(人教版)上海市选修二第一单元《数列》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．已知数列{}n a 中，12a =，1
1
1(2)n n a n a -=-≥，则2021a 等于（ ） A ．1-
B ．12
-
C ．
12
D ．2
2．设数列{}n a 满足11a =，()
*11
2
n n n a a n +-=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．()
*2212n n a n ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
N B ．()
*2112n n a n ⎛
⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
N C ．(
)
*1
112n n a n -=-
∈N
D ．()
*1
22
n n a n =-
∈N 3．在各项为正的递增等比数列{}n a 中，12664a a a =，13521a a a ++=，则n a =（ ） A ．12n +
B ．12n -
C ．132n -⨯
D ．123n -⨯
4．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（ ）
3331373152,39,4,517
1119
⎧⎧⎪⎧⎪⎪
⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪
⎩
A ．44
B ．45
C ．46
D ．47
5．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22
2
12n a a a ++
+=（ ）
A ．()2
21n -
B ．
()1213
n
- C ．41n -
D ．
()1413
n
- 6．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且11
3
a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．
23
B ．
13
C ．2-
D ．3-
7．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72
B ．90
C ．36
D ．45
8．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2
n
n n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．
11021
B ．
11022 C ．1
1023
D ．1
1024
9．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511
B ．513
C ．1025
D ．1024
10．已知数列{}n a 是等比数列，11a >，且前n 项和n S 满足1
1
lim n n S a →∞
=，那么1a 的取值范围是（ ） A
．(
B ．()1,4
C ．()1,2
D ．()1,+∞
11．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =.数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前
n 项和为n T ，若对一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，则m 能取到的最小整数为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
二、填空题
13．数列{}n a 满足2
1
212317
222
22
n n a a a a n n -+++⋅⋅⋅+=
-，若对任意0λ>，所有的正整数n 都有2
2n k a λλ-+>成立，则实数k 的取值范围是_________．
14．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解，当
(),,p q p q p N q N **⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例
如(12)431f =-=，则数列(){}3
n
f 的前2020项和为______．
15．数列{}n a 的前n 项和(
)*
23n n S a n =-∈N
，则4
a
=__________.
16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，149S S =，则满足0n S >的最大自然数
n 的值为_____________.
17．设数列{}n a 满足11a =，且()
*
11n n a a n n N +-=+∈，则数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
前2020项的和为________．
18．已知等比数列{}n a 满足(
)143n
n n a a n N
*
++=⋅∈，的前n 项和为n
S
，若不等式
n n S ka ≥对于任意n *∈N 恒成立，则实数k 的取值范围是______.
19．正项数列{}n a 满足222
112n n n a a a -+=+，若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式为
______.
20．数列{}n a 满足()211122,3,
1
n n n
n n a a a a n a -+--+==+，21a =，33a =，则
7a =________.
三、解答题
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，数列{}n b 的通项公式为1
n n b x -=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ； （3）设()
4
4n n d n a =
+，12n n H d d d =++
+()*n N ∈，求使得对任意*n N ∈，均有
9
n m
H >
成立的最大整数m 22．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足33n n S a =-，(
)*
32
3log 1n n b a n N
=+∈.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）记2
n n n c a b λ=-，若数列{}n c 为递增数列，求λ的取值范围.
23．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，37S =，且
13a +，23a ，34a +成等差数列.数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∀∈满足
11
12
n n T T n n +-=+，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令22
,,n n n n n
n b b c a b n +⎧⎪
⋅=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和为2n Q ； 24．设数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，n *∈N .记11n n
b a =-，n *∈N . （1）求证：数列{}n b 为等差数列；
（2）设32n
na n c ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，求满足不等式123123
11113n n c c c c c c c c ⎛⎫
++++
>++++ ⎪⎝⎭
的正
整数n 的集合.
25．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足()
2
2
0n n S n n S -+=
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
4
n n n b a a +=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：1n T < 26．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，12a =，13(1)2n n n S S n a n +⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
先计算出{}n a 的前几项，然后分析{}n a 的周期性，根据周期可将2021a 转化为2a ，结合
12a =求解出结果.
