湖北省沙市中学2024届高三下学期5月模拟预测数学试卷(含解析)

湖北省沙市中学2024届高三下学期5月模拟预测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题
1．已知，则z 的虚部为( )A.2
B.1
C.2i
D.2．抛物线过点，则的准线方程为( )A. B. C. D.3．已知向量,，则“
”的( )
A.充分不必要条件
B.
必要不充分条件C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4．已知
，
( )
D.
5．为了迎接2025
年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生35人，女生25人.根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差
分别为、，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是( )
A.6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个
爻组成，爻分为阳爻“
”和阴爻“
”，如图就是一重卦.在所有
重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则( )
()i 12i z =-+-i
-2:y ax Γ=()2,1Γ1
x =1y =-2x =-2y =-()2,4a = ()3,1b =- k =)()
a k
b a kb +⊥-
()0,a ∈πsin cos αα+=α=127
247
-
21s 2
2s 2s 2s =2≥2=
222
127512
s s +≥
A =
B =()|P B A =
7．在边长为4的正三角形中，E ，F 分别是，的中点，将沿着翻折至，使得，则四棱锥的外接球的表面积是( )A. B. C. D.8．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则( )
A.函数的最大值为1
B.函数最小值为1
C.函数
二、多项选择题
9．已知的部分图象如图所示，则( )
A.B.在区间单调递减
C.在区间值域为
D.在区间有3个极值点
10．已知正四棱锥的所有棱长均相等，O 为顶点S 在底面内的射影，则下列说法正确的有( )A.平面平面B.侧面内存在无穷多个点P ，使得平面的
的ABC AB AC AEF △EF A EF '△A B FC '⊥A BCFE '-8π
12π
16π
32π
()y f x =()y f x ='()0,1()e x y f x =⋅()e x y f x =⋅y =y =()()0,0,02f x Asin x A ωϕωϕπ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝
⎭()01
f =()f x 411,36ππ⎛⎫
⎪⎝⎭()f x 5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦⎡-⎣()f x ,22π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
S ABCD -SAD ⊥SBC
SBC //OP SAD
C.在正方形的边上存在点Q ，使得直线
D.动点M ，N 分别在棱和上（不含端点），则二面角的范围是
11．已知定义在R 上的函数在区间上单调递增，且满足，
，则( )A. B.C. D.三、填空题
12．已知函数，则
________.
13．已知，
的
距离为1的点P 有且只有3个，则实数________.四、双空题
14．有序实数组
，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用.已知n 维向量，
其中，.记范数为奇数的的个数为，则______；______.（用含n 的式子表示）五、解答题
15．已知函数的图象在x ＝1处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；
（2）若，且时，，求实数m 的取值范围.
16．面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试.面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分.
ABCD AB BC S MN O --,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()f x []1,0-()()4f x f x -=()()2f x f x -=-()10
10
k f k ==∑()()0.9 1.20
f f +<()()22.5lo
g 80f f >()1sin1ln 2f f ⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
()(
)3,0
2,0x
x f x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩3116f log ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭()1,0A -(4,0B -:340x y m ++=m =()(*12,,,n x x x n ⋅⋅⋅∈N ()12,,,n a x x x =⋅⋅⋅{}0,1,2i x ∈1,2,,i n =⋅⋅⋅a
n A 4A =21n A +=()1ln f x ax x x ＝＋－0x y －＝()f x 12,(0),x x ∀∈+∞12x x >22
1212()()>()f x f x m x x
（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分X 服从正态分布，要求满足为达标.现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数.（结果四舍五入保留整数）
，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y 的分布列与数学期望.附：若，则，
17．如图，在三棱柱中，点D 在棱AB 上且，
，O 为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若
的余弦值.
18．已知椭圆的上顶点为B ，右焦点为F ，点B 、F 都在
直线上.（
1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若圆的两条相互垂直的切线，均不与坐标轴垂直，且直线，分别与E 相交于点A ，C 和B ，D ，求四边形面积的最小值.19．已知数列的各项均为正整数，设集合，记T 的元素个数为.
