考研数学一(填空题)模拟试卷104(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷104(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．=______．
正确答案：0
解析：知识模块：函数、极限、连续
2．设(X，Y)的分布函数为F(x，y)=则P{X＞1，Y＞1}=__________。

正确答案：
解析：利用联合分布函数来表示区域上的概率，并结合分布函数的定义可得P{X＞1，Y＞1}=F(+∞，+∞)一F(+∞，1)一F(1，+∞)+F(1，1)=1一注：arctan(+∞)=，arctan(1)= 知识模块：多维随机变量及其分布
3．设函数且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)=______．
正确答案：
解析：利用洛必达法则，由于f(x)在x=0处可导，则在该点连续，就有b=f(0)=－1，再由导数的定义及洛必达法则，有知识模块：一元函数微分学
4．设y1=ex，y2=x2为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程为_______．
正确答案：
解析：由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可．由于y1=ex与y2=x2线性无关，故该二阶线性齐次微分方程的通解为y=C1ex+C2x2，①y’=C1ex+2C2x，②y’’=C1ex+2C2．③由式①、式②、式③消去C1与C2便得如上所填．知识模块：常微分方程
5．已知三个向量a，b，c，其中c⊥a，c⊥b，a与b的夹角为，｜a｜=6，｜b｜=｜c｜=3，则(a×b).c=_______。

正确答案：±27
解析：由题设可知｜a×b｜=｜a｜｜b｜sin＜a，b＞=6×3×=9。

由于c ⊥a，c⊥b，则c∥(a×b)，即c与a×b之间夹角α=0或π。

因此，(a×b).c=｜a ×b｜｜c｜cosα=9×3×(±1)=±27。

知识模块：高等数学
6．已知随机变量Y～N(μ，σ2)，且方程χ2＋χ＋Y＝0有实根的概率为，则未知参数μ＝_______．
正确答案：
解析：已知Y～N(μ，σ2)，且P{方程有实根}＝P{1－4Y≥0}＝P{Y≤}＝，即知识模块：概率论与数理统计
7．设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x2+4x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是________．
正确答案：[一2，2]．
解析：对f配方，可得f=(x1+ax3)2一(x2—2x3)2+(4一a2)x32于是f可经可逆线性变换化成标准形f=z12一z22+(4一a2)z32 若4一a2＜0，则f的负惯性指数为2，不合题意；若4一a2≥0，则f的负惯性指数为1．因此，当且仅当4一a2≥0，即｜a｜≤2时，f的负惯性指数为1．知识模块：线性代数
8．已知事件A发生必导致事件B发生，且0＜P(B)＜1，则=______．
正确答案：应填0．
解析：由已知得知识模块：概率论与数理统计
9．直线L：一在平面∏：x一y+3z+8=0上的投影方程为_________．
正确答案：
解析：假设平面∏1过L且垂直于平面∏，设L的方向向量为s，∏1的法向量为n1，∏的法向量为n，则n1⊥s，n1⊥n，而知识模块：向量代数和空间解析几何
10．d(arctan e2x)=_________dex．
正确答案：
解析：直接求d(arctan e2x)=______dex空中的表达式非常困难，但如果将问题转化为=_______，即转化为求两个函数的微分的商，问题迎刃而解．知识模块：高等数学
11．已知总体X服从参数为λ的泊松分布，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值为，方差为S2，如果＋(2－3a)S2是λ的无偏估计，则a ＝_______．
正确答案：
解析：直接由E＝λ求a．依题意EX＝DX＝λ，故E＝λ，ES2＝DX＝λ，E＝aE＋(2－3a)ES2＝aλ＋(2－3a)λ＝(2－2a)λ＝λ，解得a＝．知识模块：概率论与数理统计
12．积分=_________．
正确答案：1一sin1
解析：=∫01(1一y)sinydy=1一sin1．知识模块：多元函数积分学
13．幂级数的和函数为________。