【详解】
因为12a =，所以234123
1111
1,11,12,......2a a a a a a =-
==-=-=-= 所以
32
1
11111
1111111111111
1n n n
n n n n n
a a a a a a a a +++-=-
=-
=-
=-
=-=--
-
---， 所以{}n a 是周期为3的周期数列，所以20213673+2212
a a a ⨯===， 故选：C. 【点睛】
思路点睛：根据递推公式证明数列{}n a 为周期数列的步骤：
（1）先根据已知条件写出数列{}n a 的前几项，直至出现数列中项循环，判断循环的项包含的项数A ；
（2）证明(
)*
n A n a a A N
+=∈，则可说明数列{}n
a 是周期为A 的数列.
2．B
解析：B 【分析】
利用累加法可求得结果. 【详解】
112
n n n a a +-=
， 所以当2n ≥时，11
12n n n a a ---=
，122
12n n n a a ----=
，
，21112
a a -=
，
将上式累加得：1121
111222n n a a --=
++⋅⋅⋅+， 1
1112211
12
n n a -⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦-=
-1
112n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(2)n ≥， 又1n =时，11a =也适合，
1122n n a -∴=-
1212n
⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
． 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.
3．B
解析：B 【分析】
设其公比为q ，由等比数列通项公式得34a =，进而得
23
33221a a a q q
++=，解得2q =±或1
2
q =±
，再根据数列单调性即可得2q ，进而得12n n
a
【详解】
{}n a 为等比数列，设其公比为q ，
()3
3623
12611364a a a a q a q a ∴====，则34a =，
13521a a a ∴++=，
23
33221a a a q q
∴
++=， 即
224
4421q q
++=， 解得2q =±或12
q =±， 又
{}n a 各项为正且递增，
2q ∴=，
3313422n n n n a a q ---∴==⨯=．
故选：B ． 【点睛】
本题解题的关键是先根据题意得34a =，进而将13521a a a ++=转化为
23
33221a a a q q
++=求q ，考查运算求解能力，是中档题. 4．B
解析：B 【分析】
由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共1
23(2)(1)2
m m m +++=
+-个，再由2017是从3开始的第1008个奇数，可得选项． 【详解】
由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数，共1
23(2)(1)2
m m m ++
+=
+-个，
212017n += ，得1008n =， 所以2017是从3开始的第1008个奇数，
当45m =时，从32到345，用去从3开始的连续奇数共4744
10342⨯=个， 当44m =时，从32到344，用去从3开始的连续奇数共4643
9892
⨯=个， 所以45m =， 故选：B ． 【点睛】
方法点睛：对于新定义的数列问题，关键在于找出相应的规律，再运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得以解决．
5．D
解析：D 【分析】
由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}
2
n a 也为等比数列，确定该数列的
首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；
当2n ≥时，(
)(
)1
1122
2n
n n n n n a S S a a ---=-=---=.
由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n
a ，所以，022a -=，解得1a =，
()1
2
n n a n N -*
∴=∈，则()
2
21
124n n n
a --==，21
21444
n n n n a a +-∴==，且211a =，
所以，数列{}
2
n a 为等比数列，且首项为1，公比为4，
因此，22212
1441
143
n n n
a a a --+++==
-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且
1k ≠，0k ≠）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1
b
m k =
-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭
是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于()1
12,n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b
-=+的式子；
⑦1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式
的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可.
6．B
解析：B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+，且113
a =，可得：111n n n a a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论. 【详解】
因为111n n n n a a a a ++-=+，且113
a =， 所以111n
n n
a a a ++=
-， 21
132113
a +
∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=⨯=.
故选：B 【点睛】
方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.