（1）若数列，且，，求数列和集合T ；（2）若是递增的等差数列，求证：；
()60,100N 70X ≥()2,(0)X N μσσ~>()0.683P X μσμσ-<<+≈(22)0.955,(33)0.997
P X P X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈111ABC A B C -2AD DB =,3AB AC AB ⊥==BC 1A O ⊥ABC 1AA OD ⊥1AA =1B AA O --22
22:1x y E a b
+=()0a b >>330x +-=221x y +=1l 2l 1l 2l ABCD {}()12:,,,3n N a a a a N ≥ {},1j i T x x a a i j N ==-≤<≤∣()P T {}:1,3,,n a x y 3x y <<()3P T ={}n a {}n a ()1P T N =-
（3）请你判断是否存在最大值，并说明理由.
()P T
参考答案
1．答案：B
解析：由于，所以z 的虚部为-1.故选：B.2．答案：B
解析：把点代入抛物线方程，得，解得，
所以抛物线方程为，准线方程为.故选：B.
3．答案：A
解析：当时，，即，故
，解得
”的充分不必要条件.故选：A 4．答案：C 解析：，则
即，又因为，故
故
，则
结合
，
故
故选：C 5．答案：D
2i(12i)i 2i 2i z =-+=-+=--(2,1)2y ax =14a =14
a =24x y =1y =-()()a k
b a kb +⊥- ()()0a kb a kb +⋅-= 2220a k b -= ()22222
243(1)0k ⎡⎤+-+-=⎣⎦k ==)()a kb a kb +⊥- 1sin cos 5a a +=2(sin cos )12sin cos a a a a +=+=12sin cos 25
ac a =-
(0,)a ∈πsin 0a >2(sin cos )12sin cos a a a a -=-=,2π⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
sin cos a a -=sin cos a a +=
45a =cos a =a =228
2tan 3tan 21tan 413a a a -
===-⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
6．答案：C
解析：
“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，则
故选：C 7．答案：C 解析：
依题意取，的中点为G ，H ，且交于点O ，注意到F 是的中点，三角形是等边三角形，从而O 是三角形的中心，同时有，，
，面，面，所以面，而面
，所以平面面，故而点在平面的投影在上面，注意到三角形与三角形都是边长为2的等边三角形，即三角形与三角形全等，
从而，，，，面，面，所以面，因为面，所以，因为面，面，所以，
又因为，面，面，故有面，所以
G 是()()
22222
1122352535253525s x x s x x ⎡⎤⎡⎤=
+-++-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦++()()
22
22
11222
751212s x x s x x s ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+≥
6
621()2P A -==AB =345
6666C C C ()2P AB ++==
()41(|)()63P AB B A P A ==BC EF GH BF AC ABC ABC A B FC '⊥FB FC ⊥A B FB B '= A B '⊂A BF 'FB ⊂A BF 'FC ⊥A BF 'FC ⊂BCFE A BF '⊥BCFE A 'BCFE BF A EF 'GEF A EF 'GEF A H EF '⊥GH EF ⊥A H GH H '= A H '⊂A OH 'GH ⊂A OH 'EF ⊥A OH 'AO '⊂A OH 'EF AO '⊥FC ⊥A BF 'AO '⊂A OH 'CF AO '⊥EF CF F = EF ⊂BCFE CF ⊂BCFE AO ⊥BCFE A O '==
==
直角三角形斜边上的中点，所以G 是四边形（或三角形）外接圆的圆心（这是因为，从而B ，C ，F ，G 四点共圆），，所以四棱锥的外接球的球心在与平面垂直的上，且底面四边形外接圆的半径为，设到平面的距离为，过作于点D ，
所以，即，解得，，这意味着此时点与点G 重合，四棱维的外接球的表面积是.故选：C.8．答案：C
解析：AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，
实线部分为，故恒成立，故
在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，
，恒成立，故
，，
减，所以函数
，C 正确，D 错误.故选：C 9．答案：AD
解析：由图像得，，解得，故，故此时
有，将代入函数解析式，得，故
BCF BCFE
BCF 12060180BEF C ∠+∠=︒+︒=︒A BCFE '-O 'BCFE O G 'BCFE 1
22
BG BC =
