考研数学二(向量组的线性关系与秩)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷5(题后含答案及解
析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．α1，α2，…，αr线性无关( )．
A．存在全为零的实数k1，k2，…，kr，使得k1α1+k2α2+…+krαr=0．B．存在不全为零的实数k1，k2，…，kr，使得k1α1+k2α2+…+krαr≠0．C．每个αi都不能用其他向量线性表示．
D．有线性无关的部分组．
正确答案：C
解析：A不对，当k1=k2=…=kr=0时，对任何向量组α1，α2，…，αrk1α1+k2α1+…+krαr=0都成立．B不对，α1，α2，…，αr线性相关时，也存在不全为零的实数k1，k2，…，kr，使得k1α1+k2α1+…+krαr≠0；C就是线性无关的意义．D不对，线性相关的向量组也可能有线性无关的部分组．知识模块：向量组的线性关系与秩
2．设α1，α2，…，αs是n维向量组，r(α1，α2，…，αs)=r，则( )不正确．
A．如果r=n，则任何n维向量都可用α1，α2，…，αs线性表示．
B．如果任何n维向量都可用α1，α2，…，αs线性表示，则r=n．
C．如果r=s，则任何n维向量都可用α1，α2，…，αs唯一线性表示．D．如果r＜n，则存在n维向量不能用α1，α2，…，αs线性表示．
正确答案：C
解析：利用“用秩判断线性表示”的有关性质．当r=n时，任何n维向量添加进α1，α2，…，αs时，秩不可能增大，从而A正确．如果B的条件成立，则任何n维向量组β1，β2，…，βt都可用α1，α2，…，αs线性表示，从而r(β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)．如果取β1，β2，…，βn是一个n阶可逆矩阵的列向量组，则得n=r(β1，β2，…，βn)≤r(α1，α2，…，αs)≤n，从而r(α1，α2，…，αs)=n，B正确．D是B的逆否命题，也正确．由排除法，得选项应该为
C．下面分析为什么C不正确．r=s只能说明α1，α2，…，αs线性无关，如果r＜n，则用B的逆否命题知道存在n维向量不可用α1，α2，…，αs 线性表示，因此C不正确．知识模块：向量组的线性关系与秩
3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )
A．当m＞n时，｜AB｜≠0．
B．当m＞n时，｜AB｜=0．
C．当n＞m时，｜AB｜≠0．
D．当n＞m时，｜AB｜=0．
正确答案：B
解析：本题考察AB的行列式｜AB｜，而条件显然是不能用来计算｜AB｜．而利用方阵“可逆<=>满秩”，转化为“r(AB)是否=AB的阶数m”的判断则是可行的．有不等式r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}．如果m＞n，则r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=n＜m．于是r(AB)＜m，从而AB不可逆，｜AB｜=0．因此B成立．(如果m＜n，r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=m．不能断定r(AB)与m的关系，C，D都不一定成立．) 知识模块：向量组的线性关系与秩
4．α1，α2，α3，β线性无关，而α1，α2，α3，γ线性相关，则
A．α1，α2，α3，cβ+γ线性相关．
B．α1，α2，α3，cβ+γ线性无关．
C．α1，α2，α3，β+cγ线性相关．
D．α1，α2，α3，β+cγ线性无关．
正确答案：D
解析：由于α1，α2，α3，β线性无关，α1，α2，α3是线性无关的．于是根据定理3．2，α1，α2，α3，cβ+γ(或β+cγ)线性相关与否取决于cβ+γ(或β+cγ)可否用α1，α2，α3线性表示．条件说明β不能由α1，α2，α3线性表示，而γ可用α1，α2，α3线性表示．cβ+γ可否用α1，α2，α3线性表示取决于c，当c=0时cβ+γ=γ可用α1，α2，α3线性表示；c≠0时c β+y不可用α1，α2，α3线性表示．c不确定，A，B都不能选．而β+cγ总是不可用α1，α2，α3线性表示的，因此C不对，D对．知识模块：向量组的线性关系与秩
5．设α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列说法正确的是
A．若α1，α2线性相关，α3，α4线性相关，则α1+α3，α2+α4也线性相关．
B．若α1，α2，α3线性无关，则α1+α4，α2+α4，α3+α4线性无关．C．若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．D．若α1，α2，α3，α4中任意三个向量均线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．
正确答案：C
解析：若α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，2)，α4=(0，3)，则α1，α2线性相关，α3，α4线性相关，但α1+α3=(1，2)，α2+α4=(2，3)线性无关．故A不正确．对于B，取α4=－α1，即知B不对．对于D，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(－1，－1，－1)，可知D不对．至于C，因为4个3维向量必线性相关，如若α1，α2，α3线性无关，则α4必可由α1，α2，α3线性表出．现在α4不能由α1，α2，α3线性表出，故α1，α2，α3必线性相关．故应选
C．知识模块：向量组的线性关系与秩
6．若r(α1，α2，…，αs)=r，则
A．向量组中任意r－1个向量均线性无关．
B．向量组中任意r个向量均线性无关．
C．向量组中任意r+1个向量均线性相关．
D．向量组中向量个数必大于r．
正确答案：C
解析：秩r(α1，α2，…，αs)=r向量组α1，α2，…，αs的极大线性无关组为r个向量向量组α1，α2，…，αs中有r个向量线性无关，而任r+1个向量必线性相关．所以应选
C．知识模块：向量组的线性关系与秩
填空题
7．已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于________．
正确答案：t=－1／2．
