汤旺河区某中学七年级数学上册 第3章 一次方程与方程组3.5 三元一次方程组及其解法教案 沪科版

3.5三元一次方程组及其解法
【知识与技能】
1.理解三元一次方程组的含义.
2.了解三元一次方程组的解法和应用.
3.体会解三元一次方程组是通过消元，把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程来实现的.由此感受“化归”思想的广泛应用.
【过程与方法】
在实际生活问题中经历三元一次方程组解决问题的过程，类比二元一次方程组理解三元一次方程组的含义及其解法，进一步体会“消元”的基本思想和“化归”思想.
【情感态度】
针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.
【教学重点】
重点是会解三元一次方程组及其应用.
【教学难点】
难点是灵活使用代入法、加减法等解三元一次方程.
一、情境导入,初步认识
【情境1】实物投影，并呈现问题：暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分.那么这个队胜了几场？又平了几场呢？
【情境2】实物投影，并呈现问题：在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中，胜、负、平的场数各是多少？这时我们可以设几个未知数解决问题？列出方程后你有什么发现，你能说出你的发现吗？如何解决你所列的方程呢？
【教学说明】通过比较二元一次方程的概念与解法，使学生在解决问题的过程中，自己经过观察、归纳，总结出三元一次方程组的概念和解题思想.
情境1中解：设勇士队胜了x 场，平了y 场，则
29317.x y x y ++==⎩+⎧⎨，解得52.
x y ==⎧⎨⎩， 所以这个队胜了5场，平了2场.
情境2中设三个未知数，设勇士队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，则可得方程为：10318x y z x y x y z ++=⎧⎪⎨+=⎪=+⎩
，①，②，③方程组是由三个一次方程组成且含有三个未知数，可以把三元转化为二元来解，如：把③分别代入①②得
()10318y z y z y z y +++=++=⎧⎨⎩
，， 整理得
22104318y z y z +⎨=+=⎧⎩，④，⑤
由21⨯⨯⎧⎨⎩④，⑤，得44204318y z y z +⎨=+=⎧⎩，⑥，⑦
由⑥-⑦得z=2,把z=2代入④得
2y+4=10,即y=3,把z=2,y=3,代入③得
x=5.所以532.x y z ⎧⎪=⎩
==⎪⎨，，
【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知
1.三元一次方程组的概念
问题 什么是三元一次方程组？
【教学说明】
学生通过类比二元一次方程组的概念，在经过观察、分析、类比后能得出结论.
【归纳结论】由三个一次方程组成的含有3个未知数的方程组叫做三元一次方程组.
2.三元一次方程组的解法
问题1 如何解三元一次方程组？
问题2 解三元一次方程组的基本思路是什么？
【教学说明】学生通过类比二元一次方程组的解法，在经过观察、分析、类比后能得出结论.
【归纳结论】解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消
元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 三、运用新知，深化理解
1.解方程组.
（1）636x y z x y y x z ⎧⎪++=+==⎨+⎪⎩，①，②；③（2）1,6,3.x y y z z x +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩
①②③ 2.小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张.
3.如果x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z= .
【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好地巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对三元一次方程组有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.
【答案】1.（1）解:把③分别代入①②得
63 6.x x z z x x z +++=++=⎧⎨⎩
， 整理得 22646x z x z +⎨+⎩=⎧=，④，⑤
由21⨯⨯⎧⎨⎩④，⑤，
得
44124 6.x z x z +⎨==⎧+⎩，⑥⑦
由⑥-⑦得 z=2,把z=2代入④,得2x+6=10,即x=1,
把z=2,y=1代入③，所以132.x y z ⎧⎪=⎩
==⎪⎨，，
（2）解：①+②+③，得
2(x+y+z)=10,即x+y+z=5④,
由④-①,得z=4,由④-②,得x=-1,由④-③,得y=2.
所以方程组的解为1,2,
4.x y z ⎧=-==⎪⎨⎪⎩
2.解：设1元，2元，5元各x 张，y 张，z 张.根据题意得
12,2522,4.x y z x y z x y ++=++==⎧⎪⎨⎪⎩解得8,2,
2.x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩
答：1元，2元，5元各8张，2张，2张.
3.解：依题意可得 231043215.x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩
，①② ①＋②得 5x+5y+5z=25,所以x+y+z=5. 四、师生互动，课堂小结
1.什么是三元一次方程组？如何解三元一次方程组？
2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
1.布置作业：从教材第118页“练习”和教材第119页“习题3.5”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课从三元一次方程组的知识着手，解决了教学过程中需要解释的问题，因为数学是一门严密的学科，然后以生活实际引入，这样降低了学习的难度，所以对学生的学习兴趣的培养起到一定的作用，特别是对问题的提出及寻找解决方法的时候，学生讨论积极，自己能发现知识之间的联系，并能提出解决问题的方法和思路，由此提高了学生学习数学的自信心.学生的学习活跃度比较高，化归的思想体现的也比较好.