7．B
解析：B 【分析】
由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2
444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】
由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，
∴2
444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，
∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，
∴99(229)
902
S ⨯+⨯=
=，
故选：B 【点睛】
思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 由,,m k n a a a 成等比，即2
k m n a a a =； 等差数列前n 项和公式1()
2
n n n a a S +=
的应用. 8．C
解析：C
【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+，所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则111
11122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，
所以121n n a =-，故10
1011
211023
a ==-. 故选：C 【点睛】
方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中
1
q
x p =
-）来进行求解. 9．B
解析：B 【分析】
根据递推公式构造等比数列{}1n a -，求解出{}n a 的通项公式即可求解出10a 的值. 【详解】
因为121n n a a +=-，所以121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-， 所以
11
21
n n a a +-=-且1110a -=≠， 所以{}1n a -是首项为1，公比为2的等比数列，
所以112n n a --=，所以121n n a -=+，所以9
1021513a =+=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足
()11,0,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠的数列{}n a 的通项公式，可以采用构造等比数列的方
法进行求解.
10．A
解析：A 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，可知10q -<<或01q <<，计算出11
1
lim 1n n a S q a →∞
==-，可得出q 关于1a 的表达式，结合q 的范围，可解出1a 的取值范围. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由于1
1
lim n n S a →∞
=，则10q -<<或01q <<， ()111n n a q S q
-=
-，则()111
11lim lim
11n n n n a q a S q
q a →∞
→∞
-==
=--，得2
11q a =-. ①若10q -<<，则21110a -<-<，即2
112a <<，11a >
，解得1a <<； ②当01q <<，则21011a <-<，得2
101a <<，
11a >，则2101a <<不成立.
综上所述，1a
的取值范围是(. 故选A. 【点睛】
本题考查利用极限求等比数列首项的取值范围，解题的关键就是得出公比与首项的关系，结合公比的取值范围得出关于首项的不等式，考查运算求解能力，属于中等题.
11．B
解析：B 【分析】
根据25a =，535S =求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出数列的和，然后由
21n m T +>恒成立求解.
【详解】
因为数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，25a =，535S =. 设首项为1a ，公差为d ，
所以11554
5352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩
，
解得132
a d =⎧⎨
=⎩，
故32(1)21n a n n =+-=+， 所以
111111
()·(21)(23)22123
n n a a n n n n +==-++++， 所以11111111111
()()23557212323236
n T n n n =
-+-+⋯+-=-<+++. 因为对于一切n ∈+N 都有21n m T +>恒成立，
所以121
6+m ，解得512
≥-m ， 故m 的最小整数为0. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，还考查了运算和求解的能力，属于中档题.
12．C
解析：C 【分析】
21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B
正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正
确；
24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=
1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=
，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
二、填空题
13．【分析】记设根据即可求出从而得到再根据题意可得分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围【详解】记设当时；当时当时也满足上式所以即显然当时当时因此的最大值若存在必为正值当时因为当且仅当时取等号所以的
解析：,2⎛-∞ ⎝⎭
【分析】
记12n n n b a -=，设21
212317222222
n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=
-， 根据1
112
n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出n b ，从而得到n a ，再根据题意可得
()m 2ax 2n k a λλ-+>，分参利用基本不等式即可求出实数k 的取值范围．
【详解】
记12n n n b a -=，设21
212317222222
n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=
