高等数学(同济第七版)课后答案解析

lIllCPI =xJC(M =2x Jlf
(2)当1()W*WI5时，点〃在(/上.点。在汕上(图1-6).
ICPI =x.14()1=2x -20.
设点()到。。的距髙为奴则
h丨I = 45- 2x
20=25=25，
W A =y(45 -2x).故
74■
二如(45 -2、)= -厅十+I8x.
(3)当!5<x<20时，点户、。都在网上(图1-7).
解当0i时.s（t）二!F.
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
解M二彼二—乂
sin40
50=—/*[ HC+ (HC+2col40°• /e)],
得
BC=単_col40。・力，
n
所以
為2-cos40°
L=——+n .
hsin40°'
而h>0H^-cot 40° • A>0,«此湿周函数的定义域为(040。).
由15.设x()y平面上冇正方形/) ={(x,y)IOWjcW1,0Wy WI}及f[线2：x+y= £(£N()).若S(〃表示正方形〃位于宜线，左下方部分的面积，试求SJ)与/之间的函数关系.
1时1=*-15,\A(J\=2x-20.
设点Cfl|AH的距离为/，则
L・
j =~IPyi •h' =-18x *360.
0 <x< 10,
yx2+18.x.】0〈x<15.
18x f 360,15 <x < 20.
利用以卜美国人I I普•在局提供的世：界人口■据①以及指数模郴来推測I 2020年的世界人口.
1/(*) IW虬xg
即/（*）在X上有界・
QU.在卜列各题中，求由所给两数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定白变最值％和勺的函数值：
TTIT
"2>
7T TT
-8
= 1+X2,X| = 1 ,X2= 2；y = cMtu =,X| = 0,电=1;
r =以2,h= e'x
，入z = - >•
(1 )y = »in~x,>|=!，，2=j・
'(X)〃- =・(*)/-=
(x)^- 1(^)/= (J )»・(*-)/= (I-)H
香壬'GN・(》)/
=3H&•(%)*- = (x- )，'(>)/=(、-)/KT磁函嫌％(%)力•琨樊剧*(')/5!
'（*）》=（*）功•（》）#=
稗亏聲ClftfT（卵斗定）《為導皇舉》、一
也®凿d lyXg)/*N岁
xi
所以/（存）>/（%）,即/（W在（0, + ao）内单调增加.
公5・设/U）为定义在（-/./）内的荷函数.若/（X）在（01）内单调増加，证明/（#）在（-L0）内也单凋増加.
证设-/<X, <X2<0,则0< “2 <-A,</,由/（、）是哉函数，從/g）V（X|）=-/（-知）+f（-旳）■因为/Xx）在（OJ）内单调増加.所以y（-X!）-/（-x2）>0.从而/（旳）>/（旳），即/（X〉在《・"0）内也単调增加.
尸銘EC
> =
y=•<>«< w
y=cotZ；
y=arcfiin lx I C1；
G2.卜列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么”⑴/U) =lg/,g⑴=21gx；
(2)，(X)=X.g(X)=y/x^：
(3)/V)=v^4-x\g(g) =1>.「-】;
(4)f(x)= 1 x) = sec2X-tan2x.钢(1)不同•肉为定义域不同.
-I , Ixl >It
求/I"*)]«!<[/(*)].并作出这两个爾数的图形•
I .X<0.
/（X）=
/Tg(x)l =/(eA)=
I
f.lxI < 1t1,1x1=1,
e-'. Irl > 1.
，g*)]与的图形依次如图1-2.图1-3所示.
图I-2图1・3
^14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角步=40。(图1-4).当过水断面應CO的面积为定值&时，求湿周L(L=A8 +RC +CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域.
(2)不同，因为对应法贝J不同・g⑴=7? ={.：
(3)相同、因为定义域、对应法则均相同.
(4)不同、因为定义域不同.
际3.设
求。(寻)“仔)・9(-骨)顽-2).并作出函数L)的囲形.
TT
S,,,T i
1(、)的,形如图丨・1所示.
