福建莆田一中届高三数学上学期期末试卷文新人教A版

莆田一中 2011-2012 学年上学期期末试卷 2012.1.
高三
数学（文科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。

1．已知复数 Z1=m+2i,Z2=3+4i,若 Z1· Z2 为实数，则实数 m 的值为 (
)
8 3 8 3
A ．3
B ． 2
C ．－ 3
D ．－ 2
2．设 S={x||x －2|>3} ， T={x|a<x<a+8},S ∪T=R, 则 a 的范围是 ( )
A ．-3<a<-1
B ．-3≤a ≤-1
C ．a ≤-3 或 a ≥-1
D ．a<-3 或 a>-1 3．我市某学校在“ 9.11”举行老师、学生消防知识竞赛，报名的学生和教师的
人数之比为 6：1，学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取 35 人组
队进行竞赛，已知教师甲被抽到的概率为
1
，则报名的学生人数是（
）
10
A ． 350
B ．30
C ． 300
D ．35
4．以下判断错误 的是（ ）
．．
A ．“ am 2 bm 2 ”是“ a < b ”的充足不用要条件
．命题“
x R x 3 x 2
1 0 ”的否认是“ x R, x 3 x
2 1 0 ”
B
,
C ．若 f (x)是定义在 R 上的奇函数，且 f (x+2)也为奇函数，则 f (x)是以 4
为周
期的周期函数 . D ．若 p q 为假命题 , 则 p, q 均为假命题
5． △ ABC 中，
A
，BC 3 ， AB 6 ，则 C （
）
3
A.
或
3
B.3
C.
D.
6
4
4
4
4
6． 已知椭圆 x 2
ky 2
3k(k
0)的一个焦点与抛物线 y 2
12 x 的焦点重合， 则该椭圆
的离心率是 (
)
3
2
6
2 3
A ．
B ．
C ．
D ．
3
2
2
3
7. a 、 b 是两条不一样的直线， 、 是两个不一样的平面，则以下四个命题： ①若 a ⊥ b ， a ⊥α， b α，则 b ∥α；
③若 a ⊥β， α⊥β，则 a ∥α或 a
α；
此中正确命题的个数为（ ）
②若④若
a ∥α，a ⊥β，则 α⊥β；
a ⊥
b ，a ⊥α，b ⊥β，则 α⊥β.
A.1
B.2
C.3
D.4
8. 直线 x
y m
0与圆 x 2
y 2
2x
1
0 有两个不一样交点的一个充足不用要条
件是 （
）
A ． 3 m 1
B ． 4 m 2
C ． 0 m 1
D ． m 1
9. y cos(
x )(
0,0
) 为奇函数，该函数的部分图像以下图，
A 、
B 分别为最高点与最低点，而且
|AB|
2 2 ，则该函数图象的一条对称轴为
（
）
A. x 2
B.x
C x 2
D. x
1
2
2x
y 0
，且 z
ax y a
10．实数 x, y 知足不等式组 x y
2 0 取
最小值的最
6x 3y 18
优解有无量多个 , 则实数 a 的取值是（
）
A ．
4 B
． 1 C
． 2
D
． 没法确立
5
11. 在
等 比
数 列
a n
中
,
a 1 a 4 1 ， 使 不 等
式
(a 1 1
( a 2
1
(a n
1
0 建立的最大自然数是（
） ) )
)
a 1
a 2 a n
A.5
B.6
C.7
D.8
12．设函数 f x
ax 2 bx c a 0 ，若 x
1 为函数 g( x)
f x e x 的一个极值
点，则以下图像不．可能为 y
f x 的图像是（
）
Y
Y
Y
Y
-1
O
X
-1 O
X
X
X
-1
-1
O
O
A. B.
C.
D.
二、填空题： 本大题共 4 个小题，每题4 分，共 16 分。

13. 曲线 y
x 3 x 2 在点 P 处的切线平行于直线
y
4x
1 ，则点 P 的坐标
为
.
14．若函数 f ( x)
2x,( x 3)
，且 f ( f (2)) 7 ，
2x
m,( x 3)
则实数 m 的取值范围为。

15．某三棱锥有五条棱的长度都为 2，则当该三棱锥的表面积最大时其体积为。

．如图在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x 2 y 2 r 2 （ r 0 ） y
16
内切于正方形 ABCD ，任取圆上一点 P ，若 OP
a OA
b OB
B
A
（ a 、 b R ），则 a 、 b 知足的一个等式是 ______________________． O
x
C
D
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17 ．(本小题满分共 12 分)
已知向量m(1,cos x 3 sin x) ，n( f (x), cos x) ，此中0 ，且
m n ，又函数 f ( x)的图象与直线y 3 相切，相邻切点之间的距离为
2
3.
(Ⅰ)求的值;
323sin(4)
(Ⅱ)设),求的值。