-， 当1n =时，117
322
b =
-=-； 当2n ≥时，()()21217171142222n n n b S n S n n n n -⎡⎤
-----=-⎢⎥⎣⎦
=-=
． 当1n =时，13b =-也满足上式，所以()
*
4n b n n N =-∈，即1
4
2n n n a --=
． 显然当3n ≤时，0n a <，40a =，当5n ≥时，0n a >，因此n a 的最大值若存在，必为正值．
当5n ≥时，()1324n n a n a n +-=-，因为()
151024n n a n
a n +--=≤-，当且仅当5n =时取等号． 所以n a 的最大值为116．故()m 2
ax 1126
n k a λλ>=-+，变形得，31
16k λλ
<+，
而31
162
λλ+≥=
，当且仅当λ=
时取等号，所以k <．
故答案为：,2⎛-∞ ⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查n S 与n a 的关系1
112n n
n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩应用，不等式恒成立问题的解法应用，
以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．解题关
键是记12n n n b a -=，设21
212317
222222
n n n S a a a a n n -=+++⋅⋅⋅+=
-，利用通项n b 与前
n 项和n S 的关系1
112n n
n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n b ，再利用数列的单调性进而求出数列中
的最大值，由基本不等式解出．
14．【分析】先通过归纳得再利用等比数列求和得解【详解】由题意得归纳得则故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出归纳出这个结论之后后面利用等比数列求和就迎刃而解了 解析：101031-
【分析】 先通过归纳得(
)()21
11233
323,3330k k
k k k k k f f ---=-=⨯=-=，再利用等比数列求和
得解. 【详解】
由题意得()()2
3
2
(3)312,3
330,33
3236f f f =-==-==-=⨯=，
()4223330f =-=，
归纳得(
)()21
1
1
23
3323,3330k k
k k k
k
k
f f ---=-=⨯=-=，
则()()()()()()2
3
2020
3
5
2019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=+++
+
012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯
()1010
1
2
1009
10101323333
23113-=⨯+++
+=⨯=--．
故答案为：101031- 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键在通过特殊值归纳出
()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，归纳出这个结论之后，后面利用等
比数列求和就迎刃而解了.
15．24【分析】根据可得两式作差可证明为等比数列并求解出通项公式从而可求【详解】因为所以所以所以所以且所以所以为首项为公比为的等比数列所以所以故答案为：【点睛】思路点睛：已知之间的线性关系求解通项公式的
解析：24 【分析】
根据23n n S a =-可得1123n n S a ++=-，两式作差可证明{}n a 为等比数列并求解出通项公式，从而4a 可求. 【详解】
因为23n n S a =-，所以1123n n S a ++=-，所以1122n n n n a S a S ++--=， 所以1122n n n a a a ++=-，所以12n n a a +=，且11123S a a ==-，所以130a =≠，
所以{}n a 为首项为3，公比为2的等比数列，所以1
32n n a -=⋅，所以41
43224a -=⋅=，
故答案为：24. 【点睛】
思路点睛：已知,n n S a 之间的线性关系，求解{}n a 通项公式的思路： （1）根据已知条件再写一个关于+1+1,n n S a 或()11,2n n S a n --≥的等式；
（2）将新式子与原式作差，利用11n n n a S S ++=-或()12n n n a S S n -=-≥求解出{}n a 的一个递推公式；
（3）证明{}n a 为等比数列，并求解出通项公式.
16．22【分析】由等差数列的前项和的公式求解解出､的关系式再求出的临界条件最后得解【详解】解：等差数列的前项和为所以所以其中所以当时解得所以的最大自然数的值为22故答案为：22【点睛】本题应用公式等差数
解析：22 【分析】
由等差数列{}n a 的前n 项和的公式求解149S S =，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，最后得解. 【详解】
解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，149S S =，
所以()114579a a a +=，1117(13)9(4)a a d a d ++=+，111a d =-， 所以()12n a n d =-，其中10a >，所以0d <，当0n a =时，解得12n =，
()231231223
2302
S a a a =+==， 1222222()
1102
a a S d +=
=->， 所以0n S >的最大自然数n 的值为22.
故答案为：22． 【点睛】 本题应用公式()
12
n n n a a S +=
，等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出1a ､d 的关系式，再求出0n S =的临界条件，判断满足0n S >的最大自然数n 的值.
17．【分析】由得到用累加法求得从而得到然后利用裂项相消法求解【详解】因为所以左右分别相加得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查累加法求通项裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题
解析：
4040
2021
【分析】
由(
)*
11n n a a n n N
+-=+∈得到
1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ，用累加法求得
22
n n n
a +=
，从而得到2121
12
1
n a n n
n
n ，然后利用裂项相消法求解.