=O 'BCFE O G h '=O 'O D AO '⊥22222O G GC O D A D R '''+=+=2
2
222124sin 603h R h ︒⎫⎛⎫+==⨯⨯+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭0h =24R =O 'A BCFE '-2416S R =π=π()y f x ='()y f x =()()()()()0x x x y f x e f x e f x f x e =⋅+⋅=+⋅''>'()e x y f x =⋅()
2
()e ()e e x x
x f x f x y '-'=
=
(),0∈-∞()()0x f x f x y e
-''=>y =
()0,∈+∞()()0x f x f x y e -''=<y =y =0=1=2A =311341264T π=π-=πT =π222T ωππ
===π
()2sin(2)f x x ϕ=+,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭22sin 26ϕπ⎛⎫
=⨯+ ⎪⎝⎭
，，解得，，而
，显然成立，故A 正确，
易知，
，
，，故在区间上并非单调递减，故B 错误，易知，，
故在区间的值域不可能为，故C 错误，
当时，，，当时，取得极值，
可得在区间有3个极值点，故D 正确
.
故选：AD 10．答案：BD
解析：已知所有棱长都相等，不妨设为1.对于A ：过S 作直线，因为，所以，所以l 为平面与平面的交线，取中点E ，中点F ，连接，
，由正四棱锥，可得，，所以，，所以为二面角的平面角，连接，
在中，所以平面与平面不垂直，故A 错误；对于B ：取中点G ，中点H ，连接，，，因为，，又平面，平面，所以平面，
平面，又，所以平面
平面，所以当时，
平面，这样的点P 有无穷多，故B 正确；对于C ：由已知可知当Q 在正方形
2262k ϕππ⨯
+=+πk ∈Z 26k ϕπ=+πk ∈Z 0ϕ<<=()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭(0)1f =523f ⎛⎫
π=- ⎪⎝⎭
74f ⎛⎫
π= ⎪⎝⎭74
<π5734f f ⎛⎫⎛π<π ⎪ ⎝⎭⎝7411,436ππ⎛⎫π∈ ⎪⎝⎭()f x 411,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭223f ⎛⎫
π=- ⎪⎝⎭
25,336ππ⎡⎤π∈⎢⎥⎣⎦()f x 5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
[-,22x π⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
2(,4)x ∈ππ7252,666x π⎛⎫+∈ππ ⎪⎝⎭3572,,6222x π+=πππ()
f x ()f x ,22π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
//l AD //BC AD //l BC SAD SBC AD BC ES FS S ABCD -SE AD ⊥SF BC ⊥l AD ⊥l BC ⊥ESF ∠A l B --EF EFS △2
2
11cos 03ESF +-∠==≠SAD SBC SB SC OG OH GH //OG SD //OH SA ,OG OH ⊄SAD ,SD SA ⊂SAD //OG SAD //OH SAD OG OH O = //OGH SAD P GH ∈//OP SAD
各边中点时，与底面所成角最大，
与底面
垂直于，连接，因为平面，又平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以
，因为则为二面角的平面角，当都无限向点B 靠拢时，
，时，范围是，故D 正确.故选：BD.11．答案：BCD
解析：对于函数有，，则函数关于直线对称，由
，则函数关于点对称，
所以，所以得，则，故函数的周期为4，且，故函数为偶函数，
因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图:
由对称性可得，所以的ABCD SQ ABCD
cos SEO ∠==>SEO ∠<
OI MN SI SO ⊥ABCD MN ⊂ABCD SO MN ⊥SO OI O = MN ⊥SIO SI ⊂SIO MN SI ⊥SIO ∠S MN O --MN SIO ∠→
A →N C →SHO ∠→MN O --,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
()f x (4)()f x f x -=()f x 2x =(2)()f x f x -=-()f x (1,0)(4)(2)f x f x -=--(2)()f x f x -=--(4)()f x f x -=-()f x ()()f x f x -=()f x ()f x [1,0]-()f x (1)(2)(3)(4)0f f f f +++=10
1()[(1)(2)(3)(4)]2(9)
k f k f f f f f =-+++⨯+∑
，故A 不正确；
由于，，所以，故B 正确；
又，
，所以，故C 正确；，且，
，所以，故，所以，故D 正确
.
