江西省玉山县第一中学2016-2017学年高二下学期第一次

玉山一中2016—2017学年度第二学期高二第一次考试
数学试卷（理科）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1. 已知椭圆的一点到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点到椭圆的另一个焦点的距离等于（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】B
【解析】试题分析：由椭圆方程可知，由椭圆定义可知点到椭圆的另一个焦点的距离等于8-4=4
考点：椭圆定义
2. 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|P Q|=|PF2|，
那么动点Q的轨迹是（）
A. 圆
B. 椭圆
C. 一条直线
D. 两条射线
【答案】A
【解析】试题分析：已知椭圆的焦点和椭圆上的一个动点，由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a，又|PQ|=|PF2|，代入上式，可得|F1Q|=2a．再由圆的定义得到结论．
解：∵|PF1|+|PF2|=2a，
|PQ|=|PF2|，
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a．
即|F1Q|=2a．
∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，
∴动点Q的轨迹是圆．
故选A
考点：椭圆的简单性质；轨迹方程．
3. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：作出封闭图形（如图所示），由定积分的几何意义，得
.
考点：定积分的几何意义.
4. 已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D. ...
【答案】B
【解析】求解原函数的导函数：，
满足题意时，导函数恒成立，
则：，
解得： .
本题选择B选项.
点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
5. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）
A. 1
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】=(3,1,6),=(2k−1,k,4k−2)，
∵与互相垂直,∴3(2k−1)+k+6(4k−2)=0，
解得k=，
本题选择D 选项.
6. 已知
分别是四面体
的棱的中点，点在线段
上，且
，
，则
=（ ）
A.
B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：
本题选择C 选项.
7. 若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相
垂直，
则函数y =f (x )的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为−1， 当y =sinx 时,y ′=cosx ，满足条件；
当y =lnx 时,y ′=1x >0恒成立，不满足条件； 当y =e x 时,y ′=e x >0恒成立，不满足条件；... 当y =x 3时,y ′=3x 2>0恒成立，不满足条件； 本题选择C 选项.
8. 如图，在平行四边形
中，
，
，将它沿对角线
折起，
使和成角(如图所示)，则、间的距离为( )
A. 1
B. 2
C.
D. 2或
【答案】D
【解析】∵∠ACD=90°,∴ .
同理BA−→−⋅AC−→−=0.
∵AB和CD成60°角,∴<>=60°或120°.
∵，
∴
∴||=2或，
本题选择D选项.
9. 已知椭圆：，直线：，椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最大值（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设椭圆上点的坐标为，由点到直线距离公式可得：
，
则当时，点到直线的距离有最大值 .
本题选择C选项.
点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式.
10. 已知为的导函数，则的图象是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得f′(x) = x−sinx.
∴函数f′(x)为奇函数，故B. D错误；...
又，故C错误；
本题选择A选项.
11. 如图，椭圆的右焦点为，直线不经过焦点，与椭圆相交于点，与轴
的交点为，则与的面积之比是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆的标准方程可得，则焦点，
令A（x1，y1），B（x2，y2），，
椭圆的右准线：，
据此有：，则：
.
本题选择A选项.
12. 已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值
为（）
D.
A. B. C.
【答案】B
【解析】试题分析：由题设可得,令,则
.令.则函数的零点就是函数的极值点.设并记极值点为,则,由于
,故,而且不难验证当
时,,单调递减；当时,,单调递增,所以
,因此,由于且
,所以,故应选B.
考点：导数与最值，恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题和导数的应用，属于中档题.题中要求不等式对任意的恒成立，所以的系数符号为正，可以通过分离参数转化为求函数的的最小值来求解，本题的难点是导函数的零点不能直接求出，可设出其零点，再构造新函数来解答.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，，，则向量与的夹角等于_____．
【答案】
【解析】由题意可得：，
则,
则向量与的夹角等于.
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2)常用来求向量的模．
14. 函数的单调递减区间是_______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，且：，...
求解不等式可得函数的单调递减区间是 .
15. 长方体中，底面是边长为4的正方形，高为2，则顶点到
截面的距离为__________.
【答案】
【解析】由题意可得：,
据此可得，设顶点到截面的距离为h，
对三棱锥的体积进行转换顶点求解：
，即：，
解得： .
点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
16. 已知实数满足，实数满足，则
的最小值为_______________.
【答案】1
【解析】由ln (b +1)+a −3b =0,得a =3b −ln (b +1),则点(b ,a )是曲线y =3x −ln (x +1)上
的任意一点，
由2d −c
=0,得c =2d
,则点(d ,c )是直线y =2x
上的任意一点，
因为(a −c )2+(b −d )2表示点(b ,a )到点(d ,c )的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，
所以(a −c )2+(b −d )2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方,即
曲线上与直线y =2x
平行的切线到该直线的距离的平方。