【详解】
因为()*
11n n a a n n N
+-=+∈,
所以1122321,1,2,...,2------=-=--=--=n n n n n n a a n a a n a a n a a ， 左右分别相加得()()112234 (2)
-+=++++=
-n n n n a a ，
所以22
n n n
a +=，
所以
212112
1
n
a n n
n
n ，
所以20201111111
140402...2122320202021120212021⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
S ， 故答案为：40402021
【点睛】
本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．【分析】设等比数列的公比为利用等比数列的定义求出的值结合等式可求得数列并计算出由可得求出数列的最小值即可求得实数的取值范围【详解】设等比数列的公比为则可得上述两式相除得则得所以等比数列的公比为首项也 解析：(],1-∞
【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列的定义求出q 的值，结合等式143n
n n a a ++=⋅可求得数列n a ，并计算出n S ，由n n S ka ≥可得131
223n k -≤-⋅，求出数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
则()1143n
n n n a a q a ++=+=⋅，可得()1
211143
n n n n a a q a +++++=+=⋅，
上述两式相除得()()111433143
n n n n q a q q a +++⋅===+⋅，则1443n n n n a a a ++==⋅，得3n n a =， 所以，等比数列{}n a 的公比为3，首项也为3，则()11133313
2
n n n
a S +--==
-，
由于n n S ka ≥，则11
33
3123223n n n n n S k a +--≤==-
⋅，所以数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭单调递增， 当1n =时，数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
中最小项为11
1S a =，1k ∴≤. 因此，实数k 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题考查数列不等式恒成立问题的求解，涉及等比数列通项公式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19．【分析】由得出为等差数列进而求出首项和公差得出的通项公式即可得的通项公式【详解】由题得得为等差数列又因为则有所以是以首项为1公差的等差数列得又因为所以故答案为：【点睛】本题考查利用等差数列的定义法证
解析：n a 【分析】
由222
112n n n a a a -+=+得出{}
2n a 为等差数列，进而求出首项和公差，得出{}
2
n a 的通项公式，
即可得{}n a 的通项公式. 【详解】
由题得222
112n n n a a a -+=+，得{}
2
n a 为等差数列，
又因为11a =，22a =
则211a =，2
24a =，有22213a a -=
所以{}
2
n a 是以首项为1，公差3d =的等差数列 得()2
11332n a n n =+-⨯=-
又因为0n a >
，所以n a =
故答案为：n a =【点睛】
本题考查利用等差数列的定义法证明等差数列，以及考查等差数列的通项公式.
20．【分析】由等式变形可得出利用等比中项法可判断出数列为等比数列求出
该等比数列的公比利用等比数列的通项公式即可求出的值【详解】即由等比中项法可知数列为等比数列且公比为解得故答案为：【点睛】本题考查了数列 解析：63
【分析】
由等式211121
n n n n n a a a a a -+--+=+变形可得出()()()2
11111n n n a a a +-++=+，利用等比中项法
可判断出数列{}1n a +为等比数列，求出该等比数列的公比，利用等比数列的通项公式即可求出7a 的值. 【详解】
()()()2
2
2
11111111121111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --+---+-++-+===-+++，即()2
11111
n
n n a a a +-++=+， ()()()2
11111n n n a a a +-∴++=+，
由等比中项法可知，数列{}1n a +为等比数列，且公比为
321
21
a a +=+， ()55721122264a a ∴+=+⨯=⨯=，解得763a =.