S4.试让F列陥数在指定区间内的单Wi性:
第一章函故与扱限
（2）j = x+In n（0, *8）.证（I） y=/（^）=rL-=-丨+宀（-8』）.
解因为AC= 20= 15,所以,Ali= /^后IF=25.
Ih20 <2-15 <20・25可知，点P、Q在斜边AH上相讷.
令a + 2% = 15+20 + 25J!；x = 20.即当x= 2()时•点七。相遇.因此•所求函數的定义域为(0.20).
(I )当Ov — vIO时，点P在CR上•点Q在CA上(图1-5).
,（*）/-尹（x-）/日'U）W「）J
」£=£（s）-我算-）£=（s）/
¥即£、-产£=（》）/=]（Z）
•琦也測，（*）/《列
•（*,）/=（J・【）/二〔z（J）t】Q-）= 5・）/
<sr（-T）■二（，）/=£（I）
t(I + x)(l-x)x = -<
/£ =（
s•薜困辱非K瑙咚剧布花折伽'璀也學者麻協‘瑶困部咨所飾由噩坦财-•匕唱
(2)y=sin 2r.)j=马,无=1.
(3)y=\/1+>。|二二占.
(4)y= eA=I ,y2二e.
(5)y = e2\y)=e\y,二e J
%12,设/( «)的定义域/> =[0.1],求卜•列各函敎的定义域：
(1)/(/)；(2)/(sinx)；
(3)/(x + a)(r?>0)；(4)/(a+ «)+/(.v-G)(t/ >0).
解(I) 0w/<|n顼
(2 ) 0 W sin x W 1 n、住!2〃tt. (2〃+I) ” ]
(3)0Wi + “Wl x e I - «. I - «/ •
{OWx+oWl.■, c1
n当0时
OG-rxWl・
".1-知；当时.定义域为。
1.Ixl <1 .
(),Ixl = 1 ,青(x) *■，
洎6.&卜血所考虑的函救都是定义在区间U）上的.i止明：
（1）两个偶函数的和是偶函数.两个奇函数的和是奇函数；
（2）两个偶函数的乘枳是偶函数，两个奇函数的乘枳是偶函数，偶函数与奇丽数的乗积是奇函数.
证（1）设J|（X）./2（X）均为偶函数，则乂（-X）”（'），（-X）=6（x）.今/⑴=/|（^）+/i（x）,于是
1-/尹。=>.t# ±it即定义域为(- 8,-i)u(-l,i)u(l,+x)
(2)
(3)人乂()且】-/五0=4 = o且|*| w】，即定义域为〔-1,0)U(0,1].
(4)4-x2>0 nlrd <2,即定义域为(-2,2).
(5)腭0,即定义域凯0,+8).
(6)4+】尹如+-y(Ae Z)，即定义域为"x e R 0.x尹卩+~jir-I .i e zj.
(7)I —3IW1=2GW4,即定义域为[2.4].
(X) 3-x^()Jlx#0,即定义域为(-8 ,0)U(0,3].
(9)z + 1 >0 =>x> -1，即定义域为(-1 , + 8 ).
(10)TO,即定义域为(-8,0)U(0, + 8).
注本题是求術数的《I然定义域，一般方法是先写出构成所求函数的各个简単函数的定义域，再求出这约定义域的交案.即很所求定义域.卜列简单函数及K定义域是经常用到的：
C（-欠）=旳（-2・&2（-大）=[-^^x） ] [ -d2（x）；
:(z-x)“d ( I)
血必汩卩群•源用晚曲丄河Z■■够阿者乔的巾 Nhomakorabea因常區丄
埔密帆伽.（》）/二廿3=（宀）/%町二7^3=（D/I（9）
•麻狒用非X麻卵曲非却（*）/K1列・（*）/-■（、-）/日（x）/HE・）/
4I+r soa ■1uis_= [+（、_）soa - （x -）uis=（r -）/
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‘X北4/f^|（x）/| fit讷'0 V AW却dfl'褚駐TY36K «•）/?«纏
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•；甥。11实瀛电石血，二1湖[=X幫糊三m二.1I卩（9）乙-[-S二X%韓更刃僞・乙-""二X带揃（乙+X） U|+ | = XH1 （g）
（2）设代3余3均为偶隣数，则4（F =/,（x）/2（ -X）=/；（%）.令尸（人）=fl（x） ' f2（x）.f是
戶（-X）=/,（-X）・£（-》）=./|也）外（*）=/也）.
