21-22版：2.1.2 数列的递推公式（选学）（创新设计）

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4.已知：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝n＋n 1an. (1)写出数列的前 5 项； (2)猜想数列{an}的通项公式. 解 (1)a1＝1，a2＝1＋1 1×1＝12，a3＝1＋2 2×12＝13，a4＝1＋3 3×13＝14，a5＝1＋4 4 ×14＝15. (2)猜想：an＝1n.
a2＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4) ＝f(1)＋f(3)＋f(1)＋f(2)
＝1＋3＋a1＝6.
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a4＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(16) ＝[f(1)＋f(3)＋…＋f(15)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(8) ＝(1＋3＋5＋…＋15)＋[f(1)＋f(3)＋f(5)＋f(7)]＋[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)] ＝[1＋3＋5＋…＋(24－1)]＋(1＋3＋5＋7)＋6＝64＋16＋6＝86. (2)an－1＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)， an＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n) ＝f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2n－1)＋f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n) ＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n－1)， ∴an＝an－1＋4n－1(n≥2).
＝121＋2＋…＋（n－1）＝12（n－21）n，
（n－1）n
∴an＝12 2
.
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(2)∵bn＝（n－21）n＝12(n－12)2－18， ∴n∈N＋时，bn递增，即{an}为递减数列，
∴当 n≤4 时，（n－21）n≤6，an＝12（n－21）n≥614，
当
n≥5
时，（n－21）n≥10，an＝12（n－21）n≤1
1 024.
∴从第
5
项开始各项均小于1
1 000.
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规律方法 由递推公式求通项公式的技巧 (1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累 加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧. (2)当an－an－1＝f(n)且满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2 －a1)＋a1来求an. (3)当aan－n 1＝f(n)且满足一定条件时，常用 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa32·aa21·a1 来求 an.
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题型三 数列与函数的综合应用 例 3 f(x)＝log2x－lo2g2x(0<x<1)，且数列{an}满足 f(2an)＝2n(n∈N＋).
(1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性.
解 (1)∵f(x)＝log2x－lo2g2x，又∵f(2an)＝2n，
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2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项公式an等于( )
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
Байду номын сангаас
答案 D
解析 ∵an＋1－an＝－1.∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)＋ (－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
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3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
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按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以 是________.
答案 解析 ＋1.
an＝2n＋1 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
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＝n（n1－1）＋（n－1）1（n－2）＋…＋3×1 2＋2×1 1＋1 ＝(n－1 1－1n)＋(n－1 2－n－1 1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1 ＝－1n＋1＋1＝2－1n＝2n－ n 1(n∈N＋).
数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1，3，5，…， 联 系 2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)，用递推公式表示为a1
＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋).
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本节内容结束
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∴log22an－log222an＝2n，即 an－a2n＝2n.
整理得 a2n－2nan－2＝0，∴an＝n± n2＋2. 又0<x<1，故0<2an<1，于是an<0，
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∴an＝n－ n2＋2(n∈N＋).
(2)aan＋n 1＝（n＋1）n－－
（n＋1）2＋2 n2＋2
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规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次 代入计算即可. (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若 知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.
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课堂小结 1.递推公式的理解与应用
(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于
项数n的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各
项. (3)递推公式通过赋值可逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的 项. (4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经 常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
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2.数列的通项公式与递推公式的作用和联系
通项公式
递推公式
通项公式是给出数列的主要形式，由通 数列的递推公式是给出数列
作 项公式可求出数列的各项及指定项，也 的另一重要形式.由递推公式
用 可以解决数列的性质问题(如增减性， 可以依次求出数列的各项.
最值等).
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跟踪演练 1
a1＝1（n＝1）， 设数列{an}满足an＝1＋an1－1（n≥2）.写出这个数列的前 5 项.
解 由题意可知 a1＝1，a2＝1＋a11＝1＋11＝2， a3＝1＋a12＝1＋12＝32，a4＝1＋a13＝1＋23＝53， a5＝1＋a14＝1＋35＝85.
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a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
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(2)∵a1＝1，an＋1＝22＋anan， ∴a2＝22＋a1a1＝23，a3＝22＋a2a2＝12，
a4＝22＋a3a3＝25，a5＝22＋a4a4＝13， ∴它的前 5 项依次是 1，23，12，25，13. 它的前 5 项又可写成1＋2 1，2＋2 1，3＋2 1，4＋2 1，5＋2 1， 故它的一个通项公式为 an＝n＋2 1.
2.数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列 有哪些表示方法？ 答案 数列的项与对应的序号能构成函数关系.数列的一般形式可以写成：a1， a2，a3，…，an，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来 表示.
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[预习导引] 1.递推公式
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1.数列1，3，6，10，15，…的一个递推公式是( ) A.an＋1＝an＋n，n∈N＋ B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2 答案 B
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跟踪演练 2 已知数列{an}，a1＝1，以后各项由 an＝an－1＋n（n1－1）(n≥2)给出. (1)写出数列{an}的前 5 项； (2)求数列{an}的通项公式. 解 (1)a1＝1；a2＝a1＋2×1 1＝32；a3＝a2＋3×1 2＝53；
a4＝a3＋4×1 3＝74；a5＝a4＋5×1 4＝95. (2)由 an＝an－1＋n（n1－1）得 an－an－1＝n（n1－1）(n≥2)，
＝（n＋1）n＋＋
n2＋2 （n＋1）2＋2<1.
∵an<0，∴an＋1>an，∴数列{an}是递增数列.
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规律方法 数列是一类特殊的函数，可用函数与方程的思想处理数列问题.在判断 数列{an}的单调性时，可以用作差法或作商法.
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n（n∈N＋，n为奇数）， 跟踪演练 3 函数 f(n)＝f（n2）（n∈N＋，n为偶数）.数列{an}的通项 an＝f(1)
＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n)(n∈N＋).
(1)求 a1，a2，a4 的值； (2)写出 an 与 an－1 的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝4n－1). 解 (1)a1＝f(1)＋f(2) ＝f(1)＋f(1)＝2.
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2.1.2 数列的递推公式(选学)
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学习目标 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.
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[知识链接]
1.数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________. 答案 (1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数.
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题型二 由递推公式求通项
例2 已知数列{an}满足：a1＝1，2n－1an＝an－1(n∈N＋，n≥2). (1)求数列{an}的通项公式； (2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于1 0100？
解 (1)an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa32·aa21·a1 ＝12n－1·12n－2·…·122·121·1
如果已知数列的___第__1_项____(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与 它的__前__一__项__a_n－__1 _(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就 叫做这个数列的递推公式. 2.数列的表示方法 数列的表示方法有__列__举__法__、__通__项__公__式__法__、_图__象__法__、_列__表__法__、_递__推__公__式__法__.
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题型一 由递推公式写出数列的项
例1 已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式. (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
(2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2. 解 (1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；