第一章 利息理论基础

⇒ d (1 + i ) = i ⇒ i − d = id
利息的度量（五）利息等价式
d (m ) i (m ) −1 δ ⇒ 1 + = 1 + i = e = (1 − d ) = 1 − m m (1.2.7) P 8, (1.3.13) i (m ) d (m ) ⇒ 1 + = 1 − m m i (m ) d (m ) i (m ) d (m ) * ⇒ − = m m m m
k =1 k =1
t
t
如何理解（1.3.7a）和（1.3.7b）（1.3.7c）
a (t ) = e
∫ δ (s )ds
0
t
= e ∫0
1
δ1ds
e ∫1
2
δ 2ds
∫t −1δs ds Le
t
= e δ1e δ 2 Le δt
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δn − 1 a (n − 1)
d (4) 1− 4
4
(m )
d (4) 1− 4
3
d (4) 1− 4
2
1−
d
(4)
4
1 1
1− d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
(2) 1、 1 + i = 1 + i = 1 + 8% ⇒ i (2) = 7.85% 2
in = a (n ) − a ( n − 1) = e δ −1 a (n − 1)
t k =1
a (t ) = ∏ (1 + i k ) =(1 + i ) n = e nδ
如何理解（1.3.9）
a (n ) = (1 + i ) n = e 0
1 2
∫ δ ( s )ds
n
n
∫0 δ (S )ds e ∫1 δ (S )ds Le ∫n −1δ (S )ds =e ≠ e δ1e δ 2 Le δt
一、利息的定义
定义：
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。
影响利息大小的三要素：
本金 利率 时期长度
二、利息的度量
积累函数 金额函数
a(t )
A(t )
1------------------------------
例1.3.1
确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
1、 2、
δ = 5%
δ t = 0.05(1 + t ) −2
例1.3.1答案
1、1000e10δ = 1000e10×0.05 = 1648.72
10
2、 1000e 0
∫ 0.05(1+t )
−2
dt
= 1000e
0.05 0 1+ t 10
= 1046.50
利息的度量（四）变利息
什么是变利息？ 常见的变利息情况
连续变化场合：函数利息力 δ (t )
a (t ) = exp{∫ δ ( s )ds}
离散变化场合： i , L , i ( d , L , d ) 1 t 1 t
0
t
a (t ) = ∏ (1 + ik ) = ∏ (1 − d k ) −1
第一章汉英名词对照
积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力 Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
单贴现
a d
−1
复贴现
a d
−1
( t ) = 1 − dt = d 1 − ( n − 1) d
( t ) = (1 − d ) t = d
n
n
单复利计息之间的相关关系
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒 定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保 持恒定。 t ≤ 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息 产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 t ≥ 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息 产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
保险精算学寿险精算的课程结构基础利息理论基础生命表基础偿付能力与监管第一章利息的基本概念11实际利率和实际贴现率12名义利率和名义贴现率13利息强度利息度量要点利息的度量五利率等价式第一章汉英名词对照accumulatedvaluepresentvalueeffectiveannualratesimpleinterestcompoundinterestnominalinterestdiscountrateinterest一利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失
利息的度量（五）利息等价式
初始值 利息 积累值
1
i
d
1+ i
1
v
− v = 1 − d =（ + i）1 = e −δ 1
（ + i）= ( − d ) −1 = e δ 1 1
利息的度量（五）利息等价式
⇒i = d (1.1.7) P 5 1− d i ⇒d = 1+ i ⇒ i − id = d
例1.1.2
某人存5000元进入银行，若银行分别以2% 的单利计息、复利计息、单贴现计息、复 贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少 积累值？
解：
( 1 ) 2 % 单利计息 A ( 5 ) = 5000 ( 2 ) 2 % 复利计息 A ( 5 ) = 5000 A (5 ) = ( 1 + 2 %)
本金在投资期末的积累值
二、利息问题求解原则
本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对 四要素知三求一的问题 工具：现金流图
现金流 p0 0
p1
p2
L
pn
时间坐标
t1
t2
L
tn
方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现 时值相等。
例：求本金
某人为了能在第7年末得到1万元款项，他 愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4 千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利 率复利计息，问X=？
Q ∴ ⇒ A ( 0 ) = 1 0 0 0 , A (1 ) = 1 0 2 0 , A ( 3 ) = 1 0 5 0 I1 = I
2
