(2021年整理)初三数学相似三角形专题练习

初三数学相似三角形专题练习
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初三数学相似三角形专题（分层适用）
一、圆中相似三角形的判定
例1．如图，△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?请证明你的结论．
例2、如图，△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意，找出图中各对相似三角形，并加以证明．
变式：1．如图,直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A，B点,弦AC∥PM，连接OM、BC。

求证：（1）△ABC∽△POM;（2）2OA2＝OP•BC．
2．如图,在△ABC中，AB＝AC,以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；
(3）BC2=2AB·CE
二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段
例3．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．
（1）求证：△ABD为等腰三角形．
（2)求证:AC•AF＝DF•FE．
变式：如图,BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2,ED=4．
（1）求证：△ABE∽△ADB；
(2）求AB的长；
(3）延长DB到F，使得BF=BO,连接FA,试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
三、利用圆中相似进行计算
例4、如图，已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于
A
C
B
D
E
O · 点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB 。

(1)求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：AB=2BC ；
（3)点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值。

变式1：如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作O ，交斜边AC
于点D ,连结BD ．
（1)若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长;
（2)取BC 的中点E ,连结ED ,试证明ED 与⊙O 相切．
变式2：如图,在锐角△ABC 中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为半径作
⊙O ，交BC 于E ,过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DC ． （1）求证：D 是
的中点；
(2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD ； （3)若
2
1
OCD CEF S S △△,且AC =4,求CF 的长。

四、圆的有关线段与相似三角形的综合运用
例5、如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E,满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
变式1：如图,AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．
求证:（1)∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．
五、巩固练习，当堂反馈
1．正方形ABCD的边长为1，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= 时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为．
第1题
2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明:△ABF∽△EAD．
3．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．
4．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点,能否在边AB上找一点N（不含A、B),使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明,若不能,请说明理由．
5．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P,A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．
6．如图,在△ABC中，AB=AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC 于E,连接BE．
（1)求证：∠CBE=36°；（2)求证：2
=．
AE AC EC
7．如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似．
8．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，
(1）证明：Rt Rt
△∽△；
ABM MCN
（2)设BM x
=,梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积;
(3）当M点运动到什么位置时Rt Rt
△∽△，求x的值．
ABM AMN
9．如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F；
（1)求证：FD2=FB·FC；
（2)若G是BC的中点，连接GD,GD与EF垂直吗?并说明理由。

10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA 边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．
（1）若△BMN与△ABC相似,求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．。