8．3 实际问题与二元一次方程组(1)
1．使学生会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，让学生再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用．
2．通过应用题教学，学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性．
重点
能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组．
难点
正确找出问题中的两个等量关系．
一、创设情境，引入新课
复习提问：
列方程解应用题的步骤是什么？
学生回答：
审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答．
教师讲述：
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
教师出示问题：
养牛场原有30头大牛和15头小牛，一天约需用饲料675 kg ；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时一天约需用饲料940 kg .饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需用饲料18 kg ～20 kg ，每头小牛1天约需用饲料7 kg ～8 kg .你能否通过计算检验他的估计是否正确吗？
二、探索分析，解决问题
根据问题中给定的数量关系如何计算平均每头大牛和每头小牛1天各约需用的饲料量？
主要思路： 实际问题――→设未知数列方程组 数学问题（二元一次方程组）
学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．
问题：
1．题中有哪些已知量？哪些未知量．
2．题中的等量关系有哪些？
3．如何解这个应用题？
解：设平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料x kg 和y kg .
找出相等关系列方程组：
⎩
⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝ 675，42x ＋20y ＝ 940.解这个方程组，得
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝5. 这就是说，平均每头大牛和每头小牛1天各约需用饲料20 kg 和5 kg .饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确．
教师请同学们好好思考：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？
(个别学生可能会列出如下方程组：
⎩
⎪⎨⎪⎧30x ＋15y ＝675，12x ＋5y ＝265.但结果一致．) 思考题：
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树
下的鸽子就是整个鸽群的13
；若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了．”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
三、巩固练习
1.某所中学现在有学生4200人，计划一年后初中在校生增加8%，高中在校生增加11%，这样全校生将增加10%，这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少？
2．有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.50吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
【答案】
1.解：设现在的初中在校生有x 人，高中在校生有y 人．
根据题意列方程，得
⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4200，x （1＋8%）＋y （1＋11%）＝4200（1＋10%）.解这个方程组，得 ⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1400，y ＝2800.
答：现在的初中在校生有1400人，高中在校生有2800人．
2.解：设每辆大车和每辆小车一次运货量分别为x 吨和y 吨．
根据题意列方程，得
⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝15.5，5x ＋6y ＝35. 解这个方程组，得
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.5. 则3x ＋5y ＝24.5.
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨．
四、课堂小结
通过这节课的学习，你知道了用方程组解决实际问题有哪些步骤吗？
本节课从实际问题出发，通过分析实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组，通过对方程组解的检验，让学生认识到检验不仅要检查求得的解是否符合方程组中的每一个方程，而且还要考查所得的解答是否符合实际问题的要求，从而使学生初步体验用方程组解决实际问题的全过程．
2．2 合并同类项
理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则．
正确合并同类项．
一、温故知新
1．下列各组式子中是同类项的是( C )
A ．－2a 与a 2
B ．2a 2b 与3ab 2
C ．5ab 2c 与－b 2ac
D ．－17
ab 2和4ab 2c
2．思考：
(1)6个人＋4个人＝________________；
(2)6只羊＋4只羊＝________________；
(3)6个人＋4只羊＝________________．
二、自主学习
1．思考：具备什么特点的多项式可以合并呢？
要有同类项
2．因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律，把多项式中的同类项进行合并．例如， 4x 2＋2x ＋7＋3x －8x 2－2(找出多项式中的同类项)
＝4x －8x ＋2x ＋3x ＋7－2(交换律)
＝(4x 2－8x 2)＋(2x ＋3x)＋(7－2)(结合律)
＝(4－8)x 2＋(2＋3)x ＋(7－2)(分配律)
＝－4x 2＋5x ＋5
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
3．合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？
归纳：
(1)合并同类项法则：
在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．
(2)若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，如－3ab 2＋3ab 2＝(－3＋
3)ab 2＝0·ab 2＝0.
多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．
例1.合并下列各式的同类项：
(1)xy 2－15
xy 2； (2)－3x 2y ＋2x 2y ＋3xy 2－2xy 2；
(3)4a 2＋3b 2＋2ab －4a 2－4b 2.
解：(1)45
xy 2；(2)－x 2y ＋xy 2；(3)－b 2＋2ab. 例2.(1)求多项式2x 2－5x ＋x 2＋4x －3x 2－2的值，其中x ＝12；
(2)求多项式3a ＋abc －13c 2－3a ＋13c 2的值，其中a ＝－16
，b ＝2，c ＝－3. 解：(1)2x 2－5x ＋x 2＋4x －3x 2
－2(仔细观察，标出同类项)
合并同类项，原式＝－x －2.
当x ＝12时，原式＝－12－2＝－52
. (2)3a ＋abc －13c 2－3a ＋13
c 2. 合并同类项，原式＝abc.
当a ＝－16
，b ＝2，c ＝－3时，原式＝1.
1．下列各题合并同类项的结果对不对？若不对，请改正．
(1)2x 2＋3x 2＝5x 4；
改：5x 2
(2)3x ＋2y ＝5xy ；
不是同类项
(3)7x 2－3x 2＝4；
改：4x 2
(4)9a 2b －9ba 2＝0.
对
2．课本P 65，练习第1，2，3，4题．
(教师巡视，关注中下程度的学生，适时给予指导，学生独立练习，选择中等程度的学生上黑板演算)．
1．什么叫合并同类项？
2．怎样合并同类项？
3．合并同类项的依据是什么？。