21-22版：培优课 圆锥曲线的综合问题（创新设计）

2.8直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.
2.(1)一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它
们的方程并消去一个未知数后，得到的是一个一元二次方程且该方程只有一个实
数解(即有两个相等的实数解)，则称直线与圆锥曲线相切.
(2)一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.
(3)若直线l ：y ＝kx ＋b 与圆锥曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝
或|AB |＝
1＋1
k 2||y 1－y 2|＝
k ≠0). 自主检验
1.思考辨析，判断正误
(1)直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切.(×)
提示 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线有可能相交，如平行于对称轴的直线与抛物线只有一个交点，但不相切.
(2)直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数.(√) (3)直线与双曲线相切是直线与双曲线有一个公共点的充分不必要条件.(√) 2.直线y ＝x －1被椭圆2x 2＋y 2＝4所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
3，－23|| B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－23，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－13|| D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，12 答案 A
解析 由⎩⎨⎧y ＝x －1，2x 2＋y 2＝4消去y ，得2x 2＋(x －1)2＝4，
即3x 2－2x －3＝0，
∴弦的中点的横坐标是x ＝12×23＝1
3， 代入直线方程y ＝x －1中，得y ＝－2
3
，
∴弦的中点坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
3，－23.故选A.
3.过点(1，0)作斜率为－2的直线与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A.213|| B.215|| C.217||
D.219
答案 B
解析 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由直线AB 斜率为－2，且过点(1，0)得直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，|AB |＝5（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5×16－4＝215.故选B.
4.若点P (8，1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是________________. 答案 2x －y －15＝0
解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，
两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为P (8，1)， 所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.
所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝2，即直线AB 的斜率为2，
所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 代入x 2－4y 2＝4满足Δ＞0. 故所求直线方程为2x －y －15＝0.
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判定
【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1，试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？
解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组 ⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22
＝1，② 将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0，③
这个关于x 的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)由Δ＞0，得－32＜m ＜3 2.
于是，当－32＜m ＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点. (2)由Δ＝0，得m ＝±3 2.
也就是当m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有一组实数解，这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. (3)由Δ＜0，得m ＜－32或m ＞3 2.
从而当m ＜－32或m ＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l 与椭圆C 没有公共点.
思维升华 在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形. 【训练1】 已知双曲线C ：x 2
－y 2
2
＝1，直线l 过点P (1，1)，当直线l 的斜率k
为何值时，直线l 与双曲线C ：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点？
解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k ). 由⎩
⎪⎨⎪
⎧y ＝kx ＋（1－k ），x 2－y 22＝1 得(k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0.(*)
当k 2－2＝0，即k ＝±2时，(*)式只有一解，直线l 与双曲线相交，只有一个公共点，
当k 2－2≠0时，Δ＝24－16k ，
若Δ＝0，即k ＝3
2，则方程(*)只有一解，直线与双曲线相切，只有一个公共点；
若Δ＞0，即k ＜3
2，则方程(*)有两解，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若Δ＜0，即k ＞3
2，则方程(*)无解，直线与双曲线无公共点. 综上，(1)当k ＝±2或k ＝3
2时，直线l 与双曲线只有一个公共点； (2)当k ＜3
2且k ≠±2时，直线l 与双曲线有两个公共点；
(3)当k ＞3
2时，直线l 与双曲线无公共点. 题型二 中点弦及弦长问题
【例2】 已知点A (－1，0)，B (1，0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且k MA ·k MB ＝－2.
(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过定点(0，1)作直线PQ 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|PQ |＝32
2，求直线PQ 的方程.
解 (1)设M (x ，y )，则k MA ＝
y x ＋1，k MB ＝y x －1
(x ≠±1)， ∴y x ＋1·y x －1
＝－2，∴x 2＋y 2
2＝1(x ≠±1)， 故点M 的轨迹C 的方程为x 2
＋y 22＝1(x ≠±1).
(2)当直线PQ 的斜率不存在，即PQ 是椭圆的长轴时，其长为22，显然不合题意，即直线PQ 的斜率存在，
设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，消去y 得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. ∵Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)＞0，∴k ∈R ， x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2
，
∴|PQ |＝（1＋k 2
）[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2]＝22·k 2＋1
k 2＋2
，
∴|PQ |＝32
2＝22·k 2＋1k 2＋2，k 2＝2，k ＝±2，
∴直线PQ 的方程是y ＝±2x ＋1.
思维升华 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线是否适合题意.
【训练2】 中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆与直线x ＋2y －8＝0相交于A ，B ，C 是AB 中点，若|AB |＝10，OC 的斜率为1
2，求椭圆的方程. 解 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 2
2＝1，
两式作差得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.① 由⎩⎨⎧mx 2＋ny 2＝1，x ＋2y －8＝0
消y 得，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫m ＋14n x 2－4nx ＋16n －1＝0，
则x 1＋x 2＝
4n m ＋14n ＝16n
4m ＋n ，x 1·x 2＝16n －1m ＋14n ＝64n －44m ＋n . 故由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝
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（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10， 得⎝ ⎛⎭
⎪⎫16n 4m ＋n 2
－4×64n －44m ＋n ＝8.②
将y 1－y 2x 1－x 2＝－12及y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝1
2代入①式可得n ＝4m ， 将n ＝4m 代入②式可得m ＝136， ∴n ＝19.∴所求椭圆方程为x 236＋y 2
9＝1.
题型三 圆锥曲线中的最值及范围问题
【例3】 已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°. (1)求证：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值.
(1)证明 设OA 所在直线的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1
k x . 由⎩⎨⎧y ＝kx ，y 2＝2x
得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2，2k ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，
y 2＝2x
得B (2k 2，－2k ). ∴直线AB 所在直线方程为(y ＋2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x －2k 2)，化简得x －⎝ ⎛⎭⎪
⎫1k －k y －2＝0，
∴直线过定点P (2，0).
(2)解 由于直线AB 过定点P (2，0)，所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).
由⎩⎨⎧x ＝my ＋2，
y 2＝2x
得y 2－2my －4＝0. ∴|y 1－y 2|＝（2m ）2＋16＝4m 2＋16.
∴S △AOB ＝12|y 1|·|OP |＋12|y 2|·|OP |＝1
2|OP |·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝4m 2＋16≥4，当m ＝0时，取到等号.
∴△AOB 面积的最小值为4. 思维升华 (1)求参数范围的方法
根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围. (2)求最值问题的方法 ①几何法
题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决. ②代数法
题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法有均值不等式法、单调性法等.
【训练3】 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.
证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补， ∴k AC ＝－k (k ≠0).
∴AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2， AC 的方程是y ＝－k (x －4)＋2. 由方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －4）＋2，
y 2＝x
消去y 后，整理得
k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.
∵A (4，2)，B (x B ，y B )的横坐标是上述方程组的解， ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，即x B ＝4k 2－4k ＋1
k 2.
设C (x C ，y C )，
以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1
k 2，
∴k BC ＝
y B －y C
x B －x C
＝k （x B －4）＋2－[－k （x C －4）＋2]x B －x C
＝k （x B ＋x C －8）x B －x C ＝k ⎝ ⎛⎭⎪
⎫8k 2＋2k 2－8－8k
k 2＝－14.
∴直线BC 的斜率为定值.
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数.确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0
和斜率不存在的两种情
形，以及在双曲线和抛物线中，直线和圆锥曲线有一个公共点并不一定相切.
2.与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：
①一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系.求解时需保证直线与曲线有两交点，即判别式大于零.
3.在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、均值不等式等使问题获解.同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件.。