故选：BCD.
13．答案：5或-5
解析：设点，由
整理得：，即点P 的轨迹是圆,圆心在原点，半径为2.
若该圆上有且只有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离
，解得.故答案为：5或-5.
(10)0(1)(2)(2)0
f f f f +-++-≠(0.9)(1.1)0f f +=(1.1)(1.2)f f >(0.9)(1.2)0f f +<()()()()22222lo
g 80log 16log 54log 5log 5f f f f =+=+=22255
log 2log log 5222
==>>()2(2.5)log 80f f >1ln (ln 2)(ln 2)2f f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
0ln 20.7<<14π>>sin sin1sin 0.734ππ>>=>1sin1ln 20>>>1(sin1)ln 2f f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
(,)P x y ||2|PB PA ==224x y +=1:340x y m ++=||
15
m d =
=5m =±
解析：根据乘法原理和加法原理得到.奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，，根据乘法原理和加法原
理得到，两式相减得到
15．答案：（1）在单调递增，在单调递减；
（2）.
解析：(1)的导数为，可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，即，所以
，，由，可得，由，可得
，则在单调递增，在单调递减.
(2)若，当时，有，即有恒成立，设，所以在为增函数，即有
对x >0恒成立，可得对恒成立，令，则
，可得，所以在单调递减，在单调递增，即有在
，则实数m 的取值范围是.
16．答案：（1）159；
1
33
444C 2C 240
A =⋅+⋅=1i x =21n +12322524210
21212121212222n n n n n n n n n A C C C C --++++++=++++ 212102112222210212121213(21)2222n n n n n n n n n n C C C C +++-+++++=+=++++ 2102112222210212121211(21)2222
n n n n n n n n n C C C C ++-+++++=-=-+-- 21
21312
n n A ++-=
()f x (0,e)(e )+∞，21,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦()1ln f x ax x x ＝＋－()1ln f x a x '＝－－()f x ()(1)1f ，1a -0x y -=11a -=2a =()21ln f x x x x +-＝()1ln f x x '-＝()0f x '>0e x <<()0f x '<e x >()f x (0,e)(e )+∞，120()x x ∀∈+∞,,12x x >221212()()f x f x mx mx >22
1122
()>()f x mx f x mx ()()2g x f x mx -＝()()2g x f x mx -＝(0)+∞,()1ln 20g x x mx '--≥＝1ln 2=
x m x 0x >1ln ()x
h x x
h (x '()0x '＝2e x ＝()h x 2(0,e )2(e )+∞,()h x 2e x ＝21,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
（2）Y 的分布列见解析；
解析：（1）因为X 服从正态分布，所以，.因为，所以
，
所以.因此，进入面试的人数约为159.
