中考数学第七单元圆

第34课时┃ 京考探究
► 热考二 直线和圆的位置关系的判定
例2 已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm，
2 3 以点C为圆心作圆，当半径 R ＝________ cm时，AB与
⊙C相切．
第34课时┃ 京考探究
[解析] 如图，过 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 CD 为圆 心 C 到直线 AB 的距离．
图 33－1 B．(1，－1) D．(2，1)
第33课时┃ 京考探究
[解析] 如图所示， ∵AW＝1，WH＝3，∴AH＝ 10. ∵BQ＝3，QH＝1，∴BH＝ 10. ∴AH＝BH，同理，AD＝BD. ∴GH 为线段 AB 的垂直平分线， 易得 EF 为线段 AC 的垂直平分线， H 为圆的两条弦的垂直平分线的交点， 则 BH＝AH＝HC，H 为圆心． ∴该圆弧所在圆的圆心坐标为(－1，1)．选 C.
知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，则∠ABD的度数是________度． 101
第33课时┃ 京考探究
[解析] ∵∠AOB＝98°，∠COB＝120°， ∴∠AOC＝360°－∠AOB－∠COB＝142°. ∴∠ABC＝71°. ∵D 是弧 BC 中点， ∴∠CBD＝12∠BAC. 又∵∠BAC＝12∠COB＝60°， ∴∠CBD＝30°. ∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝101°.
图 34－1
第34课时┃ 京考探究
[解析] 判断船是否有触礁危险，实际就是判断以C为圆心，9海里为半径的圆(暗礁区域)与 直线AB的位置关系．如果直线与圆无交点(相离)，则船没有触礁危险；如果直线与圆有交点( 相切或相交)，则船有触礁危险．
第34课时┃ 京考探究
解：过 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 CD 为圆心 C 到直线 AB 的距离．
第33课时┃ 京考探究
此题考查圆内接四边形定义及圆内接四边形对角互补的性质，一定要明确圆内接 四边形所有顶点都在圆上．
第34课时┃与圆有关的位置关系
第34课时┃ 考点聚焦 考点聚焦
考点1 点和圆的位置关系
点在圆外⇔________ d>r
如果圆的半径是r，点 到圆心的距离是d，那
么
点在圆上⇔________d=r 点在圆内⇔________ d<r
相等
直径
பைடு நூலகம்
直角
第33课时┃ 考点聚焦
考点7 圆内接多边形
圆内接 四边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接 四边形 的性质
圆内接四边形的__对__角__互__补_____
第33课时┃ 考点聚焦
考点8 反证法
定义 步骤
不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得 出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反 证法
简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中 的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立
第33课时┃ 考点聚焦
考点5 圆心角、弧、弦之间的关系
定理 推论
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的______相等，所对
的______相等 弧
弦
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中的一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等
第34课时┃ 京考探究
在判断圆和圆位置关系时，可以根据两圆的公共点的个数确定，也可结合圆心距和 半径的关系来确定．
第35课时┃圆的切线的性质与判定
周角
圆心角圆 周角
圆心角圆 周角
圆心角圆 周角
圆心角圆 周角
第33课时┃ 京考探究
热考精讲
► 热考一 确定圆的条件
例 1 [2010·乐山] 如图 33－1 所示，一圆弧过方格的格
点 A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐
标为(－2，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是
(C )
A．(－1，2) C．(－1，1)
第33课时┃ 考点聚焦
考点5 垂径定理及其推论
垂径 定理
垂直于弦的平直分径弦______，并且平分弦所对的两条弧
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分 线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分 弦，并且平分弦所对的另一条弧
由题意得 AB＝10. 又∵∠EAC＝60°， ∴∠CAB＝30°. ∴∠ACB＝30°， ∴AB＝CB＝10. Rt△BDC 中，CB＝10，∠BCD＝30°， ∴BD＝5，∴CD＝5 3≈8.65<9.
∴AB 与⊙C 相交．∴船有触礁危险．
第34课时┃ 京考探究
直线与圆的位置关系是圆的重要内容之一，也是中考必考考点之一．在判断直线与圆 的位置关系，可根据定义法从交点个数进行判断，也可以利用圆心到直线的距离与圆的 半径的大小关系进行判断；在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．
第34课时┃ 京考探究
► 热考二 圆和圆的位置关系
例3 [2012·西城九上期末] 已知相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是
()
C
A．2
B．3
C．6
D．11
[解析] 根据题意，得 R＝7，r＝4， ∴R＋r＝11，R－r＝3， ∴相交两圆的圆心距为 R－r＜d＜R＋r， 即 3＜d＜11， ∴它们的圆心距可能是 6.选 C.
例 1 [2011·上海] 矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝3 5， 点 P 在边 AB 上，且 BP＝3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，
PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是
(C )
A．点 B、C 均在圆 P 外
B．点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内
C．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外
此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题 ，常利用垂径定理把半弦长，半径，圆心到弦的距离转换到同一直角三角形中，然后 通过勾股定理求解．
第33课时┃ 京考探究
► 热考三 圆心角、弧、弦之间的关系 例 3 [2010·丽水] 如图33－3，△ABC是⊙O的内接三角形，点D是弧BC的中点，已
D．点 B、C 均在圆 P 内
第34课时┃ 京考探究
[解析] ∵AB＝8，点 P 在边 AB 上，且 BP＝3AP，
∴AP＝2，∴r＝PD＝
3
52＋22
＝7，
PC＝ PB2＋BC2＝9.
