2020年人教A版高中数学必修第一册4.4 对数函数(第一课时)解析版

4.4 对数函数性质（第一课时）
运用一 对数函数的辨析
【例1-1】下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y ＝log a x (a >0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；
(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x >0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x . 【答案】（5)
【解析】 (1)中真数不是自变量x ，不是对数函数．(2)中对数式后加2，所以不是对数函数．(3)中真数为x ＋1，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x ，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x ，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． [例 1-2]函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(1
8)等于( )
A ．3
B ．−3
C ．−log 36
D ．−log 38 【答案】B
【解析】因为函数f(x) 为对数函数，所以函数f(x)系数为1，即a 2+a −5=1，即a =2或−3， 因为对数函数底数大于0，所以a =2，f(x)=log 2x ，所以f (1
8)=−3。

【触类旁通】
1.若函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝________. [答案]1
[解析]由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0或a ＝1.又底数a ＋1>0，且a ＋1≠1，所以a ＝1. 2.指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ；(3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1.
【答案】（2）
【思路总结】
判断一个函数是对数函数的方法
【解析】(1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．
运用二 单调性
【例2-1】比较下列各组对数值的大小： (1)log 15
1.6与log 15
2.9；(2)log 21.7与log 2
3.5；
(3)log 12
3与log 15
3；(4)log 13
0.3与log 20.8.
【答案】见解析
【解析】(1)∵y ＝log 15
x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6<2.9，∴log 15
1.6>log 15
2.9.
(2)∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，而1.7<3.5，∴log 21.7<log 23.5. (3)借助y ＝log 12
x 及y ＝log 15
x 的图象，如图所示．
在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log 12
3<log 15
3.
(4)由对数函数性质知，log 13
0.3>0，log 20.8<0，∴log 13
0.3>log 20.8.
【例2-2】（1）（2018·浙江镇海中学高一期中）函数213
log (32)y x x =-+的单调递减区间为（ ）
A ．()2,+∞
B ．3,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
C ．(),1-∞
D ．3,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
(2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，则x 的取值范围为________； 【答案】（1）A （2）(1，＋∞)
【解析】因为
2
13
log (32)y x x =-+，所以2320x x -+>，解得1x <或2x > 令232t x x =-+，因为2
32y x x =-+的图像开口向上，对称轴方程为3
2
x =
，
所以内函数232t x x =-+在()2,+∞上单调递增， 外函数
13
log y t =单调递减，所以由复合函数单调性的性质可知函数213
log (32)y x x =-+的单调递减区间
为()2,+∞故选A.
（2）∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x <log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪
⎧
2x >0，x －1>0，
2x >x －1，解得x >1，
即x 的取值范围是(1，＋∞)．
【触类旁通】
1.（2018·首都师范大学附属中学高一期中）函数2
12
log (4)y x x =-+的单调递减区间为______．
【答案】02（，）
【解析】由240x x -+>得：04x ∈（，），故函数()f x 的定义域是04（，）； 令24t
x x =-+，则
12
log y t =，∵12
log y t =为减函数，
24t x x =-+在
02（，）上为增函数，在24（，）上为减函数； 故函数
2
12
log (4)y x x =-+的单调递减区间为是(0,2)．故答案为：()02， 2．函数f (x )＝log 3(4x －x 2)的递增区间是________．
【答案】(0,2]
【解析】由4x －x 2>0得0<x <4，函数y ＝log 3(4x －x 2)的定义域为(0,4)． 令u ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4，当x ∈(0,2]时，u ＝4x －x 2是增函数， 当x ∈(2,4)时，u ＝4x －x 2是减函数．
又∵y ＝log 3u 是增函数，∴函数y ＝log 3(4x －x 2)的增区间为(0,2]． 3. (1)满足不等式log 3x <1的x 的取值集合为________； (2)根据下列各式，确定实数a 的取值范围：
①log 1.5(2a )>log 1.5(a －1)； ②log 0.5(a ＋1)>log 0.5(3－a )．
【答案】(1){x |0<x <3} (2)①(1，＋∞) ②(－1,1)
【解析】(1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
log 3x <log 3
3，
即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}． (2)①函数y ＝log 1.5x 在(0，＋∞)上是增函数．
因为log 1.5(2a )>log 1.5(a －1)，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
2a >a －1，
a －1>0，解得a >1，
即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．
②函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，因为log 0.5(a ＋1)>log 0.5(3－a )， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1>0，3－a >0，
a ＋1<3－a ，
解得－1<a <1.即实数a 的取值范围是(－1,1)．
【例2-3】（2019·天津南开中学高考模拟）设0.1
0.3a =，
131
log 5
b =，4log 25
c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >> 【答案】D
【解析】因为0.1
00.30.31a <=<=，1
1333311
1log log log 5log 92,35
b =<==<= 244log 25log 42
c =>=，c b a ∴>>，故选D.