解析：本题可以用定义做，但是表述比较啰嗦，用秩比较简单．证明α1+t α2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关就是要证明其秩小于3．记矩阵A=(α1+t α2，α2+2tα3，α3+4tα1)．用矩阵分解，有由于α1，α2，α3线性无关，(α1，α2，α3)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质⑥，r(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1)=r(A)=r(C)．于是α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关r(C)＜3｜C｜=0．求出｜C｜=1+8t3，于是得8t3=－1，t=－1／2．知识模块：向量组的线性关系与秩
8．向量组α1=(1，0，1，2)T，α2=(1，1，3，1)T，α3=(2，－1，a+1，5)T线性相关，则a=________．
正确答案：－1
解析：α1，α2，α3线性相关r(α1，α2，α3)＜3．故a=－1．知识模块：向量组的线性关系与秩
9．若β=(1，3，0)T不能由α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，－2)T线性表出，则a=________．
正确答案：－1
解析：β不能由α1，α2，α3线性表出方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解．又因为a=－1时方程组无解，所以a=－1时β不能由α1，α2，α3线性表出．知识模块：向量组的线性关系与秩
10．已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，r(α1，α2，…，
αs，γ)=r+1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)=________．
正确答案：r+1
解析：r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r表明β可由α1，α2，…，αs线性表出，于是r(α1，α2，…，αs，β，γ)=r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1．知识模块：向量组的线性关系与秩
11．已知A=，B是3阶非0矩阵，且BAT=0，则a=________．
正确答案：
解析：由BAT=0有r(B)+r(AT)≤3，即r(A)+r(B)≤3．又B≠0，有r(B)≥1，从而r(A)＜3，即｜A｜=0．于是知识模块：向量组的线性关系与秩
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

12．设AB=C，证明：(1)如果B是可逆矩阵，则A的列向量和C的列向量组等价．(2)如果A是可逆矩阵，则B的行向量组和C的行向量组等价．
正确答案：(1)由上面的说明，C的列向量组可以用A的列向量组线性表示．当B是可逆矩阵时，有CB－1=A，于是A的列向量组又可以用的C列向量组线性表示．(2)C的行向量组可以用B的行向量组线性表示．当A是可逆矩阵时，A －1C=B，于是B的行向量组又可以用的C的行向量组线性表示．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
13．设α1，α2，α3，α4，α5，它们的下列部分组中，是最大无关组的有哪几个?(1)α1，α2，α3．(2)α1，α2，α4．(3)α1，α2，α5．(4)α1，α3，α4．
正确答案：答案(2)和(4)是．部分组是最大无关组的条件是个数达到秩，并且线性无关．例3．15已经计算得r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，这4个部分组都包含3个向量，只要线性无关就是最大无关组．因为α1，α2，α3，α4，α5和γ1，γ2，γ3，γ4，γ5有相同线性关系，只要看对应的γ1，γ2，γ3，γ4，γ5的部分组的相关性．γ1，γ2，γ3和γ1，γ3，γ5都是相关的，γ1，γ2，γ4和γ1，γ3，γ4都无关．于是(1)和(3)不是最大无关组，(2)和(4)是．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
14．设A=，已知r(A*)+r(A)=3，求a，b应该满足的关系．
正确答案：根据伴随矩阵的秩的性质(见矩阵的秩的性质⑧)，r(A*)+r(A)=3这个条件说明了r(A)=2．于是则a+2b和a－b必须有一个为0(否则r(A)=3)，但是a－b为0则r(A)＜2．于是得r(A)=2的条件是a+2b=0且a－b≠0，即a－2b 并且a≠b．或者表示为：a=－2b≠0．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
15．设α，β都是3维列向量，A=ααT+ββT．证明(1)r(A)≤2．(2)如果α，β线性相关，则r(A)＜2．
正确答案：(1)r(A)≤r(ααT)+r(ββT)，而r(ααT)≤r(α)≤1，同理r(ββT)≤1．(2)不妨假设β=cα，则A=ααT+cα(cαT)=(1+c2)ααT，于是r(A)≤r(ααT)≤1＜2．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
16．求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(－2，a，4)T，β3=(－2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．
正确答案：本题的要求用秩来表达就是r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)＞r(α1，α2，α3)．当a≠1和－2时，r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，不符合要求．当a=－2时，r(α1，α2，α3)=2，r(β1，β2，β3)=2，不符合要求．当a=1时，r(α1，α2，α3)=1，r(β1，β2，β3)=3，必有r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，符合要求，得a=1．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
