2017-2018学年广东省珠海一中等六校联考高三(上)第一次月考数学试卷(理科)

2017-2018学年广东省珠海一中等六校联考高三（上）第一次月
考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0}，B={x|e x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]
2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（）
A．B．C．2 D．2
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（5分）函数y=的图象大致是（）
A．B． C．
D．
6．（5分）下列选项中，说法正确的是（）
A．若a＞b＞0，则lna＜lnb
B．向量，（m∈R）垂直的充要条件是m=1
C．命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n+2）•2n﹣1”D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f （b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题7．（5分）已知m，n为异面直线，α，β为平面，m⊥α，n⊥β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）
A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
8．（5分）若x，y满足则z=3x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．2
9．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年
10．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．y=f（x）的图象关于x=对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
11．（5分）数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a1+a n+n（n∈N*）则++…+等于（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若，则（2x﹣1）n的二项展开式中x2的系数为．14．（5分）已知直线y=ax与圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2=0交于两点A，B，且△CAB 为等边三角形，则圆C的面积为．
15．（5分）若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为．
16．（5分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=，其中A的各位数字中，a1=1，a k（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为A=10101则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得﹣1分，则100次重复试验的总得分X的方差为．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）在△ABC，，BC=2．
（1）若AC=3，求AB的长；
（2）若点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．
18．（12分）如图，已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，
．
（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD．
（2）求二面角A﹣EC﹣D的余弦值．
19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：
（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已
有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计
算结果：=，=﹣，=94，=945）
（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．20．（12分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：f（x2）＞．
四、解答题（二选一，多选者以前一题的分数记入总分）．
22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．
（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．
23．已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）将f（x）的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象．
（2）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围．
2017-2018学年广东省珠海一中等六校联考高三（上）第
一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣1）＜0}，B={x|e x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．[1，+∞）B．（0，+∞）C．（0，1） D．[0，1]
【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣1）＜0}={x|0＜x＜1}，
B={x|e x＞1}={x|x＞0}，
∴C R A={x|x≤0或x≥1}，
∴（∁R A）∩B={x}x≥1}=[1，+∞）．
故选：A．
2．（5分）欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：e2i=cos2+isin2，
∵2∈，
∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．
故选：B．
3．（5分）已知||=1，||=，且⊥，则|+|为（）
A．B．C．2 D．2
【解答】解：∵；
∴；
∴||=．
故选B．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选C．
5．（5分）函数y=的图象大致是（）
A．B． C．
D．
【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，
即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，
因为函数y为偶函数，
故选：D
6．（5分）下列选项中，说法正确的是（）
A．若a＞b＞0，则lna＜lnb
B．向量，（m∈R）垂直的充要条件是m=1
C．命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n+2）•2n﹣1”D．已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）•f （b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题
【解答】解：对于A，当a＞b＞0时，lna＞lnb，∴A错误；
对于B，向量，垂直的充要条件
=m+m（2m﹣1）=0，解得m=0，∴B错误；
对于C，命题“∀n∈N*，3n＞（n+2）•2n﹣1”的否定是
“∀n∈N*，3n≤（n+2）•2n﹣1”，∴C错误；
对于D，命题“若f（a）•f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题
是：“f（x）在区间（a，b）内有一个零点“，则f（a）•f（b）＜0；
因为f（a）•f（b）≥0时，f（x）在区间（a，b）内也可能有零点，∴D正确．故选：D．
7．（5分）已知m，n为异面直线，α，β为平面，m⊥α，n⊥β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）
A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
【解答】解：由m⊥α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，
又n⊥β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，
则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选：D．
8．（5分）若x，y满足则z=3x﹣y的最大值为（）A．B．C．1 D．2
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x﹣y得y=3x﹣z，
平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距小，
此时z最大，
由得A（2，4），z=3×2﹣4=2，
故选：D．
9．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）
A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年
【解答】解：设第n年开始超过200万元，
则130×（1+12%）n﹣2015＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞=3.8．
取n=2019．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选：B．
10．（5分）已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．y=f（x）的图象关于x=对称
C．f（x）的最大值为
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【解答】解：
A、因为f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
B、因为f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=对称，故B正确；
C、f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，
1]，则y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上增，在[]与[]上减，又y（﹣1）=0，
y（）=，故函数的最大值为，故C错误；
D、因为f（﹣x）+f（x）=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos （2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：C．