故一（欠）为偶函数.
设们（1）,幻也）均为奇函数，则幻（-X）=-g,（^）.g2（ -X）=-幻（1）・令G（x）=g|3）,"，）.于是
困■«阳帯彩蛔屮蹤幸•检•市晋（＜/）戶-0项成料法帮卯例涂野计部#/凍*染g
:麻地四印澹困脸4*・g
他=7Bf = '曝里面图書（£）
•驟函曲留者文（r）
Z = 7府風'涂尝皓圍晋（£）
W二EiBT牖围附剧晋（乙）
冊留.藤吏I®烟舀（I）繩
*邱=4（$）
谢备乌整更專一定
収V =rnax| IK1I JK2I|,则有
I-x1 -X
设叫< x2< I.因为
A-»2）-/E ） =—^― -=—_^-TT—r >°，
I-^2 I-Xl（I - Xj ） （ I- X2）所以/（）?）>/（七），即/U）在（-x ,1）内单调増加.
（2） y =/（x） = x + In r.（0.+8 ）.
设0<%5.因为
/（x3）-/（xI ） = x?+In x?-X]-hi X, = x2- Tj + In=> 0,
I ii県世界人界散懈是指何年」中的人口人.
年份
人口数（百万）
年増长率（凭）
即华氏-40。恰好也是摄氏-40°.
G17.已知RS4BC中，直角边AC.RC的长度分别为20、15.动点P成C出发.沿三魚形边界按CtHtA方向移动3动点Q从C出发,沿三角形边界按C方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点Q移动的速度是点p移动的速度的2倍.设动点〃移动的距漑为xqg的而积为y.试求)与，之幻的函数关系.
高等数学
第一章：函数与极限课后习题答案
映射与函数
5求下师数的自然定乂域:
(5)y=sin、以；
(7 )y=arcsin(x -3);
(9)
y = ln( x + I )；
(6) y = tan(x + I )；
(8 ) y = /3 - x + arctan——；x
(10)**・
(1)3L0=?e-号,即定义域为[-§，m),
uis：＞jk-?-= X算*I冷麻函四備尊呻皿+二*也:通）冬啲=，甲（卩）
〃一X。，v-/Gp+xj
.『二宀华瀛嵬互帕在砂北都掷X」甲⑴
X+I^+IX+|
•厂3二＜%孫堕召0『兀■彳二*云趙"二人印（4）
•I-£*=4（塚发浏用’【-，=，創糊【十/兰£甲（I）搏
•輝更丞理殳火¥T庭團绦布耳W療堕邰小（9）、（£）'（$）'（I）協母'择市耳阮N曾麝
维闻・[+ *soo-r uts = （*）/=，（s）
•腐困果¥（*）/“坷
・(x)7-=(l-x)(| + r)x-=
1*• (*-)][【-(」)〕(》-)=(x-)/
%[¥「(I+、)(I -(x)/=x(t)
(、-)/
收吊’4^4=（*）/=*（£）zA~1
•璃密舟W X湯坝骼圳％（*）/*掴
解设尸.其中叽/，均为常数.
因为〃=32。相当于。=。。/ =212。相当于C= 100°.所以
7 "*=槌
故〃=1.80+32或C=扌（F-32）.
(1)F=90°. C =刑90-32)52.2。.
C=-5。，F= 1.Xx(-5)+32= 23°.
(2)设温度値，符合题意.则有
/ = 1.8/ +32,I =-40.
F（-T）=/|（-X）+/2（F=/|（对+人（x） =F（x）,
枚，（大）为偶函数.
设幻（T）,&2（愛）均为奇函数.则幻（-工）=-们（*）,幻（-X）=-g2（■*）•令。（]）=g]（））+&《]）,于是
G（-X）=X|（-X）+评2（-X）=■•幻（x） -&2（1）=f）,
故c（x）为奇函数.