【触类旁通】
1．（2019·天津高考模拟（理））已知 1.22a =，52log 2=b ，1
ln 3
c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
【答案】A
【解析】 1.21222a =>=
5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=
1
ln ln3ln 13
c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A
2．（2019·福建高二期末（文））设0.46a =，0.4log 0.5b =，8log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．<<a b c B ．<<c b a
C ．<<c a b
D ．<<b c a
【答案】B
【解析】0.40661a =>=0.40.40.40log 1log 0.5log 0.41b =<=<=
88log 0.4log 10c =<=<<c b a 故答案选B
3．（2019·张家口市第四中学）已知a b c <<，2log 0.2a =,0.22b =,0.30.2c =，则( ) A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．a c b <<
【答案】D
【解析】22log 0.2log 10a =<=，0.20221b =>=又030002021<<=...，即01c <<a c b ∴<<本题正确选项：D
运用三 定点
【例3】（2018·云南省玉溪第一中学高一期中）函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点（ ） A ．(1,2) B ．(2,2)
C ．(2,3)
D ．2,23⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】∵log (32)2a y x =-+过定点， ∴321, 1x x -==，
=log 1+22a y =，故图象必过定点1,2．故选：A ．
【触类旁通】
1．（2019·重庆高一月考）函数()log (1)1a f x x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点（ ） A ．(1,1) B ．(2,1) C ．(1,2) D ．(2,2)
【答案】B
【解析】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f （x ）=1，所以函数()f x 的图象过定点()2,1.
2．函数f (x )＝log a (x －2)必过定点________． 【答案】(3，0)
【解析】由题意得，函数y ＝log a x 恒过点(1，0)，
函数y ＝log a x 向右平移2个单位，可得y ＝log a (x －2)的图象， 所以函数y ＝log a (x －2)图象必经过定点(3，0)．故答案为：(3，0)
运用四 图像
【例4】如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、1
10，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的
a 值依次为( )
A.3、43、35、110
B.3、43、110、3
5
C.43、3、35、110
D.43、3、110、3
5 【答案】A
【解析】 方法一 先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、1
10.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、1
10
.故选A.
方法二 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、1
10
，故选A.
【触类旁通】
1.如图，若C1，C2分别为函数y＝log a x和y＝log b x的图象，则()
A．0＜a＜b＜1 B．0
＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
【答案】B
【解析】作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
2.函数y＝x＋a与y＝log a x的图象只可能是下图中的()
【答案】C
【解析】A中，由y＝x＋a的图象知a＞1，而y＝log a x为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝log a x为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝log a x为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝log a x无意义，也不对．
1．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()
A．y＝log4x B．y＝log1
4
x
【思路总结】
函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响．
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时a越
小，图象向右越靠近x轴．
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
C．y＝log1
2
x D．y＝log2x
【答案】D
【解析】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝log a16，
得a＝2所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
2．下列函数是对数函数的是( )
A．y=log3(x+1)B．y=log a(2x)(a>0,a≠1)
C．y=lnx D．y=log a x2(a>0,a≠1)
【答案】C
【解析】由对数函数定义可以，本题选C。

3．下列函数，是对数函数的是
A．y=lg10x B．y=log3x2
C．y=lnx D．y=log1
3
（x–1）
【答案】C
【解析】由对数函数的定义，形如y=log a x（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，
y=log
3x2=2log
3
|x|、y=log1
3
(x−1)都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．
4．对数函数y=log a x(a>0且a≠1)与二次函数y=(a−1)x2−x在同一坐标系内的图象可能是() A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，若0<a<1，则y=log a x在(0,+∞)上单调递减，
又由函数y=(a−1)x2−x开口向下，其图象的对称轴x=1
2(a−1)
在y轴左侧，排除C，D.
若a>1，则y=log a x在(0,+∞)上是增函数，
函数y=(a−1)x2−x图象开口向上，且对称轴x=1
2(a−1)
在y轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.
5．若函数y＝log a(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是()
A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．(1，＋∞)
【答案】B
【解析】令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.
在[0,1]上，随着x 的增大，u ＝2－ax 减小，要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必须是增函数，故a >1.综上可知，1<a <2.
