黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

双鸭山一中2018--2019年下学期高一学年期中试题
理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知数列满足， ，则此数列的通项等于 ( )
{}n a 21=a 11n n a a +-=-)(*∈N n 10a A. B. C. D. 7-8
-7
8
【答案】A 【解析】【分析】
由题意可得此数列是等差数列，由通项公式可得答案.【详解】由
，可得数列
是公差为的等差数列，11
n n a a +-=-{}
n a 1-又，所以
故选A.
21=a 102(101)(1)7.
a =+-⨯-=-【点睛】本题考查等差数列的定义.理解定义，熟记公式是解题的关键.
2.若，则下列不等式不可能成立的是 ( )0a b <<A.
B. C. D. 11
a b >22
a b
>0a b +<0
ab <【答案】D 【解析】【分析】
由不等式的基本性质逐个分析即可.
【详解】由，可得
，，，，即A,B,C 都成立，D 不可能成立.故选D.0a b <<11a b >22
a b >0a b +<0ab >【点睛】本题考查不等式的基本性质.由基本性质推理或特殊值验证求解.
3.等比数列中，首项＝8，公比＝，那么它的前5项和的值等于( )
{}n a 1a q 125S
A. 15.
5
B. 20
C. 15
D. 20.75
【解析】【分析】
由等比数列的前项和公式求解即可.项数较少且数据简单，也可直接求出各项再求和.
n 【详解】方法一：
()55
151811215.5.
1112a q S q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--方法二:
51234584210.515.5.
S a a a a a =++++=++++=【点睛】本题考查等比数列的前项和.熟记公式，准确计算是解题的关键.
n 4.在中，
，
，则等于( )
ABC ∆a =1b =3A π
∠=
B ∠A. 或 B. C. 或 D. 3π23
π
3
π
6π56
π
6
π
【答案】D 【解析】
【分析】
已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，先由正弦定理求，再求.
B sin B
∠【详解】由正弦定理，可得
.sin sin a b A B =
sin 1
sin 2b A B a ===由，可得，所以
.故选D.
a b <B A ∠<∠π
6B ∠=
【点睛】本题考查正弦定理的应用. 已知两边及其中一边的对角，由正弦定理求另一边的对角，要注意判断解的个数.
5.若，且，则
的最小值为( )0,0a b >>1=+b a b a 1
1+
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【解析】【分析】
由展开，再利用基本不等式即可求得最小值.()1111a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭【详解】因为，所以.1=+b a ()11112
b a
a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭因为，所以，.
0,0a b >>0b a >0
a
b >
所以，当且仅当，即
时等号成立.2b a a b +=b a a b =
12a b ==所以，即的最小值为.
11222=4
b a
a b a b +=+++≥b a 11+4【点睛】本题考查由基本不等式求最值,考查了1的妙用，属于基础题.
6.已知数列是等差数列，，则（ ）
{}n a 71320a a +=91011a a a ++=A. 36 B. 30
C. 24
D. 18
【答案】B 【解析】
试题分析：
7131091011102010330
a a a a a a a +=∴=∴++==考点：等差数列性质
7.在等比数列中，，则( )
{}n a 73a =3539log log a a +=A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】【分析】
，求出
即可，利用等比数列的性质可求.
3539359
log log log a a a a +=95a a
【详解】因为等比数列中，，所以.
{}n a 73a =2
597=9
a a a =所以
.
35393593log log log =log 92
a a a a +==【点睛】本题考查等比数列的性质.熟记性质，准确计算是解题的关键..
8.一船以每小时15km 的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶4h 后，船到达处，A B 60︒C 看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ）
15︒
A. km
B. km
C. D. 630125
【答案】B 【解析】【分析】
作出示意图，在中，可由正弦定理求的长.V ABC BC 【详解】作出示意图如图所示，
，
()
15460km AC =⨯=，，则.
906030BAC ∠=︒-︒=︒9015105ACB ∠=︒+︒=︒︒=∠45ABC
由正弦定理，可得，则.
sin sin AC BC
ABC BAC =
∠∠)60sin 30km sin 45BC ︒==︒
所以这时船与灯塔的距离为.
【点睛】本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查正弦定理.解题的关键是根据题意得出相应三角形的边与角.