故答案为：63. 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）2n a n =；（2）()()
1
2
22212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪
+=⎩
；（3）存在最大的整数5m =满足题意．
【分析】
（1）当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1n n n a S S -=-，将已知代入化简计算可得数列
{}n a 的通项公式；
（2）利用错位相减法计算n T ，分1x ≠和1x =两种情况，分别得出答案；
（3）利用裂项相消法计算出n H ，并得出单调性和最值，代入不等式解出m 的范围，得到答案． 【详解】
（1）当1n =时，112a S ==
当2n ≥时，()()2
2
1112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦
即数列{}n a 的通项公式为2n a n =
（2）1
2n n n n c a b nx -==，23124682n n T x x x nx -=+++++，①
则234
24682n n xT x x x x nx =++++
+，②
①﹣②，得()2
1122222n n n x T x x x nx --=+++
+-．
当1x ≠时，()11221n
n n x x T nx x
--=⨯--，则()()1
2
22121n n n n x nx T x +-++=-． 当1x =时，224682n T n n n =+++++=+
综上可得，()()
1
2
22212,112,1n n n n x nx x T x n n x +⎧-++≠⎪=-⎨⎪
+=⎩
（3）由（1）可得()411
242
n d n n n n ==-++，
则
12111111
111111324352212n n H d d d n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++
+=-+-+-+
+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
显然n H 为关于n 的增函数，故()1min 23
n H H ==． 于是欲使9
n m
H >恒成立， 则
2
93
m <，解得6m <． ∴存在最大的整数5m =满足题意． 【点睛】
方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；
裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；
错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；
倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．
22．（1）32n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，31n b n =+；（2）3136λ<. 【分析】
（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得数列{}n a 是等比数列，（10a ≠），得通项公式n a ，从而也得到n b ；
（2）作差1n n c c +-，由10n n c c +->恒成立转化为13221815n
n λ⎛⎫
⎪⎝⎭<
+对*n N ∀∈恒成立，引入
()13221815
n
f n n ⎛⎫
⎪
⎝⎭=
+，*n N ∈，从作商法求得{()}f n 的最小值即可得λ的范围．
【详解】
解：（1）当1n =时，1133S a =-，∴132
a =
， 当2n ≥时，()113333n n n n S S a a ---=---， 即133n n n a a a -=-，∴13
2
n n a a -=，又10a ≠， 所以数列{}n a 为等比数列.
∴1
333222n n
n a -⎛⎫⎛⎫== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
， 332233log 13log 1312n
n n b a n ⎛⎫
=+=+=+ ⎪⎝⎭
.
（2）()23312n
n c n λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，因为数列{}n c 为递增数列， ∴()()()1
22133133431181502222n n n
n n c c n n n λλλ++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=-+-++=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭对
*n N ∀∈恒成立，即13221815n
n λ⎛⎫
⎪⎝⎭<
+对*n N ∀∈恒成立
设()13221815
n
f n n ⎛⎫
⎪⎝⎭=
+，*n N ∈，()min f n λ<，
()()()1
133
18151181522218331833
1322n n n f n n f n n n +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⋅=++⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
若
()
()
11f n f n +>，则1821n >， ∴当n 2≥时，()()1f n f n +>；
当1n =时，()()21f f <. ∴()()min 32136f n f ==
， 即λ的取值范围为3136
λ<. 【点睛】
关键点点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查数列的单调性，不等式恒成立问题．数列的单调性与最值的求法一般有作差法或作商法．作差法是最基本的方法，而当n a 为幂的形式（或乘积形式）也可用作商法确定单调性，得最值． 23．（1）12n n a ，n b n =；（2）1
21313149219
n n Q n n +--=
++. 【分析】
（1）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得n a ；运用等差数列的定义和通项公式可得n b ；
（2）求得n c ，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和. 【详解】
（1）由已知，得()()123132
7
3432a a a a a a ++=⎧⎪
⎨+++=⎪⎩
，
即1231237
67a a a a a a ++=⎧⎨-+=-⎩，也即212
1(1)7(16)7
a q q a q q ⎧++=⎨-+=-⎩，解得11a =，2q ，
故12n n
a ；
1112n n T T n n +-=+，11b =，可得{}n T n
是首项为1，公差为1
2的等差数列，
11
1(1)22n T n n n +=+-=，(1)2
n n n T +=， 当2n ≥时，()()
11122
n n n n n n n b T T n -+-=-=-=， 经检验1n =时也符合上式. 则n b n =，*n N ∈；
（2）11
1,22,n n n c n n n n -⎧-⎪
=+⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数
，
2132124221()()
11111
(1)(224822)
3352121
n n n n Q c c c c c c n n n --=++⋯++++⋯+=-+-+⋯+-+++⋯+-+
设352122426222n n T n -=+++⋯+，
所以3572+1422426222n n T n =+++⋯+，
两式相减得
35212+13422222222n n n T n --=+++⋯+-=
212122842413422221433
n n n n n -++-⋅-+⋅-⋅=-+- 所以1431499
n n n T +-=+， 所以121431(1)(4)2199n n n Q n +-=-
+++11313149219n n n +-=-++. 【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）倒序相加法；（5）分组求和.要根据具体情况灵活选择合适的方法求解.