17．设α1=(1，1，1，3)T，α2=(－1，－3，5，1)T，α3=(3，2，－1，p+2)T，α4=(－2，－6，10，p)T．p为什么数时，α1，α2，α3，α4线性相关?此时求r(α1，α2，α3，α4)和写出一个最大无关组．
正确答案：计算r(α1，α2，α3，α4)则当p=2时，r(α1，α2，α3，α4)=3，α1，α2，α3，α4线性相关，α1，α2，α3是一个最大无关组．当p ≠2时，r(α1，α2，α3，α4)=4，α1，α2，α3，α4线性无关．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
18．设A为n阶矩阵，a0≠0，满足Aα0=0，向量组α1，α2满足Aα1=α0，A2α2=α0．证明α0，α1，α2线性无关．
正确答案：用定义证明．即要说明当c1，c2，c3满足c1α0+c2α1+c3α2=0时它们一定都是0．记此式为(1)式，用A乘之，得c2α0+c3Aα2=0 (2)再用A 乘(2)得c3α0=0．由α0≠0，得c3=0．代入(2)得c2=0．再代入(1)得c1=0．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
19．设α1，α2，α3，α4线性无关，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α2+α3，β3=α2－α4，β4=α3+α4，β5=α2+α3．(1)求r(β1，β2，β3，β4，β5)；(2)求β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．
正确答案：(1)β1，β2，β3，β4，β5对α1，α2，α3，α4的表示矩阵为用初等行变换化为阶梯形矩阵：则r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3．(2)记C的列向量组为γ1，γ2，γ3，γ4，γ5．则由(1)的计算结果知γ1，γ2，γ4是线性无关的．又(β1，β2，β4)=(α1，α2，α3，α4)(γ1，γ2，γ4)得到r(β1，β2，β4)=r(γ1，γ2，γ4)=3，β1，β2，β4线性无关，是β1，
β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
20．设A是m×n矩阵．证明：r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A=αβT．
正确答案：“=>”记A的列向量组为α1，α2，…，αn，则因为r(A)=1，所以r(α1，α2，…，αn)=1．于是A一定有非零列向量，记α为一个非零列向量，则每个αi都是α的倍数．设αi=biα，i=1，2，…，n．记β=(b1，b2，…，bn)T，则β≠0，并且A=(α1，α2，…，αn)=(b1α，b2α，…，bnα)=αβT．“α1，α2，…，αn两两正交．
正确答案：ATA的(i，j)位元素为(αi，αj)．于是ATA是对角矩阵当i≠j 时，ATA的(i，j)位元素为0当i≠j时，αi，αj正交．α1，α2，…，αn两两正交．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
23．设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维实向量组，并且每个αi和βi都正交，证明α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．
正确答案：用定义证明．设c1α1+c2α2+…+csαs+k1β1+k2β2+…+ktβt=0，记η=c1α1+c2α2+…+csαs=－(k1β1+k2β2+…+ktβt)，则(η，η)=－(c1α1+c2α2+…+csαs，k1β1+k2β2+…+ktβt)=0即η=0，于是c1，c2，…，cs，k1，k2，…，t全都为0．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
24．设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且AT=A*，证明A是正交矩阵．
正确答案：AAT=AA*=｜A｜E，因此只用证明｜A｜=1，就可由定义得出A 是正交矩阵．由于A≠0，有非零元素，设aij≠0．则AAT的(i，j)位元素｜A｜=ai12+ai22+…+aij2+…+ain2＞0，从而AAT≠0．对等式AAT=｜A｜E，两边取行列式，得｜A｜2=｜A｜n，即｜A｜n－2=1．又由｜A｜＞0，得出｜A｜=1．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
25．已知向量组有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表出，求a，b的值．
正确答案：因为β3可由α1，α2，α3线性表示，故方程组x1α1+x2α2+x3α3=β3有解．由并且秩r(α1，α2，α3)=2．于是r(β1，β2，β3)=2．从而｜β1，β2，β3｜==－(a－15)=0 => a=15．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
26．证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αI(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi－1线性表出．
正确答案：必要性．因为α1，α2，…，αs线性相关，故有不全为0的k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0．设ks，ks－1，…，k2，k1中第一个不为0的是ki(即ki≠0，而ki+1=…=ks－1=ks=0)，且必有i＞1(若i=1即k1≠0，k2=…=ks=0，那么k1α1=0．于是α1=0与α1≠0矛盾．)，从而k1α1+k2α2+…+kiαi=0，ki≠0．那么αi=(k1α1+k2α2+…+ki－1αi－1)．充分性．设有αi可用α1，α2，…，αi－1线性表示，则α1，α2，…，αi－1，αi线性相关，从而α1，α2，…，αs线性相关．涉及知识点：向量组的线性关系与秩
27．设A是n阶实反对称矩阵，x，y是实n维列向量，满足Ax=y，证明x与y正交．
正确答案：因为AT=－A，Ax=y，所以(x，y)=xTAx=(ATx)Tx=(－Ax)Tx=(－y，x)，得(x，y)=0．涉及知识点：向量组的线性关系与秩。