11．（5分）数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a1+a n+n（n∈N*）则++…+等于（）
A．B．C．D．
=a1+a n+n（n∈N*），a1=1．
【解答】解：∵a n
+1
﹣a n=n+1，
∴a n
+1
∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=n+（n﹣1）+…+2+1=．
∴==2（﹣）．
则++…+=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
=2（1﹣）=．
故选：A．
12．（5分）已知函数f（x）=，则函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：令t=f（x），F（x）=0，
则f（t）﹣2t﹣=0，
分别作出y=f（x）和直线y=2x+，
由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，
则t1=0，1＜t2＜2，
即有f（x）=0有一根；
1＜f（x）＜2时，t2=f（x）有3个不等实根，
综上可得F（x）=0的实根个数为4，
即函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是4．
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）若，则（2x﹣1）n的二项展开式中x2的系数为180．【解答】解：∵，∴n=10．
则（2x﹣1）10的二项展开式中，x2的系数为C10222（﹣1）8=180，
故答案为180．
14．（5分）已知直线y=ax与圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2=0交于两点A，B，且△CAB 为等边三角形，则圆C的面积为6π．
【解答】解：圆C化为x2+y2﹣2ax﹣2y+2=0，
即（x﹣a）2+（y﹣1）2=a2﹣1，
且圆心C（a，1），半径R=，
∵直线y=ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线ax﹣y=0的距离为
Rsin60°=×，
即d==，
解得a2=7，
∴圆C的面积为πR2=π（7﹣1）=6π．
故答案为：6π．
15．（5分）若曲线y=e﹣x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为（﹣ln2，2）．
【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，
∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，
令﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，
∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．
故答案为：（﹣ln2，2）．
16．（5分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=，其中A的各位数字中，a1=1，a k（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为A=10101则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得﹣1分，则100次重复试验的总得分X的
方差为．
【解答】解：一次试验成功的概率为=，
∴100次重复试验中成功次数ξ服从二项分布ξ～B（100，），
∴D（ξ）=100×=，
又X=2ξ﹣（100﹣ξ）=3ξ﹣100，
∴D（X）=9D（ξ）=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．）
17．（12分）在△ABC，，BC=2．
（1）若AC=3，求AB的长；
（2）若点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．
【解答】解：（1）设AB=x，则由余弦定理有：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，
即32=22+x2﹣2x•2cos60°，
解得：，
所以；
（2）因为，所以．
在△BCD中，由正弦定理可得：，
因为∠BDC=2∠A，所以．
所以，所以．
18．（12分）如图，已知四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，
．
（1）求证：平面EAB⊥平面ABCD．
（2）求二面角A﹣EC﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：取AB的中点O，连接EO，CO，，△AEB为等腰直角三角形，
∴EO⊥AB，EO=1
又∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．
∴，EC=2，∴EC2=EO2+CO2
∴EO⊥CO
∵EO⊥平面ABCD，又EO⊂平面EAB，
∴平面EAB⊥平面ABCD．
（2）解：以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为y轴，OE所在直线为z 轴，如图建系
则A（0，﹣1，0），，，E（0，0，1），，，
设平面DCE的法向量为，则，即，
解得：，∴
同理求得平面EAC的一个法向量为
，
所以二面角A﹣EC﹣D的余弦值为．
19．（12分）中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料．进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探．由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，
勘探初期数据资料见下表：
（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；
（Ⅱ）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计
算结果：=，=﹣，=94，=945）
（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）利用前5组数据得到=（2+4+5+6+8）=5，=（30+40+60+50+70）=50，
∵y=6.5x+a，
∴a=50﹣6.5×5=17.5，
∴回归直线方程为y=6.5x+17.5，
当x=1时，y=6.5+17.5=24，
∴y的预报值为24．
（Ⅱ）∵=4，=46.25，=84，=945，
∴==≈10.25，
∴=46.25﹣10.25×4=5.25，
即=10.25，=5.25，b=6.5，a=17.5，≈57%，≈70%，均超过10%，
∴均超过10%，∴不可使用位置最接近的已有旧井6（1，24）．
（Ⅲ）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，∴勘察优质井数X的可能取值为2，3，4，
P（X=k）=，可得P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=．
∴X的分布列为：
EX=2×+3×+4×=．
20．（12分）已知椭圆经过点，且两焦点与短
轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平
面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的
连线构成等腰直角三角形，
∴b=c，∴，
∴．
又∵椭圆经过点，代入得，解得b=1，
∴，
故所求椭圆方程为．
（2）由动直线mx+，得到动直线l过定点（0，）．
当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：．
当l与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．
由
即两圆相切于点（0，1），
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．
事实上，点T（0，1）就是所求的点．
证明如下：
当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线l不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点A（x1，y1）、
，
=
=
∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
∴在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．
21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，
（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：f（x2）＞．
【解答】解：（I）
令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．
由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，
其充要条件为，得
（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）
∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）
设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）
则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）
（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴
故．
四、解答题（二选一，多选者以前一题的分数记入总分）．
22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．
（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为x﹣y+4=0．
依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离
，
当，即时，．
故点P到直线l的距离的最小值为．
（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，
即（其中）恒成立，∴，又a＞0，解得，
故a的取值范围为．
23．已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）将f（x）的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象．
（2）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．
得，
函数f（x）的图象如图所示．
（2）因为a，b∈（0，+∞），且a+b=1，
所以=，
当且仅当，即，时等号成立．
因为恒成立，
所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤3，结合图象知﹣1≤x≤5，
所以x的取值范围是[﹣1，5]．。