多边形的外角和
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多边形的内角和与外角和 第二课时
问题的指出
1A
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持
5
跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 B
E
小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 2
按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并
4
思考如下几个问题:
CD3(1)Fra bibliotek明每从一条街道转到下一条街道时，身
体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
A．5 B．6 C．7
D．8
思考题 在四边形的四个内角中，最多能有几个 钝角？最多能有几个锐角？ 解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角. 理由是： 设四边形的四个内角的度数分别为： α°,β°,γ°,δ°, 则α+β+γ+δ=360°， α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，
否则α、β、γ、δ都大于90°.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，
它们的和叫做这个多边形的外角和..
2、n边形的内角和与外角和是多少？
n边形的内角和等于(n － 2)•180° 多边形的外角和都等于360°
1.已知一多边形的每一个内角都相等，
它的外角等于内角的
2 3
，求这个多边
形的边数；
2.一多边形内角和为2340°，若每一个
α+β+γ+δ＞360°.
同理最多能有三个角小于90°.
课堂练习:
1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形 是几边形？
解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意， 可知道这个多边形的边数是：
360÷60=6 .答:这个多边形是六边形.
2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝 隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边 形？为什么？
内角都相等，求每个外角的度数.
例3 (1)四边形有几条对角线？
(2)五边形有几条对角线？六边 形呢？n边形呢？
E
D C
解: (1)四边形有两条对角线，
A
B
(2)如图，以A为端点的对角线有两条AC、AD同样以B
为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC
与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、
BD分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六
解：设这个正多边形的一个内角为x°，
由题图得：3x=360. x=120.
再根据多边形的内角和公式得：
n×120°=(n－2)×180°. 解得n=6 . 答:(略)
小结
1、什么是多边形？多边形的外角？外角和？
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺
次相连组成的封闭图形叫做多边形。
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角..
1
3 C
2 B
四边形的外角和等于360°.
探索:分别求出下列多边形的外角和的度数.
1
3
2 360°
1
4
3
2 360°
1 2
5
4
3 360°
1
2
6
3 5
4 360°
多边形的 边数
多边形的 内角与外 角的总和
多边形的 内角和
多边形的 外角和
3
4
3×180°4×180° ＝540° ＝720° 180° 360° 360° 360°
设一个外角为x°，则内角为(x+36)°
因为多边形的内角与相邻的外角互补；
所以 x+x+36=180
解得
x=72
360÷72=5
答 这个多边形的五边形.
练习：
1.一个多边形的外角都是45°，则这个
多边形是几边形？
2．多边形的每个外角都是相邻内角
的
1 3
，则此多边形是几边形？内角和、
外角和分别是多少？
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组
成的角叫做这个多边形的外角。
D
在每个顶点处取这个多 4
3
边形的一个外角，它们的和
C
叫做这个多边形的外角和。
A
2
1
B
如：四边形ABCD的外角和是
∠1+∠2+∠3+∠4
如图(1)四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别 是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数.
因为∠1+∠DAB＝∠2+∠CBA＝∠3+∠DCB＝∠4+∠ADC＝180°
D
4
又因为
∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°
（四边形内角和等于360°）
A
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
解 设这个多边形是n边形
(1)(n－2)·180°=1440°
n=10
(2)n－3=10－3=7
(3)
n(n－3) 2
＝
10(10－3) 2
＝35
答 这个多边形是十边形，过一个顶点的 对角线有7条，共有35条对角线.
巩固练习：
1、一个十边形的每一个内角都相等， 那么这个十边形的每一外角等于( C ) A、144° B、 72 ° C、 36° D 、18° 2、一个多边形每一个外角都等于45°， 则这个多边形的内角和等于( C ) A、 720° B、 675° C、 1080°D、945°
5…
n
5×180° ＝900°
…
n·180°
540° … (n－2)·180°
360° … 360°
结论：n边形的内角与外角的总和为n·180° n边形的内角和为(n-2)·180°； 那么多边形的外角和为 n·180°－(n－2)·180° =n·180°－n·180°+360°=360°
因此，任意多边形的外角和都为360°.
注：多边形的外角和与边数无关.
例题赏析
［例1］一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是
(n－2)·180°,外角和等于360°， 所以：(n－2)·180=3×360 解得：n=8
答:这个多边形是八边形.
例2 一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求 这个正多边形的边数. 分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都 相等，而多边形的外角和是360°. 解
边形有9条对角线，从以上分析可知从n边形的一个顶
点引对角线，可以引(n－3)条，那么n个顶点就有n(n
－一3共)条有，但其中每n条(n一对－条角3)都线重. 复计算一次，所以n边形 2
例4 已知多边形的内角和等于1440°， 求(1)这个多边形的边数， (2)过一个顶点有几条对角线， (3)总对角线条数.
自测题:
3．若一个凸多边形的内角和等于它的外角
和，则它的边数是___4____．
4．如果一个多边形的每一个外角都相等，
并且它的内角和为2880°，那么它的内角为
___1_6_0_°_．
5．一个多边形的每个外角都是12°，则这
个多边形是____3_0___边形．
6．正n边形的一个内角为120°,那么n为( B )
问题的指出
1A
大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持
5
跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是 B
E
小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑， 2
按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并
4
思考如下几个问题:
CD3(1)Fra bibliotek明每从一条街道转到下一条街道时，身
体转过的角是哪个角？在图中标出它们.
