(武汉专版)2018年秋九年级数学上册第22章二次函数检测题(新版)新人教版

第22章 单元检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．抛物线y ＝(x －2)2
＋3的顶点坐标是( B )
A ．(－2，3)
B ．(2，3)
C ．(－2，－3)
D ．(2，－3)
2．(2018·武汉元调)二次函数y ＝2(x －3)2
－6( A )
A ．最小值为－6
B ．最大值为－6
C ．最小值为3
D ．最大值为3
3．与y ＝2(x －1)2
＋3形状相同的抛物线解析式为( D ) A ．y ＝1＋12
x 2 B ．y ＝(2x ＋1)2 C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝2x 2
4．关于抛物线y ＝x 2
－2x ＋1，下列说法错误的是( D ) A ．开口向上 B ．与x 轴有两个重合的交点
C ．对称轴是直线x ＝1
D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
5．已知二次函数y ＝x 2
＋(m －1)x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是( D ) A ．m ＝－1 B ．m ＝3 C ．m ≤－1 D ．m ≥－1
6．已知(－1，y 1)，(－2，y 2)，(－4，y 3)是抛物线y ＝－2x 2
－8x ＋m 上的点，则( C ) A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 2＜y 3＜y 1
7．二次函数y ＝2
A ．抛物线的开口向下
B ．当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大
C ．二次函数的最小值是－2
D ．抛物线的对称轴是x ＝－5
2
8．在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋2与二次函数y ＝x 2
＋a 的图象可能是( C )
9．如图，已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的图象，给出以下四个结论：①abc ＝0；②a＋b ＋c ＞0；
③a＞b ；④4ac－b 2
＜0.其中正确的结论有( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．二次函数y ＝x 2＋bx 的对称轴为x ＝1，若关于x 的一元二次方程x 2
＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是( C )
A ．t ＜8
B ．t ＜3
C ．－1≤t＜8
D ．－1≤t＜3
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．已知二次函数y ＝(x －2)2
＋3，当x__＜2__时，y 随x 的增大而减小．
12．抛物线y ＝(m －2)x 2＋2x ＋(m 2
－4)的图象经过原点，则m ＝__－2__．
13．已知抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的一个交点为(m ，0)，则代数式m 2
－m ＋99的值为__100__．
14．如图是一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，
水面的宽度为米．
错误!
,第15题图)
15．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2
－2x ＋2上运动．过点A 作AC⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为__1__．
16．(2017武汉四调改编)当－2≤x≤1时，二次函数y ＝－(x －m)2＋m 2
＋1有最大值4，则实数m 的值为
．
三、解答题(共72分)
17．(8分)已知二次函数y ＝x 2＋4x ，用配方法把该函数化为y ＝a(x ＋h)2
＋k(其中a ，h ，k 都是常数，且a≠0)的形式，并指出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【解析】∵y ＝x 2＋4x ＝(x 2＋4x ＋4)－4＝(x ＋2)2－4，∴二次函数y ＝x 2＋4x 化为y ＝a (x ＋h )2
＋k 的形
式是y ＝(x ＋2)2
－4，∴对称轴为直线x ＝－2，顶点坐标为(－2，－4)．
18．(8分)已知抛物线y ＝－2x 2
＋8x －6. (1)求此抛物线的对称轴；
(2)x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
(3)x 取何值时，y ＝0；x 取何值时，y ＞0；x 取何值时，y ＜0.
【解析】(1)对称轴为x ＝－
8
2×（－2）
＝2.
(2)∵a ＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝2，∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．
(3)令y ＝0，即－2x 2
＋8x －6＝0，解得x ＝1或3，∵抛物线开口向下，∴当x ＝1或x ＝3时，y ＝0；当1＜x ＜3时，y ＞0；当x ＜1或x ＞3时，y ＜0.
19．(8分)已知二次函数y ＝－x 2
＋2x ＋m.
(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；
(2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．
【解析】(1)∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＝22
＋4m ＞0，∴m ＞－1.
(2)易知二次函数的解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3，对称轴为直线x ＝1，B (0，3)，设直线AB 的解析式为y
＝kx ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋3.把x ＝1代入y ＝－x ＋3得y ＝2，
∴P (1，2)．
20．(8分)如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 都经过点A(1，0)，B(3，2)． (1)求m 的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x 2
＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集．(直接写出答案)
【解析】(1)把点A (1，0)，B (3，2)分别代入直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 得0＝1＋m ，
⎩
⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，∴m ＝－1，b ＝－3，c ＝2，∴y ＝x 2－3x ＋2. (2)x 2
－3x ＋2＞x －1，由图象得x ＜1或x ＞3.