是第一象限角 , 且f (
262
22cos(4)
18．(本小题满分共12 分)
P
如图，在底面为直角梯形的四棱锥
P ABCD 中AD ∥ BC， ABC 90°，
PD平面 ABCD ，AD 1，AB 3 ，BC 4 .AD
⑴求证： BD PC ；
B C
⑵当 PD 1时，求此四棱锥的表面积 .
19.（本小题满分 12 分）从某学校高三年级
800 名学生中随机抽取 50 名丈量身高，据
丈量被抽取的学生的身高所有介于155cm
和 195cm之间，将丈量结果按以下方式分红
八组：第一组 155,160 ．第二组 160,165 ；
第八组 190,195 ，右图是按上述分组方法获得的条形图.
(1)依据已知条件填写下边表格：
组别12345678
样本数
(2)预计这所学校高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上（含 180cm）的人数；
(3)在样本中，若第二组有人为男生，其他为女生，第七组有人为女生，其他为
男生，在第二组和第七组中各选一名同学构成实验小组，问：实验小组中恰
为一男一女的概率是多少？
20. （本小题满分 12 分）
数列 {a n 的前 n 项和
S n n 2
，数列
知足 b 1 2, b n 1 b n }
{ b n }
（Ⅰ）求数列 { a n }，{ b n }的通项公式；
（Ⅱ）若 c n 2n ? log 2 b n 1( n N * ) ， T n 为｛ c n ｝的前 n 和， 求
3?2a n 。

T n 。

21（本小题满分 12 分）
如图，已知椭圆 C ：
y 2
x 2
2
2 1 (a b 0) 过点 P( 2, 6) ，上、下焦点分别为 F 1 、
a
b
uuur uuuur
3
) ．
F 2 ，向量 PF 1
PF 2 ．直线 l 与椭圆交于 A, B 两点，线段 AB 中点为 M ( 1 ,
2
2
（ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求直线 l 的方程；
（ 3）记椭圆在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面地区（含界限）为 D ，若
曲线 x 2 2mx y 2 4 y m 2 4 0 与地区 D 有公共点，试求 m 的最小值．
22．（本小题满分 14 分）
已知函数 f x
ax
b
（此中常数 a,b R ）， g x sin x 2 x .
x 2 1
（Ⅰ）当 a 1时，若函数 f x 是奇函数，求 f
x 的极值点；
（Ⅱ）若 a 0， 求函数 f
x 的单一递加区间；
（Ⅲ）当 b
0, a
, 时，求函数 g x 在 0,a
上的最小值 h a ，并探究：是
2
否存在知足条件的实数 a ，使得对随意的 x R ， f x h a 恒建立．
莆田一中2011—2012 学年度上学期期末考试
高三文科数学答题卷2012.1.
二、填空题 :
13.;14.;
15.16..
三、解答题：
17. （本小题满分12 分）
号
证
考
准
名
姓
号
座
18、（本小题满分12 分）
级
班
19、 ( 本小题满分12 分)
20、（本小题满分12 分）
21、 ( 本小题满分12 分 )
22 、( 此题满分14 分)
莆田一中 2011-2012 学年 上学期期末 试卷 2012.1
高三数学（文科）参照答案
1-5 DACDC 6-10 ADCDB
11-12 CD
13. (1,0) 或 ( 1,
4) 14. (
,5)
2 2
16. a 2
b 2 r 2
15.
3 2
17．解 : ( )
由题意得 m n
,所以，
Ⅰ
f ( x)
cos
x (cos x 3 sin
1 cos
2 x
3 sin 2 x
x)
2
2
sin(2 x
1
)
6
2
（4 分）
函数 f (x) 的最小正周期为 3 , 又
0 ,
1 （6 分）
3
sin( 2
x
1
(Ⅱ )由 (Ⅰ )知 f ( x)
6)
3
2
所以 f (
3
) sin( ) 1 cos 1 23 2
2
2
2 2 26
5
（8 分）
解得
cos
13
12 因为
是第一象限角 ,故 sin
（9 分）
13
sin(
) sin(
) 2
13 2
所以 ,
4 4
2(cos
)
（12
分）
cos(4 2 )
cos2
sin
14
18 解：（ 1）证明：由题意知
D C
2
3 , 则
BC 2 =DB 2 DC 2， BD
DC.
Q PD
平面ABCD ， BD
PD ，而PD I CD D ，
BD
内
， BD
PC.
（4分）
平面PDC. Q PC 在平面PDC
⑵Q PD
平面ABCD, PD AB,而 AB
AD, PD I AD
D ,
AB
平面 PAD, ∴ AB
PA,
即 △PAB
.
是直角三角形
S Rt △PAB
1
AB PA
1 3 2
6 . （6 分）
D
2
2 PH
2
过 作 DH ⊥BC
于点
H
BC ，
,连接
,则同理可证明 PH
而且 PH
12 ( 3)2
2 .
P
1
BC
1
S △ PBC
PH
424 . （8分）
2
2
易得
S Rt △ PDA
1
1
1
A
AD PD
1 1
.
D
2
2
2
B
H
C
S Rt△PDC 11
3 1 3 .
DC PD2
22
S梯形ABCD 1
BC) AB
1
(14)
53
.（11 分）( AD
2
3
2
2
故此四棱锥的表面积S S Rt△PA B S Rt△PAD S Rt△PDC S△PBC S梯形ABCD
61
23 453973 6 .（12 分）
222
19.解： (1) 由条形图得第七组频次为
1 (0.04
2 0.0820.2 20.3)0.06 ,0.0650
3 ∴第七组的人数为3人. （1 分）组别12345678
样本数24101015432
（4 分）
（ 2 ）由条形图得前五组频率为 (0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18.预计这所学校高三年级身高在180cm 以上 (含 180cm) 的人数 800 × 0.18=144(人 ).（8 分）
（ 3）基本领件有 12 个, 恰为一男一女的事件有共 7个 , 所以实验小组中，恰为一男一女的
概率是7
. （12分）12
20.解：（ 1）a n2n1,b n22n 1（6 分）
（Ⅱ）
c n2n log22 2 n 1(2 n1) 2n
T n c1c2L c n32 522L (2 n 1) 2n（8 分）
2T n 3 22 5 23L(2 n1) 2n(2 n1) 2n 1，两式相减得：
T n32 2(2223L 2n ) (2 n 1)2n 1
22223L2n 1(2n 1)2n 1
2(2 n 11)(2 n1)2n1(2 n 1)2n12
T n(2 n1)2n 12（12 分）
62
1
a2b2
21 解：（1）(2c)2(2) 2(6c)2(2) 2(6c)2
a2b2c2
解得： a212, b2 4 ，椭圆方程为y2x21（4 分）
124
（2）①当斜率k不存在时，因为点M 不是线段 AB 的中点，所以不切合要求；
②设直线 l方程为 y3k (x 1
) ，代入椭圆方程整理得
22
(3 k2 )x2(k 23k )x 1 k2390
44
1k 23k
解得
k1所以直线 l : x y20（8 分）
22(3k2 )
（3）化简曲线方程得：( x m)2( y2) 28 ，是以 (m,2) 为圆心， 2 2 为半径的圆。