A．5 B．6 C．7
D．8
思考题 在四边形的四个内角中，最多能有几个 钝角？最多能有几个锐角？ 解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角. 理由是： 设四边形的四个内角的度数分别为： α°,β°,γ°,δ°, 则α+β+γ+δ=360°， α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，
否则α、β、γ、δ都大于90°.
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，
它们的和叫做这个多边形的外角和..
2、n边形的内角和与外角和是多少？
n边形的内角和等于(n － 2)•180° 多边形的外角和都等于360°
1.已知一多边形的每一个内角都相等，
它的外角等于内角的
2 3
，求这个多边
形的边数；
2.一多边形内角和为2340°，若每一个
α+β+γ+δ＞360°.
同理最多能有三个角小于90°.
课堂练习:
1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形 是几边形？
解：因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意， 可知道这个多边形的边数是：
360÷60=6 .答:这个多边形是六边形.
2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝 隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边 形？为什么？
内角都相等，求每个外角的度数.
例3 (1)四边形有几条对角线？
(2)五边形有几条对角线？六边 形呢？n边形呢？
E
D C
解: (1)四边形有两条对角线，
A
B
(2)如图，以A为端点的对角线有两条AC、AD同样以B
为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC
与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、
BD分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六
解：设这个正多边形的一个内角为x°，
由题图得：3x=360. x=120.
再根据多边形的内角和公式得：
n×120°=(n－2)×180°. 解得n=6 . 答:(略)
小结
1、什么是多边形？多边形的外角？外角和？
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺
次相连组成的封闭图形叫做多边形。
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组 成的角叫做这个多边形的外角..
1
3 C
2 B
四边形的外角和等于360°.
探索:分别求出下列多边形的外角和的度数.
1
3
2 360°
1
4
3
2 360°
1 2
5
4
3 360°
1
2
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4 360°
多边形的 边数
多边形的 内角与外 角的总和
多边形的 内角和
多边形的 外角和
3
4
3×180°4×180° ＝540° ＝720° 180° 360° 360° 360°
设一个外角为x°，则内角为(x+36)°
因为多边形的内角与相邻的外角互补；
所以 x+x+36=180
解得
x=72
360÷72=5
答 这个多边形的五边形.
练习：
1.一个多边形的外角都是45°，则这个
多边形是几边形？
2．多边形的每个外角都是相邻内角
的
1 3
，则此多边形是几边形？内角和、
外角和分别是多少？
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5 的大小吗？你是怎样得到的？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组
成的角叫做这个多边形的外角。
D
在每个顶点处取这个多 4
3
边形的一个外角，它们的和
C
叫做这个多边形的外角和。
A
2
1
B
如：四边形ABCD的外角和是
∠1+∠2+∠3+∠4
如图(1)四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别 是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数.
因为∠1+∠DAB＝∠2+∠CBA＝∠3+∠DCB＝∠4+∠ADC＝180°
D
4
又因为
∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°
（四边形内角和等于360°）
A
所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.
解 设这个多边形是n边形
(1)(n－2)·180°=1440°
n=10
(2)n－3=10－3=7
(3)
n(n－3) 2
＝
10(10－3) 2
＝35
答 这个多边形是十边形，过一个顶点的 对角线有7条，共有35条对角线.
巩固练习：
1、一个十边形的每一个内角都相等， 那么这个十边形的每一外角等于( C ) A、144° B、 72 ° C、 36° D 、18° 2、一个多边形每一个外角都等于45°， 则这个多边形的内角和等于( C ) A、 720° B、 675° C、 1080°D、945°
5…
n
5×180° ＝900°
…
n·180°
540° … (n－2)·180°
360° … 360°
结论：n边形的内角与外角的总和为n·180° n边形的内角和为(n-2)·180°； 那么多边形的外角和为 n·180°－(n－2)·180° =n·180°－n·180°+360°=360°
因此，任意多边形的外角和都为360°.
注：多边形的外角和与边数无关.
例题赏析
［例1］一个多边形的内角和等于它的 外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是
(n－2)·180°,外角和等于360°， 所以：(n－2)·180=3×360 解得：n=8
答:这个多边形是八边形.
例2 一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求 这个正多边形的边数. 分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都 相等，而多边形的外角和是360°. 解
边形有9条对角线，从以上分析可知从n边形的一个顶
点引对角线，可以引(n－3)条，那么n个顶点就有n(n
－一3共)条有，但其中每n条(n一对－条角3)都线重. 复计算一次，所以n边形 2
例4 已知多边形的内角和等于1440°， 求(1)这个多边形的边数， (2)过一个顶点有几条对角线， (3)总对角线条数.
自测题:
3．若一个凸多边形的内角和等于它的外角
和，则它的边数是___4____．
4．如果一个多边形的每一个外角都相等，
并且它的内角和为2880°，那么它的内角为
___1_6_0_°_．
5．一个多边形的每个外角都是12°，则这
个多边形是____3_0___边形．
6．正n边形的一个内角为120°,那么n为( B )