24．（1）证明见解析；（2）{}1,2,3.
【分析】
（1）利用112n n
a a +=-证明出1n n
b b +-是常数，进而可证明出数列{}n b 为等差数列； （2）求得132n n
c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用等比数列的求和公式结合已知条件可得出33291122n n ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设3322
n t ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，可得出不等式221190t t -+<，解出t 的取值范围，由此可得出符合条件的正整数n 的值.
【详解】
（1）数列{}n a 满足10a =且112n n a a +=-，则211122
a a ==-，321223a a ==-， 依次类推可知，对任意的n *∈N ，2n a ≠，
()1121111111112111111122n n n n n n n n n n n
a b b a a a a a a a a ++--∴-=-=-=-==----------， 所以，数列{}n b 是等差数列，且首项为1
1111b a ==-，公差为1， ()11111n n b n n a ∴==+-⨯=-，解得1n n a n
-=； （2）132n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1123n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，
所以，11332232n
n n n c c +-⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则数列{}n c 为等比数列，同理可知，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列， 则1233132223212
n n n c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==⋅- ⎪⎝⎭-， 123
21111123332313n n n c c c c ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++++==-⋅ ⎪⎝⎭-， 由123123
11113n n c c c c c c c c ⎛⎫++++>++++ ⎪⎝⎭可得23912232n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅->⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以，32291123n n ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 设32n
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，n N *∈，则32t ≥，可得9211t t +<，整理可得221190t t -+<， 解得912t <<，即39122
n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，n N *∈，所以，正整数n 的集合为{}1,2,3. 【点睛】
方法点睛：证明等比数列常用以下几种方法：
（1）定义法：证明1n n a a +-为常数；
（2）等差中项法：对任意的n *∈N ，证明出122n n n a a a ++=+.
25．（1）2n a n =，n *∈N ；（2）证明见解析.
【分析】 （1）利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求和，即可得证；
【详解】
解：（1）因为0n a >，所以0n S >，故2n S n n =+
当1n =时，112a S ==，
当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦
且1a 也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，n *∈N
（2）()1411111
n n n b a a n n n n +===-++⋅ 所以()1211112231n n T b b b n n =++⋅⋅⋅+=
++⋅⋅⋅+⨯⨯+ 11111111122311n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
26．（1）3n n a n n =⨯-；（2）1(21)3344n n n T +-=+.
【分析】
（1）由13(1)(2)n n n S S n a n +=+++整理可得1321n n a a n n +=⨯++；进而得到1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出其通项，从而求得结论；
（2）利用第一问的结论，求得数列{}n b 的通项，再结合错位相减法即可求得结论．
【详解】
解：（1）由题知113(1)2n n n n a a S S n n ++⎛⎫=-=++
⎪⎝⎭， 即
1321n n a a n n +=⨯++， 即11311n n a a n n +⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭
，∵11a =，∴1130a +=≠，∴10n a n +≠， ∴数列1n a n ⎧⎫+⎨
⎬⎩⎭是首项为3，公比为3的等比数列， ∴13n n a n
+=，∴3n n a n n =⨯-； （2）由（1）知，3n n b n =⨯，
∴221323333n n T n =⨯+⨯+⨯+
+⨯， ① ∴23131323(1)33n n n T n n +=⨯+⨯+
+-⨯+⨯， ②
①-②得，()12311313(12)3323333331322n n n n n n n T n n +++---=+++
+-⨯=-⨯=--， ∴1(21)3344n n n T +-=+.
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。