正确答案：
解析：令x2=t，则原级数可化为由于所以级数的收敛半径为2，收敛区间为(-2，2)。

即级数的收敛半径为设级数的和函数为s(x)，即对上式从0到x逐项积分，可得在上式两端同时对x求导，则有知识模块：高等数学
14．点(1，2，3)到直线的距离为________．
正确答案：
解析：记点M0(1，2，3)，M(0，4，3)，s=(1，一3，一2)，知识模块：向量代数与空间解析几何
15．若A=(4，5，6)，则|A|=_______．
正确答案：0
解析：利用公式“r(AB)≤r(B)及A≠0，则r(A)≥1”，易见本题中r(A)=1，所以|A|=0．或作矩阵乘法由A中两行元素成比例可知|A|=0．知识模块：线性代数
16．设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=______。

正确答案：2
解析：因为所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。

知识模块：线性代数
17．设区域D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，则｜y—x2｜dxdy=________．
正确答案：
解析：令D1=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x2｝，D2=｛(x，y)｜0≤x≤1，x2≤y≤1｝，知识模块：高等数学
18．设A=，则(A*)—1=___________．
正确答案：
解析：|A|=10，因为A*=|A|A—1，所以A*=10A—1，故(A*)—1=．知识模块：线性代数
19．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*X=0的通解是_______。

正确答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2为任意常数
解析：因为矩阵A的秩是2，所以｜A｜=0，且r(A*)=1。

再由A*A=｜A｜
E=O可知，A的列向量为A*x=0的解，因此A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2为任意常数。

知识模块：线性方程组
20．四元齐次线性方程组的基础解系是________．
正确答案：η1=(0，1，0，0)T，η2=(-2，0，3，1)T
解析：由齐次方程组的系数矩阵A=，易见R(A)=2，那么n-R(A)=4-2=2，故基础解系由两个线性无关的解向量所构成，且每个解向量中有两个自由变量．由于第1、3两列所构成的2阶子式≠0，故可取x2，x4为自由变量．令x2=1，x4=0，由第2个方程x3-3x4=0求出x3=0．再把x2=1，x4=0，x3=0代入第一个方程x1+2x4=0求出x1=0，于是得到η1=(0，1，0，0)T．令x2=0，x4=1，由第2个方程x3-3x4=0求出x3=3，再将x2=0，x4=1，x3=3代入第一个方程x1+2x4=0，求出x1=-2，于是得到η2=(-2，0，3，1)T．所以AX=0的基础解系是η1，η2．知识模块：线性代数
21．若二次曲面的方程为x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4，经正交变换化为y12+4z12=4，则a=__________。

正确答案：1
解析：本题等价于将二次型f(x，y，z)=x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz经正交变换后化为了f=y12+4z12。

由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1，4，0。

由于矩阵的行列式值是对应特征值的乘积，且该二次型的矩阵为A=，即可得｜A｜= —(a—1)2=0，因此a=1。

知识模块：二次型
22．已知α1=(1，2，3，4)T，α2=(2，0，一1，1)T，α3=(6，0，0，5)T，则向量组的秩r(α1，α2，α3)=__________，极大线性无关组是__________．
正确答案：3 α1，α2，α3
解析：(α1，α2，α3)=线性无关，而知α1，α2，α3线性无关(【定理3．3】)，故秩r(α1，α2，α3)=3，极大线性无关组：α1，α2，α3．知识模块：n维向量与向量空间
23．若f(x)=ae—x2+x为随机变量X的概率密度函数，则a= _______。

正确答案：
解析：依题意有∫—∞+∞ae—x2+xdx=1，又知识模块：随机变量及其分布
24．设两曲线y=x2＋ax＋b与－2y=－l＋xy3在点(一1，1)处相切，则a=________，b=_______．
正确答案：a=3，b=3
解析：因为两曲线过点(一1，1)，所以b一a=0，又由y=x2+ax+b得=a－2，再由一2y=一1+xy3得，且两曲线在点(一1，1)处相切，则a一2=1，解得a=b=3．知识模块：高等数学
25．设z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_________．
正确答案：f’+xf’’+xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’+yx2y－1lnxg11’’+2y2xy－1g12’’+2xy＋1lnxg21’’+4xyg22’’．
解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy－1g1’(xy，x2+y2)+2xg2’(xy，x2+y2)=f’+xf’’+xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’+yx2y－1lnxg11’’+2y2xy－1g12’’+2xy＋1lnxg21’’+4xyg22’’知识模块：高等数学。