6．（2019·新疆兵团第二师华山中学高二月考（文））函数()2log 1f x x =+与()1
2x g x --=在同一平面直角
坐标系下的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】()+1
1122x x g x --⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，由指数函数的图象知，将函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象向左平移一个单位，即可得到()g x 的图象，从而排除选项A,C ；将函数2log y x =的图象向上平移一个单位，即可得到
2()log 1f x x =+的图象，从而排除选项B ，故选D ．
7．（2019·河北高二期末）已知2
5
13a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 25
23
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
131
log 5c = 则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a
【答案】D
【解析】因为25
y x =在()0,∞+上为增函数，所以b a >，由因为20
5
11133a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2
05
22133b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，113311log log 153c =>=，所以c b a >>，所以选择D 8．（2019·沙雅县第二中学高二期末）下列四个函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（ ） A ．3log y x =
B ．3x y =
C
．y =D ．1
y x
=
【答案】D
【解析】选项A:因为底数大于1，故对数函数3log y x =在区间()0,+∞上是增函数；
选项B: :因为底数大于1，故指数函数3x y =在区间()0,+∞上是增函数；
选项C:
因为指数大于零，故幂函数y =()0,+∞上是增函数；
选项D;反比例函数当比例系数大于零时，在每个象限内是减函数，故1y x
=在区间()0,+∞上是减函数，故本题选D.
9．（2019·湖南浏阳一中高二期末（文））已知0.320.1
23log ,log ,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（
） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>
【答案】C 【解析】函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 0.3log 10a =<=，
函数3log y x =在()0,∞+上为增函数，333log 1log 2log 3∴<<，即01b <<，
函数2x y =在R 上为增函数，则0.30221>=，即1c >，因此，c b a >>，故选：C 。

10．（2019·天津高考模拟（理））设 1.5313
1
log ,,log 4a e b e c ===，则
A ．b a c <<
B ．c a b <<
C ．c b a <<
D ．a c b <<
【答案】D 【解析】因为 1.53133
1
log (0,1),2,log log 4(1,2)4a e b e c =∈=>==∈，所以b c a >>，选D.
11．（2019·江西高二期末（理））设e e a =，e πb =，πe c =，则,,a b c 大小关系是( )
A ．a c b >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】C
【解析】由幂函数和指数函数知识可得e e πe >，πe e e >，即b a >，c a >.
下面比较,b c 的大小，即比较eln π与π的大小.设()eln f x x x =-，则e ()x
f x x -'=，
()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，
(e)(π)f f ∴>，即elne e eln ππ->-，即eln ππ<， e ππe ∴<，即c b >，即c b a >>，故选C.
12．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)log a x 是对数函数，则a 的值为______．
【答案】2
【解析】由对数函数的定义结合题意可知：{a 2−3a +3=1a >0且a ≠1
， 据此可得：a =2.
13．（2019·云南高三月考（文））已知函数()()231,2log 2,x x a f x x x a ⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩
在区间(],a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．
【答案】[]2,0- 【解析】因为二次函数212
y x =在区间(],a -∞上单调递减，所以a≤0. 由x +2＞0，所以x ＞-2.所以2a ≥-.
故a 的取值范围为[]2,0-.
14．（2019·河北高二期末（文））已知函数f (x )=log a (x +2)+3的图象恒过定点(m,n )，且函数g (x )=mx 2−2bx +n 在[1,+∞)上单调递减，则实数b 的取值范围是_______.
【答案】[−1,+∞)
【解析】由题得函数f (x )=log a (x +2)+3的图象恒过定点(−1,3)， 所以m=-1,n=3.
所以g (x )=−x 2−2bx +3, 函数的对称轴方程为x =−
−2b −2=−b ，
函数g (x )=mx 2−2bx +n 在[1,+∞)上单调递减，
所以−b ≤1,∴b ≥−1.
故答案为：[−1,+∞)
15．（2019·新疆克拉玛依市高级中学高一期末）已知函数f (x )()4log 1a x =+-的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是 ____________.
【答案】（2,4）
【解析】令x -1=1,得到x=2,把x=2代入函数得(2)404f =+=， 所以定点P 的坐标为（2,4）.
故答案为：（2,4）
16．（2019·黑龙江大庆实验中学高二期末）函数()log (43)(0a f x x a =->且1)a ≠的图象所过定点的坐标是________.
【答案】()1,0
【解析】由log 10a =可令431x -=，解得1x =，所以图象所过定点的坐标是()1,0 17．（2018·山东日照一中高一期中）函数()log (1)8a f x x =-+的图象恒过点A ，且点A 在幂函数()g x 的图象上，则(3)g =______．
【答案】27
【解析】因为()()log 18a f x x =-+的图象恒过点A ，则()2,8A 设幂函数g x x ，又点A 在幂函数()g x 的图象上
所以28α=，解得：3α=
所以()3
3327g == 本题正确结果：27
18．函数y=1+log a （x+2）（a ＞0且a≠1）图象恒过定点A ，则点A 的坐标为______．
【答案】（-1，1）
【解析】由对数函数的性质，令x+2=1可知y=1
所以y=1+log a （x+2）（a ＞0且a≠1）图象恒过定点A （－1，1）， 故答案为：（－1，1）.。