21．(8分)已知关于x 的方程：mx 2
－(3m －1)x ＋2m －2＝0. (1)求证：无论m 取何值时，方程恒有实数根；
(2)若关于x 的二次函数y ＝mx 2
－(3m －1)x ＋2m －2的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．
【解析】(1)①当m ＝0时，原方程可化为x －2＝0，解得x ＝2；②当m≠0时，方程为一元二次方程，Δ
＝[－(3m －1)]2－4m (2m －2)＝m 2＋2m ＋1＝(m ＋1)2
≥0，故方程有两个实数根．∴无论m 为何值，方程恒有实数根．
(2)∵二次函数y ＝mx 2
－(3m －1)x ＋2m －2的图象与x 轴两交点间的距离为2，
∴[－（3m －1）]2
－4m （2m －2）|m|＝2，整理得3m 2
－2m －1＝0，解得m 1＝1，m 2＝－13
.∴抛物线解析式为
y ＝x 2－2x 或y ＝－13x 2＋2x －83
.
22．(10分)(2018·武汉元调)投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24 m ，平行于墙的边的费用为200元/m ，垂直于墙的边的费用为150元/m ，设平行于墙的边长为x m.
(1)设垂直于墙的一边长为y m ，直接写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)若菜园面积为384 m 2
，求x 的值； (3)求菜园的最大面积．
【解析】(1)由题意知：200x ＋2×150y ＝10 000，∴y ＝
100－2x
3
(0＜x≤24)．
(2)由题意知：xy ＝384，∴x ·
100－2x
3＝384，解得：x 1＝18，x 2＝32，∵0＜x≤24，∴x ＝18. (3)设菜园面积为S ，则S ＝xy ＝－23
x 2
＋
1003x ＝－23(x －25)2＋1 2503
，又∵0＜x≤24，∴当x ＝24时，S 最大值
＝416，即菜园面积最大值为416 m 2
.
23．(10分)为满足市场需求，某超市在端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．若超市想要每天获得不低于6 000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【解析】(1)由题意，得y ＝700－20(x －45)＝－20x ＋1 600.
(2)P ＝(x －40)(－20x ＋1 600)＝－20x 2＋2 400x －64 000＝－20(x －60)2
＋8 000，∵x ≥45，a ＝－20＜0，∴当x ＝60时，P 最大值＝8 000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P 最大，最大利润是8 000元．
(3)由题意，得－20(x －60)2＋8 000＝6 000，解得x 1＝50，x 2＝70.∵抛物线P ＝－20(x －60)2
＋8 000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6 000元的利润．又∵x≤58，∴50≤x ≤58.∵在y ＝－20x ＋1 600中，k ＝－20＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＝58时，y 最小值＝－20×58＋1 600＝440，即超市每天至少销售粽子440盒．
24．(12分)如图①，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3(a≠0)与x 轴，y 轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，点C 三点．
(1)试求抛物线的解析式；
(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD.试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)如图②，在(2)的条件下，将△BOC 沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O ′C′.在平移过程中，△B ′O ′C ′与△BCD 重叠的面积记为S ，设平移的时间为t 秒，试求S 与t 之间的函数关系式．
【解析】(1)抛物线解析式为y ＝－x 2
＋2x ＋3.
(2)存在．将点D 代入抛物线解析式，得m ＝3，∴D (2，3)．令x ＝0，y ＝3，∴C (0，3)，∴OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠CBO ＝45°.如图③，在y 轴上取点G ，使GC ＝CD ＝2，在△CDB 与△C GB 中，∵BC ＝BC ，∠DCB ＝∠GCB ，CD ＝CG ，∴△CDB ≌△CGB (SAS )，∴∠PBC ＝∠DBC.∵点G (0，1)，设直线BP ：y ＝kx ＋1，代入点B (3，
0)，得k ＝－13.∴直线BP ：y ＝－1
3x ＋1.联立直线BP 和二次函数解析式⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2
＋2x ＋3，
y ＝－13x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝119，
或
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，(舍)∴P (－23，119)．
(3)直线BC ：y ＝－x ＋3，直线BD ：y ＝－3x ＋9.当0≤t≤2时，如图④，设直线B′C′：y ＝－(x －t )＋3，联立直线BD 求得F (
6－t 2，3t 2)，S ＝S △BCD －S △CC ′E －S △C ′DF ＝12×2×3－12×t×t －12×(2－t )(3－3t
2
)，整理得S ＝－54
t 2
＋3t (0≤t≤2)．当2＜t≤3时，如图⑤，H (t ，－3t ＋9)，I (t ，－t ＋3)，S ＝S △HIB ＝1
2
[(－3t
＋9)－(－t ＋3)]×(3－t )，整理得S ＝t 2
－6t ＋9(2＜t≤3)，综上所述：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－54t 2＋3t （0≤t≤2），t 2－6t ＋9（2＜t≤3）.。