当圆与直线相切时，m22
22 ，此时为m4，圆心(4,2) 。

2
因为直线与椭圆交于A(1, 3), B(2,0)，
故当圆过 (1,3)时， m 最小。

此时，m17。

（ 12分）22.解：（Ⅰ）因为函数 f x是奇函数，对 x R ， f x f x建立，
得x b x b ,2b
10b0（利用奇函数，得f0b0也给1分）
x21x21x2
f x
x
,得f x
x212x2x21
（2 分）x2x21
2
x2
2
,
11
从 f x0 得x21,x1
经查验 x1是函数 f x的极值点（4 分）
a x212x ax b2
(Ⅱ )因为f x ax b ，f x ax2bx a ，
x2 12
x2 1x2 12从 f x0ax22bx a0，得 ax 22bx a0
①a0，方程 ax22bx a0的鉴别式4b24a20，两根
2b b a2b2
x
a
2a
单一递加区间为b a2b2,b a2b2（7 分）
a a
② a
0 时，单一递加区间为
, b
a 2
b 2 和 b a 2 b 2 , （8 分）
a
a
(Ⅲ ) 因为 g
x cosx
2
0, a 时，令 g x
0 得 cos x 0
2
，此中 x 0
0,
，当 x
2
当 x 变化时， g '( x) 与 g( x) 的变化状况以下表：
x
0,x 0
x 0
x 0 ,a
g x
g x
Z
]
函数 g
x 在 0,a 上的最小值为 g 0 与 g a 的较小者
又 g 0 0 , g a
g
2
0 , h a g a
h a
sin a
2 （ 10 分）
a
由函数 f
x
ax
x R 是奇函数，且 a
,
，
x 2
1
2
x
0 时， 0 f x
ax a 1
a
，当 x 1 时获得最大值
a
x 2 1
x 2
2
x
a x 0时， f 0 0
x 0 时， f x
,0
，
2
函数 f
x 的最小值为 f x
最小
a ， （12分）
2
要使对随意 x R ， f x
h a 恒建立，则 f
x
最小
h a
a sin a 2
a ，
2
即不等式 2
a
a sin a 0 在 a
, 上有解， a
切合上述不等式，
2
2
存在知足条件的实数 a ，使对随意 x
R ， f x
h a 恒建立，
（ 14 分）
（附：求 f
x
最小
a
的方法二以下）
2
ax 2
当 b 0, a
,
时，
f x
ax
,
f x
a
x
1
2
x 2
2
1
x
2 1
当 x 变化时， f '( x) 与 f (x) 的变化状况以下表：
x
, 1
1 1,1
1
1,
g x
g x
]
极小值
a Z
极大值
a
]
2
2
又 x
0时， f x
f
x
最小
a
2。