（2）由题意可知，Y 的可能取值为0，1，2，3，4，5，
则；
17．
答案：（1）证明见解析；解析：（1）在三棱柱中，
,，则,
由,，得，在中，，，
由余弦定理，得，
，于是
，由平面，平面，得，
而，平面，因此平面，又平面，
()E Y =
()60,100N 60μ=10σ=70μσ=+()10.683
700.15852P X -≥≈
=10000.1585158.5159⨯=≈()2
2410113575P Y ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()2
241135P Y ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭()12244211355Y C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1224431355P Y C ⎛⎫==⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭()2
241641;3575Y ⎛⎫⎛⎫==-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
24535P Y ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭111ABC A B C -AB AC ⊥3AB ==60ACB ∠=︒1
2
OA BC =
=3AB =2AD DB =1DB =DBO △30DBO ∠=︒1DB =OB =222121cos301OD =+-⨯︒=1OD =2224OA OD AD +==AO OD ⊥1A O ⊥ABC OD ⊂ABC 1A O OD ⊥1AO A O O = 1,AO A O ⊂1AOA OD ⊥1AOA 1AA ⊂
所以.
（2）由（1）知，，，两两垂直，以O 为原点，直线，，，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
由
，则，，，于是
，，设为平面的一个法向量
，则，取
，显然为平面的
一个法向量，因此
的大小为锐角，所以二面角
；
解析：（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由已知点B 的坐标为，点
F 的坐标为，因为点B 、F 都在直线，，又，所
以，
，
，（2）由题知，的斜率存在且不为0.设.因为与圆相切
，得.联立与E 的方程，可得
1AA OD ⊥OA OD 1OA OA OD 1OA O xyz -1AA =AO =13A O =A 1(0,0,3)A 3
(,0)2
B 13,3)2BA =- 3,0)
2BA =- (,,)m x y z = 1ABA 3
302302x y z x y -+=-=x == (0,1,0)n = 1AOA cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===
1AA O --1B AA O --2
13
y +=()0,b (),0c 33x +-=30-=330c -=222a b c =+2a =b =1=AOA 213
y =1l 2l 1:(0)l y kx m k =+≠1l 221x y +=1=221m k =+1l
，设，，
则
将
用
四边形的面积.
令，则，可得
再令
，则，可得
即四边形
.
19．答案：（1）；；
（2）证明见解析；
（3）存在最大值，理由见解析.
解析：（1）因为，且，所以，，均不相等，所以2，，都是集合T中的元素.因为，
所以.可得，，所以数列，.
（2）因为为递增的等差数列，设的公差为，
当时，，所以，所以
()222
3484120
k x kmx m
+++-=()
11
,
A x y()
22
,
C x y
12
x x
+=
12
x x=
2
x
-==
21
m k
=+
ABCD1
2
S AC BD
=⋅=
2
1
t k
=+(1,)
t∈+∞S==
u=(1,)
∈+∞
5
2
u⎤
∈⎥
⎦
2
242424
652
66
25
u
S
u u
u
==≥=
+++⨯
{}:1,3,5,7
n
a{}
2,4,6
T=
()
P T
{}:1,3,,
n
a x y3x y
<<312
-=1
x-1
y-
1
x-1
y-()3
P T=
32
x y x
-=-=5
x=7
y={}:1,3,5,7
n
a{}
2,4,6
T=
{}
n
a{}n a(0)
d d>
1i j N
≤<≤()
j i
a a j i d
-=-{,2,3,,(1)}
T d d d N d
=-
()1
P T N
=-
.
（3）存在最大值，理由如下：由题意集合
即
，此时，
若存在，则，其中，故，若，不妨设，
则，而，，
故为偶数，为奇数，矛盾、
故，故，故由得到的彼此相异，
故
必有最大值.
()
P T
{,1
j i
T x x a a i j N
==-≤<≤
∣
()
P T≤}2
:2,2,,2N
n
a 22
j i
j i
a a
-=-
1122
j i j i
a a a a
-=-1122
2222
j i j i
-=-
1122
,
j i j i
>>
()()
111222
221221
i j i i j i
--
-=-
12
i i≠
12
i i>
()
121122
22121
i i j i j i
---
-=-
11
j i>
22
j i>
()
1211
221
i i j i
---22
21
j i--
12
i i=
12
j j
={}2
:2,2,,2N
n
a
j i
a a
-
()
P T=(P T()T。