9.在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是( )
V ABC ,2,60a x b B ===
V ABC x
A.
B. C.
D. 2⎛ ⎝
2⎡⎢⎣
2⎡⎢⎣
⎛ ⎝
【答案】A 【解析】【分析】
已知，若有两组解，则，可解得的取值范围.
,,a b B V ABC sin a B b a <<x 【详解】由已知可得，则，解得
故选A.
sin a B b a <<sin 602x x ︒<<2x <<
【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.
若中，已知且为锐角，若，则无解；若或，则有一解；V ABC ,,a b B B 0sin b a B <<sin b a B =a b ≥若，则有两解.
sin a B b a <<10.已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( )
{}n a n n S 122n n S λ+=+λA. B. C. D. 42
2
-4
-【答案】C 【解析】【分析】利用
先求出
，然后计算出结果
n
S n
a 【详解】根据题意，当时，
1n =11224S a λ
==+故当时，
2n ≥112n n n n a S S --=-=数列是等比数列 {}n a 则，故
11a =412λ+=解得2λ=-故选C
【点睛】本题主要考查了等比数列前项和
的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础
n n
S
11.在中，
，点在边上，，为垂足．若
ABC ∆,4
3
C BC π
∠=
=D AC ,AD DB DE AB =⊥E
(
)
DE =cos A =
B.
D. 423
6【答案】
C 【解析】【分析】
先在△ADE 中,得BD ＝AD ＝,即得cosA 的值.sin DE A =sin
sin BC BD
BDC C =
∠【详解】依题意得，BD ＝AD ＝2A.在△BCD 中，，即
sin DE A
=sin sin BC BD
BDC C =
∠，解得cos A
42sin cos A A =故答案为：C
【点睛】本题主要考查解三角形，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
12.为等差数列的前项和，且.记，其中表示不超过的最大整数，
n S {}n a n 171,28a S ==[]lg n n b a =[]x x 如
，则数列的前项和为( )
[][]0.9=0lg 991=，{}n b 1000A. B. C. D. 18901891
1892
1893
【答案】D
【分析】先求出等差数列
的通项公式，再分析数列的各项取值，求其前项和.
{}n a {}n b 1000【详解】设等差数列
的公差为，则，
，
{}n a d 11a =776
71282S d ⨯=⨯+
=解得，故.
1=d n
a n =，[][]
lg lg n n b a n ==当时，
；19n ≤≤0
n b =当时，
；1099n ≤≤1
=n b 当时，；
100999n ≤≤2
n b =当时，.
=1000n 3
n b =所以数列
的前项和为.
{}n b 10000919029003=1893⨯+⨯+⨯+【点睛】本题考查等差数列的基本问题，分组求和，解题的关键是根据新定义判断数列的哪些项的值是相同的..
二、填空题．
13.在中，若，则是_____三角形．ABC ∆B b A a cos cos =ABC ∆
【答案】【解析】
试题分析：或cos cos sin cos sin cos sin 2sin 222a A b B A A B B A B A B π=∴=∴=∴+=22A B
=所以
或2A B π
+=
A B
=考点：正弦定理及三角函数基本公式
14.设等差数列
满足，则的前项和最大时的序号的值为____．
{}n a 9,5103-==a a {}n a n n S n
【解析】【分析】先由已知条件解得，得到
的通项公式.当时，有最大值，即把前面的所有正数项
1a d
,{}n a 10,0a d ><n S 相加时所得
最大.
n S 【详解】设等差数列的公差为，则
{}n a d 3110125,99,a a d a a d =+=⎧⎨
=+=-⎩解得则.
19,
2a d ，=⎧⎨=-⎩()921112n a n n =--=-易得当时，；当时，
.
5≤n 0
n a >6n ≥0
<n a 所以
最大时的序号的值为.
n S n 5【点睛】本题考查等差数列的基本问题，考查等差数列前项和的最值. 对于等差数列，当
时，
n 10,0a d ><有最大值；当时，有最小值.
n S 10,0a d <>n S 15.已知，若不等式恒成立，求的最大值为____.
0,0a b >>119m
a b a b +≥
+m 【答案】16【解析】【分析】
由恒成立,可得恒成立，则的最大值就是的最小
119m a b a b +≥+()119m a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭m ()119a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭值，用基本不等式可求.