A (1 ) − A ( 0 ) = 2 0 A (3 ) − A (2 ) = 3 0 2 0 = 2 % 1 0 0 0 2 0 = = 1 .9 6 % 1 0 2 0 3 0 = = 2 .9 4 % 1 0 2 0 3 0 = = 2 .8 6 % 1 0 5 0 =
保险精算学
寿险精算的课程结构
基础
利息理论基础 生命表基础
核心
保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利
拓展
特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率 1.2 名义利率和名义贴现率 1.3 利息强度
利息度量要点
利息的度量(一)计息时刻不同 利息的度量(二)利息累积方式不同 利息的度量(三)计息频率不同 利息的度量(四)变利率 利息的度量(五)利率等价式
5
( 1 + 5 × 2 %)
= 5500
= 5520
( 3 ) 2 % 单贴现计息 5000 = 5556 1 − 5 × 2% ( 4 ) 2 % 复贴现计息 5000 = 5531 A (5 ) = （ 1 − 2 % ）5
利息的度量三——利息转换频率不同
实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 i 。 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m) 一期的利率为j，记 i 为 这一年的名义利 率，( m ) = mj 。 i 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 δ t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。
解：
A (3) = 10000* (1 + i )
A (3) = 10000* (1 − d )
3
i (4) 12 = 10000(1 + ) 4
d (4) −12 = 10000(1 − ) 4
−3
d (2) PV = 50000 1 − 2
12
利息效力
定义：瞬间时刻利率强度
= 1+ n
2、δ = ln(1 + i ) = ln1.08 = 7.7% 3、A (8) = 500e 8δ
补充:
利息问题求解原则
一、利息问题求解四要素
原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式
期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效 力
答案
（1） 4000（1 + j ) 3 × 4 = 5700 ⇒ j = 3 %
i ( 4 ) = 4 j = 12 %
（2）
3000 (1 + i ) 4 + 6000 (1 + i ) 2 = 15000 ⇒ (1 + i ) 2 = − 1 ± 由 (1 + i ) 2 = − 1 + 6 ( 舍去负根 ) 6
t k =1
a (t ) = ∏ (1 + i k ) =(1 + i 1 )(1 + i 2 )L (1 + i t )
如何理解（1.3.8）
a (t ) = e
∫ δ (s )ds
0
t
= e ∫0
1
δ1ds
e ∫1
2
δ 2ds
∫t −1δs ds Le
t
= e δ1e δ 2 Le δt = e nδ
a (t )
a−1(t)
0
K------------------------------ A(t ) -----------------------------1
贴现函数 第N期利息
a−1(t)
t
I ( n ) = A ( n ) − A ( n − 1)
I ( n)
利息度量一——计息时刻不同
期末计息——利率

2
4
2、
d (4) 1 1 (4) 1 − 4 = 1 − d = 1 + i = 1 + 8% ⇒ d = 7.623%
i = 8% ⇔ d , i ( 2 ) , d
(2)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、
, i (4) ,d
(4)
=?
例1.2.2和例1.2.3
求一万元按每年计息4次的年名义利率6%投 资3年的累积值。 以每年计息2次的年名义贴现率10%，在6年 后支付5万元，求其现值。
δt =
A′(t ) d = [ ln A(t ) ] A(t ) dt a′(t ) d = = [ ln a (t ) ] a(t ) dt = limi ( m ) = limd ( m )
m →∞ m →∞
等价公式
一般公式
a (t ) = e
∫0 δ s ds
t
恒定利息效力场合 δ = ln(1 + i ) ⇔ a ( n ) = exp{ nδ } δ = − ln v ⇔ a − 1 ( n ) = exp{− nδ }
−1 m −m
例1.3.3和1.3.4
1、如果 t = 1 ，试确定1在n年末的积累值。 δ 1+ t 2、已知年度实际利率为8%，求等价的利息 强度。 3、一笔业务按利息强度6%计息，求投资 500元经8年的累积值。
例1.3.3和1.3.4
1、e 0 ∫ 1+t dt
n
1
=e
ln(1+t )
n 0
第N期实质利率
in = I (n) A ( n − 1)
期初计息——贴现率
第N期实质贴现率
d
n
=
I (n ) A (n )
例1.1.1实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？
例1.1.1答案
=
i1 = d i2 d
2 1
I1 A (0 ) I1 = A (1 ) I 2 = A (1 ) I 2 = A (2 )
利息度量二——积累方式不同
线形积累
单利
in a ( t ) = 1 + it i = 1 + ( n − 1)i
指数积累
复利
a ( t ) = (1 + i ) t in = i
答案
以第7年末为时间参照点，有
1.066 + 4 ×1.06 4 + x 1.06 = 10 ⇒ x = 3.7435千元
以第8年末为时间参照点，有
1.067 + 4 ×1.065 + x = 10 ×1.06 ⇒ x = 3.7435千元
以其他时刻为时间参照点（同学们自己练 习）
求利率
（1）某人现在投资4000元，3年后积累到 5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资 6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元， 问实质利率=？
名义利率
(m ) 名义利率 i (m ) m i 1+ = 1+ i m
1 1
i (4) 1+ 4
i (4) 1+ 4
2
i (4) 1+ 4
3
i (4) 1+ 4
4
i
1+ i
名义贴现率
名义贴现率 d (m) m d 1− = 1− d m