （2）()f x 是奇函数时，()()f x f x -=-，
即112222x x x x a a
b b
--++-+-+=-++对定义域内任意实数x 都成立，
即2(2)2(24)2(2)0x x a b ab a b -⋅+-⋅+-=，
对定义域内任意实数x 都成立，所以20,240a b ab -=⎧⎨-=⎩，所以12a b =-⎧⎨=-⎩或1
2a b =⎧⎨
=⎩. 经检验都符合题意.
（3）当12a b =⎧⎨=⎩时，121
()22x x f x +-+=+，定义域为R ，不成立；
当12a b =-⎧⎨=-⎩
时，12111
()0)22212x x x
f x x +--==-+≠--（， 当0x >时，1()2f x <-；当0x <时，1()2
f x >.
()2
233333244g c c c c ⎛
⎫=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭，
1)因此取(0,)D =+∞，对任何x ､c 属于D ，都有2()33f x c c <-+成立.
2)当0c <时，2333c c -+>，解不等式113212x -+≤-，得：2
5
log 7
x ≤. 所以取25
(,log ]7D =-∞，对任何属于D 的x ､c ，都有2()33f x c c <-+成立.
综上所述：存在，(0,)D =+∞和25
(,log ]7
D =-∞.
本题考查了判断函数奇偶性，根据函数的奇偶性求参数，不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.
21. 某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、
35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分． （1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.836)N ，
．若2~(,)Y N μσ，令
Y μ
ησ
-=
，则~(0,1)N η，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值． 附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η
≈，( 1.04)0.85P η
≈．
（1）分布列详见解析，数学期望为
3
2
；（2）①69分；②631k =． （1）写出随机变量X 的所有可能的取值，根据超几何分布求出X 的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；
（2）①设该划线分为m ，由~(75.8,36)Y N 求出,μσ.由Y μ
ησ
-=
，得675.8Y η=+.由题意
()0.85P Y m ≈≥，又( 1.04)0.85,~(0,1)P N ηη≈，故()1.040.85η≥-≈P ，故
75.8
1.046
m -≈-，即可求出m ；②由题意()()()()11P k P k P k P k ξξξξ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩
，根据独立重复实验的概率计算公式，求出()()(),1,1P k P k P k ξξξ==-=+，代入不等式组，即求k 的值.
（1）随机变量X 的所有可能的取值为0,1,23，
. 由题意可得：0355310101(0)12012C C P X C ====，12
55310505
(1)12012
C C P X C ====，
2155310505(2)12012C C P X C ====，30
553
10101
(3)12012
C C P X C ====， ∴随机变量X 的分布列为
数学期望15513()0123121212122
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=． （2）①设该划线分为m ，由~(75.8,36)Y N 得75.8,6μσ==，
令75.8
6
Y Y μ
ησ
--=
=
，则675.8Y η=+，
由题意，()0.85P Y m ≈≥，即()75.8675.80.856m P m P ηη-⎛⎫
+=≈ ⎪⎝⎭
≥≥
， ~(0,1)N η，( 1.04)0.85P η
≈，∴()1.040.85η≥-≈P ，
75.8
1.046
m -∴
≈-，69.56m ∴≈，取69m =． ②由①讨论及参考数据得
()()()()71675.8710.80.80.788P Y P P P ηηη=+=-=≈≥≥≥≤，
即每个学生生物统考成绩不低于71分的事件概率约为0.788，
~(800,0.788)B ξ∴，800800()0.788(10.788)k
k k P k C ξ-==-．
由()()()()1,1,P k P k P k P k ξξξξ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩
即80011801800800800117998008000.788(10.788)0.788(10.788),0.788(10.788)
0.788(10.788),k k k k k k k k k k k k C C C C -----++-⎧-≥-⎨-≥-⎩ 解得630.188631.188k ≤≤，
k ∈N ，631k ∴=，
∴当631k =时，()P k ξ=取得最大值．
本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目． 22.
设函数2()ln f x x bx a x =+-
（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是()f x 的两个不同零点，且0(,1)x n n ∈+
且n N ∈，求n 的值；
（Ⅱ）若对任意[]2,1b ∈--, 都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <
成立，求实数a 的取值范围. （1）3， （2）详见解析
试题分析：求导后利用2x =为极值点，满足(2)0f '=，在根据1是()f x 的零点，满足(1)0f =，列方程组解出,a b ，把,a b 的值代入求导，研究函数()f x 的另一个零点所在的区间，求出n ；
由于()g b 在[2,1]--上为增函数，只需()()2
max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令
()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，对()h x 求导，再进行分类讨论. 试题解析：
（Ⅰ）()2,2a f x x b x x =+-'=是函数()f x 的极值点，∴()242
a
f b =+-'.
∵1是函数()f x 的零点，得()110f b =+=，
由40210
a b b ⎧
+-=⎪
⎨⎪+=⎩，解得6,1a b ==-，
∴()2
6ln f x x x x =--,()621f x x x
-'=-
， 令()2626
210x x f x x x x
--=--=
>'， 0,2x x >∴>，
令()0f x '<得02x <<，
所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增 故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,x ∈∈+∞，
因为()()210f f <<，()()361ln30f =-<,()()2
462ln46ln 04
e f =-=>，
所以()03,4x ∈，故3n =．
（Ⅱ）令()2
ln g b xb x a x =+-，[]2,1b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题
意，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立，则
()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，
令()2
ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，
由于()2221a x x a
h x x x x
='--=--，
令()()2
2,1,x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->，
∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()()11x a ϕϕ>=-，
①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增，∴()()10h x h >=，不符合题意.
21
② 当10a -<，即1a >时，()110.a ϕ=-< ()22e e e a ϕ=--
若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以(1，e )上()0e ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在()01,x e ∈，使得()()010h x h <=，符合题意. 若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1， e )上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在()01,x m ∈，使得()()010h x h <=，符合题意.
综上，当1a >时，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立。