【详解】不等式恒成立,则恒成立.
119m a b a b +≥
+()119910b a m a b a b a b ⎛⎫≤++=++ ⎪⎝
⎭因为，当且仅当时等号成立，
9101016
b a a b ++≥+=3a b =所以，即的最大值为.
16≤m m 16
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，不等式的恒成立问题.若
恒成立，则
.
()
,m f a b ≤()min
,m f a b ≤16.中，分别是角的对边，且
，则AC 边
ABC
∆,,a b c ,,A B C b =()
in sinA s B =+上的高的最大值为___．
【答案】2
3
【解析】【分析】
由题以及内角和定理代入化简可得
再由余弦定理和三角形的面积：
sin sin()C A B =+3B π
=
S ≤
又
得出答案.
12S bh
=
sinC ＝（cosA ）
sinB ，以及内角和定理代入化简可得：
sin sin()C A B =
+，在三角形中 cos sin sin A B A B =sin 0A ≠故
tan 3B B π
==
由余弦定理：
2
2
2
2
2
2cos 3b a
c ac B a c ac ac =+-∴=+-≥所以三角形的面积：
1sin 2S ac B =
=≤又
13
22S bh h =
=≤≤故答案为32
【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理解三角形，本题利用了正弦定理进行边角互化，还有余弦定理和面积公式的结合才能够解决问题，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知函数
.()2f x x ax b
=-++（1）若关于的不等式
的解集为
，求实数的值；
x ()0
f x >()1,3-,a b （2）当时，对任意，恒成立，求的取值范围.
4b =-x R ∈()0
f x ≤a 【答案】（1）；（2）.
2,3a b ==[]4,4-【解析】【分析】
(1) 利用一元二次不等式解集区间的端点就是相应方程的根求解即可.(2)
对任意恒成立，由二次项系数小于，则.列不等式求解即可.
()0
f x ≤x R ∈00≤∆【详解】(1)因为
的解集为
，
()20
f x x ax b =-++>()1,3-所以关于的方程的两个根为.x 2
0x ax b -++=1,3-所以，解得.13,13a b =-+-=-⨯2,3a b ==(2)由题意得对任意恒成立，
()240
f x x ax =-+-≤x R ∈所以
，
()()22414160
a a ∆=-⨯-⨯-=-≤解得，即的取值范围是
.
44≤≤-a a []4,4-【点睛】本题考查一元二次不等式的解集和恒成立问题,结合一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系进行求解是解题的关键.
18.如图，在四边形中，已知,，，，.
ABCD ︒=∠75ADC 5AD =7AB =60∠=︒BDA 135BCD ∠=︒
（1）求的长；BD （2）求的长．
CD
【答案】(1)；(2）.
8BD =CD =
【解析】【分析】
(1)在中，由余弦定理求.ABD BD (2)在中，由正弦定理求.
BCD △CD 【详解】(1) 在中，，
ABD 5,7,60AD AB BDA ==∠=︒由余弦定理可得
2222cos ,AB AD BD AD BD BDA =+-∠ 即，2
49=2525cos 60BD BD +-⨯︒ 则，2
5240BD BD --=解得(舍去).
8BD =3BD =-(2)在中，,BCD △756015BDC ADC BDA ∠=∠-∠=︒-︒=︒又，则.135BCD ∠=︒1801351530CBD ∠=︒-︒-︒=︒由(1)得，由正弦定理得，
8BD =sin sin CD BD
CBD BCD =
∠∠即，解得.
8
sin 30sin135CD =
︒
︒CD =【点睛】本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形,解题的关键是根据题意得出相应三角形的边与角，再选择正弦定理、余弦定理或综合运用两个定理来求解.
19.已知数列
是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
{}
n a 21=a 2a 3a 41a +（1）求数列
的通项公式；
{}
n a （2）设
，求数列的前项和.
2
(1)n n b n a =
+}{n b n n S 【答案】（1）；（2）2,(*)
n a n n N =∈1
n
n +【解析】
试题分析：（1）利用等差数列与等比数列的性质，易得：
;(2)化简
，由裂项相消法，
2n a n
=1n 1n b n =
+（）得：
.