，令y ′=2，得x =0，此时y =0，即过原点的切线方程为y =2x ，
则曲线上的点到直线距离的最小值的平方d 2=
=1.
三、解答题（本题共6小题，17题10分，其余各小题12分，共70分）
17. 根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程： （1）与椭圆
有公共焦点，且过
；
（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点、。

【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：
(1)首先求得公共焦点，然后求解椭圆方程可得方程为； (2)利用待定系数法设出椭圆方程，结合椭圆经过点、
可得
椭圆的方程为.
试题解析：
解：（1）椭圆
的焦点坐标为（
，0），
∵椭圆过M （3，﹣2），∴2a=+=2，...
∴a=，b=，∴椭圆的标准方程为；
（2）设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m ＞0，n ＞0）．
∵椭圆经过两点和，
∴，∴m=，n=，
∴椭圆的标准方程为．
18. 在单位正方体中，O是的中点，如图建立空间直角坐标系.
（1）求证∥平面；
（2）求异面直线与OD夹角的余弦值；
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：
(1)由，结合线面平行的判断定理即可证得结论；
(2)利用空间直角坐标系可得异面直线夹角的余弦值为 .
试题解析：
（1）解法一：连接A1D则∥A1D.
而A1D平面，平面
所以∥平面.
解法二：设平面的一个法向量为，
由得，令，则
所以. 又.从而
所以∥平面.
解：（2）法一：由（1）知异面直线与的夹角为或其补角.
而且O为中点，故，
所以两异面直线与的夹角的余弦值为.
法二：设、分别为直线与的方向向量，
则由，得cos< , >= .
所以两异面直线与的夹角的余弦值为.
19. 已知函数，
（1）求函数的的极值;...
（2）求函数在区间上的最大值和最小值。

【答案】(1)极大值,极小值（2）最大值,最小值
【解析】试题分析:(1)对函数求导,通过分解因式解出导函数为0的方程根,并根据二次函数的图象判断出导函数的正负,即原函数的单调增减区间,列出表格,进而求出极值;(2)根据定义域结合函数图象,比较端点值的大小确定出函数的最大值,极小值即为最小值.
试题解析:(1)
令，得或
令，得或，令，得
当变化时，的变化情况如下表：
时，取极大值，
时，取极小值，
（2），，...
由（1）可知的极大值为，极小值为，
函数在上的最大值为，最小值为.
点睛: 导数与极值点的关系：(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；
(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象，知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．
20. 如图，在四棱锥中，⊥底面
，⊥，⊥，∠=60°，，是的中点．（1）求和平面所成的角的大小；
（2）证明：⊥平面；
（3）求二面角﹣﹣得到正弦值．
【答案】（1）45°（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．
（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．
（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥PB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，
在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，
∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，
由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
又PC∩CD=C，
综上，AE⊥平面PCD．
（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，
∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，
由已知得∠CAD=30°，...
设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=，
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，
∴AM==，
在Rt△AEM中，sin∠AME=．
∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．21. 已知函数
（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；
（2）当时，，当时，与有两个交点，求实数
的取值范围；
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)函数为减函数，则导函数恒成立，据此可得；
(2)利用题意构造新函数，结合题意和新函数的性质可
得.
试题解析：
(1)
(2)=在上有两个根
…………
令
时，，在上单调递增
时，，在上单调递减
处有极大值也是最大值，…
，…
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
22. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半
径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，证明直线与轴相交于定点．...
【答案】（1）（2）（3）（1，0）
【解析】试题分析：
(1)由题意求得，则椭圆的方程为；
(2)利用题意得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是
(3)写出直线方程，由根与系数的关系可得直线与轴相交于定点（1，0）.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意知，
所以，即a2=4b2，∴a=2b
又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．
由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①
由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴
又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：．（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．
直线ME的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②
由①得，代入②整理，得x=1．
所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．。