∵PB＝6＜r，PC＝9＞r. ∴点 B 在圆 P 内，点 C 在圆 P 外，选 C.
判断点和圆的位置关系，从点到圆心的距离和圆的半径大小关系来确定．
点拨
解有关两圆相交问题时，常常要作出连心线，公共弦，或者联结交点与圆 心，从而把两圆的半径，公共弦长的一半，圆心距等集中在同一个三角形 中，利用三角形的知识加以解决
第35课时┃ 考点聚焦
考点5 相切两圆的性质
相切两圆 的性质
如果两圆相切，那么两圆的连心线经过________ 切点
两圆相切时的图形是轴对称图形，通过两圆圆心的连线 (连心线)是它的对称轴
第33课时┃ 京考探究
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系巧记：同(等)圆中等弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等，弦心距相等．
在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半， 相等的圆周角所对的弧相等，圆周角定理建立了圆心角和圆周角之间的关系，实现了 圆中的角的转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法．
第33课时┃ 考点聚焦
考点2 确定圆的条件及相关概念
确定圆 的条件
三角形的 外心
不在同一直线的三个点确定一个圆 三角形三边_________垂__直_的平交分点线，即三角形外接圆的圆心
防错提醒
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形 的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部
考点3 圆的对称性 中心
可求得 CD＝ACA·BCB＝2 3 (cm)， 当半径 R＝2 3 cm 时，AB 与⊙O 相切．
第34课时┃ 京考探究
变式题 如图 34－1，海岛 C 的周围 9 海里有暗礁，渔 船跟踪鱼群由西向东航行，在点 A 处测得海岛 C 位于北偏 东 60°，航行 10 海里后到达点 B 处，又测得海岛 C 位于北 偏东 30°，如果渔船不改变方向继续向东航行，有没有触 礁的危险？(参考数值： 2≈1.41， 3≈1.73)
第33课时┃ 京考探究
例4 四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=100°，则∠DAB的度数为
()
D
A．50° B．80° C．100° D．130°
第33课时┃ 京考探究
[解析] ∵∠BOD＝100°， ∴∠BCD＝50°. ∵四边形 ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠DAB＝130°，选D.
设⊙O1，⊙O2的半径分别为 Rr(R>r)，圆心之间的距离为 d，那么⊙O1和⊙O2
外切⇔_____d_＝__R＋r 相交⇔____R_－__r_<_d_<_R_ ＋r 内切⇔_______d_＝R－r
两圆内含⇔________d<R－r
第34课时┃ 考点聚焦
考点4 相交两圆的性质
性质
(1)相交两圆的连心线垂直平分公共弦； (2)两圆相交时的图形是轴对称图形
第34课时┃ 考点聚焦
考点2 直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直 线l的距离为d，那么
(1)直线l和⊙O相交⇔________d<r (2)直线l和⊙O相切⇔________d=r (3)直线l和⊙O相离⇔_______d_>r
第34课时┃ 考点聚焦
考点3 圆和圆的位置关系
外离⇔_______d_>R＋r
(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设； (2)从假设的结论出发，推出矛盾； (3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确
第33课时┃ 京考探究
京考探究
考情分析
年份 题型
填空 4分
解答
2008
2009
2010
2011
2012
2013 你来猜
垂径定理、 圆周角
垂径定理、 圆心角、圆
圆既是轴对称图形又是________对称图形，圆还具有旋转不变性．
第33课时┃ 考点聚焦
考点4 垂径定理及其推论
垂径 定理 推论
总结
垂直于弦的直径___平_分__弦____，并且平分弦所对 的两条弧 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆 心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对 的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所 对的另一条弧
中考数学第七单元圆
第33课时┃圆的有关性概念与性质
第33课时┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 圆的有关概念
圆的 定义
弦 直径
弧 优弧 劣弧
定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固 定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径 定义 2：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图 形叫做圆．即圆是到定点的距离等于定长的点的集合 联结圆上任意两点的___线_段____叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分叫做弧 大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧
第34课时┃ 京考探究
京考探究
考情分析
年份 题型
选择 4分
解答
2008
2009
2010
2011
2012
2013 你来猜
圆和圆的位 置关系
直线与圆的 位置关系
直线与圆 的位置关 系
直线与圆 的位置关 系
直线与圆 的位置关 系
直线与圆 的位置关 系
第34课时┃ 京考探究
热考精讲
► 热考一 点和圆的位置关系
总结
简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对 的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立
第33课时┃ 考点聚焦
考点6 圆周角
圆周角 定义
圆周角 定理 推论1 推论2
推论3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________ 在同一圆半或等圆中，相等的圆周角所对的弧______ 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______ 半__圆_相_(_等_或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是
第33课时┃ 京考探究
► 热考二 垂径定理的应用
例 2 如图 33－2，在半径为 5 的⊙O 中，如果弦 AB 的
长为 8，那么它的弦心距 OC 等于
(B )
A．2
B．3
图 33－2 C．4
D．6
第33课时┃ 京考探究
[解析] 联结OA，在Rt△OAC中，OA＝5，AC＝4，∴OC＝＝3.选B.