1n n
S n =
+试题解析：（1）设数列
的公差为d ,由，且，，成等比数列,得
{}n a 12a =2a 3a 41a +, 解得d=2,或d=-1(舍去)
2(22)(2)(33)d d d +=++∴d=2 ， 1(1)2n a a n d n
=+-=即数列
的通项公式
{}n a 2n a n =（2）
=
()2111
2n 11
n n b n a n n n =
==-
+++（）
11111122311n n S n n n =-
+-+⋅⋅⋅+-=++20.在中，分别是角的对边，且．ABC ∆,,a b c ,,A B C cos cos 2B b
C
a c =-
+
（1）求的大小；
B （2）若，求的面积．
4b a c =+=ABC ∆【答案】（1
）
23
B π
=
（2）
1sin 2ABC S ac B ∆=
=【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.
3ac =试题解析：（Ⅰ）由 cos cos 2B b C
a c =-+cos sin cos 2sin sin B B
C A C ⇒=-
+ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C
⇒=--
()2sin cos sin A B B C ⇒=-+2sin cos sin A B A
⇒=-1
cos 2
B ⇒=-
又所以
.
0πB <<，2π
3B =
（Ⅱ）由余弦定理有
，解得，所以
()2
2222π
2cos 22cos
3b a c ac B a c ac ac =+-=+--3ac
=1sin 2ABC S ac B =
=点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
.
()2
2222π
2cos 22cos
3b a c ac B a c ac ac =+-=+--21.已知数列满足，.
{}n a 21=a 1
32n n a
a +=+（1）证明
是等比数列，并求的通项公式；
{}1n a +{}n a （2）若数列满足,为数列的前项和，求．{}n b ()3log 1n n b a =+n T 1n n
b a ⎧⎫⎨⎬
+⎩⎭n n T 【答案】(1)证明见详解，；(2)
.
1
3-=n n a 323
443n n n T +=
-
【解析】【分析】(1) 要证明
是等比数列，只须证且.
{}1n a +()111n n a q a ++=+10n a +≠(2)求得的通项公式，可知应用错位相减法求和.1n n
b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭【详解】(1)因为，所以.132n n a a +=+113(1)n n a a ++=+由，可得，
21=a 1130
a +=≠所以数列是等比数列，且首项和公比都是.
{}1n a +3所以
.
11333n n
n a -+==
所以数列的通项公式为.
{}n a 1
3-=n n a (2),则.()33log 1log 3n n n b a n =+==13n n n b n
a =
+所以
，231233333n n
n
T =++++ 则.2341
112313
33333n n n n n T +-=+++++ 以上两式相减得，
2311
11121111331333333313n n n n n n n
T ++⎛⎫
- ⎪⎝⎭=++++-=-- 所以
.
323
443n n n T +=
-
【点睛】本题考查等比数列的基本问题，错位相减法求和.若数列满足且，分别是
{}n a n n n a b c ={}n b {}n c 等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列
的前项和.
{}n a n 22.（本题满分15分）已知数列满足=且=-（）
{}n a 1a 1
21n a +n a 2n a n ∈*N （1）证明：1
（）；
1
2
n
n a a +≤
≤n ∈*N （2）设数列的前项和为，证明（）.
{}2
n a n S 11
2(2)2(1)n S n n n ≤≤++n ∈*N 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】
（1）首先根据递推公式可得
，再由递推公式变形可知
1
2n a ≤
，从而得证；（2）由和得，
211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--1111
=n n n n a a a a ++-112n n a a +≤≤
，从而可得，即可得证.
11112n n a a +≤
-≤*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++试题解析：（1）由题意得，，即
，
，由2
10
n n n a a a +-=-≤1n n
a a +≤1
2n a ≤
11
(1)n n n a a a --=-得
，由
得，
1211(1)(1)(1)0
n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->1
02n a <≤
，即；（2）由题意得，211
[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--112n n a a +≤≤2
1n n n a a a +=-∴①，由和得，，11n n S a a +=-1111=n n n n a a a a ++-112n n a a +≤≤111
12
n n a a +≤-≤∴
，因此②，由①②得
11112n n n a a +≤
-≤*111
()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++.
112(2)2(1)n S n n n ≤≤
++考点：数列与不等式结合综合题.。