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函数完整版PPT课件
16
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
14
04
三角函数及其性质
函数完整版PPT课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
14
04
三角函数及其性质
函数完整版PPT课件
2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
Mathcad数学运算-函数运算精品PPT课件
所得到的反三角函数的结果缺省也为 弧度。如：
asin(0.2)=0.201
要转换成弧度，可单击此式，并在右 侧占位符上输入deg，然后单击此区域外 部，如：
asin(0.2)=11.537 deg
Mathcad2001还提供两个返回角度的函 数：
angle(x,y)：返回平面上从x正坐标轴 到点(x,y)的夹角，其值为0到2π。
最后可得六个根分别是-11.475、10.117、-6.514、4.449、5.817、9.005。
由于求根函数root的算法是数值法，得到 的根是近似值。系统缺省数据的显示精 度为15位，如果用户对这精度不满意， 可在求解之前重新定义误差控制常数TOL。
大部分方程的根是实数，但是也有少部分 方程可能得到复数根，如例2。
图 28
根的估计值：x:=0
关键词： Given
不等式：(x-1)(3x-5)(x-4)0(注：用 Ctrl+0输入大于等于符“”或使用工具面 板中的相应布尔运算符)
关键词：Find(x)=1.6
再次使用根估计值x:=1、x:=2、x:=3 时重复上述步骤均得到根1～1.6，而使 用根估计值x:=4时得到根为4。可见此不 等式的两个区域分别是1≤x≤1.6和 4≤x≤。
b 7.642
3 a 4.651
3 b 3.88
ab 8.94810116
(2)三角函数 和反三角函数
Mathcad2001提供下列三角函数和反三 角函数：
sin(z)(正弦函数)、cos(z)(余弦函 数)、tan(z)(正切函数)、cot(z)(余切 函数)、sec(z)(正割函数)、csc(z)(余 割函数)、asin(z)(反正弦函数)、 acos(z)(反余弦函数)、atan(z)(反正切 函数)、acot(z)(反余切函数)、 asec(z)(反正割函数)、acsc(z)(反余割 函数)。
asin(0.2)=0.201
要转换成弧度，可单击此式，并在右 侧占位符上输入deg，然后单击此区域外 部，如：
asin(0.2)=11.537 deg
Mathcad2001还提供两个返回角度的函 数：
angle(x,y)：返回平面上从x正坐标轴 到点(x,y)的夹角，其值为0到2π。
最后可得六个根分别是-11.475、10.117、-6.514、4.449、5.817、9.005。
由于求根函数root的算法是数值法，得到 的根是近似值。系统缺省数据的显示精 度为15位，如果用户对这精度不满意， 可在求解之前重新定义误差控制常数TOL。
大部分方程的根是实数，但是也有少部分 方程可能得到复数根，如例2。
图 28
根的估计值：x:=0
关键词： Given
不等式：(x-1)(3x-5)(x-4)0(注：用 Ctrl+0输入大于等于符“”或使用工具面 板中的相应布尔运算符)
关键词：Find(x)=1.6
再次使用根估计值x:=1、x:=2、x:=3 时重复上述步骤均得到根1～1.6，而使 用根估计值x:=4时得到根为4。可见此不 等式的两个区域分别是1≤x≤1.6和 4≤x≤。
b 7.642
3 a 4.651
3 b 3.88
ab 8.94810116
(2)三角函数 和反三角函数
Mathcad2001提供下列三角函数和反三 角函数：
sin(z)(正弦函数)、cos(z)(余弦函 数)、tan(z)(正切函数)、cot(z)(余切 函数)、sec(z)(正割函数)、csc(z)(余 割函数)、asin(z)(反正弦函数)、 acos(z)(反余弦函数)、atan(z)(反正切 函数)、acot(z)(反余切函数)、 asec(z)(反正割函数)、acsc(z)(反余割 函数)。
函数复习ppt课件
函数复习ppt课件
目 录
• 函数的基本概念 • 函数的分类 • 函数的运算 • 函数的图像 • 函数的实际应用
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
描述函数的基本定义
详细描述
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。在一个函 数中，每一个输入值唯一对应一个输出值。函数的定义通常由输入和输出值的 集合以及它们之间的对应关系来描述。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性和凹凸性等。有界性是指函数在一定 范围内变化；单调性是指函数在某一区间内单调递增或单调递减；奇偶性是指函数是否 关于原点对称或关于y轴对称；周期性是指函数是否具有周期性变化；凹凸性则是指函
数的图象是否是凹或凸的。
02
函数加法的性质
与普通数的加法类似，函数加法也满足交换律、结合律等 基本性质。
函数的加法
将两个函数的图像看作是平面上的两个点集，函数加法就 是将这两个点集中的每一个点对应坐标相加，得到新的点 集，即新的函数图像。
举例
$f(x) = x^2$ 和 $g(x) = 2x$ 的和函数为 $h(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 2x$。
举例
与普通数的乘法类似，函数乘法也满足交换律、结合 律等基本性质。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念和性质
函数的除法
将一个函数的图像上的每一个点对应坐标除以另一个函数的相应坐标 ，得到新的点集，即新的函数图像。
函数除法的性质
与普通数的除法类似，函数除法也满足类似的性质，如商的可加性和 可交换性。
物理中的函数应用
目 录
• 函数的基本概念 • 函数的分类 • 函数的运算 • 函数的图像 • 函数的实际应用
01
函数的基本概念
函数的定义
总结词
描述函数的基本定义
详细描述
函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。在一个函 数中，每一个输入值唯一对应一个输出值。函数的定义通常由输入和输出值的 集合以及它们之间的对应关系来描述。
函数的性质
总结词
描述函数的性质
详细描述
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性和凹凸性等。有界性是指函数在一定 范围内变化；单调性是指函数在某一区间内单调递增或单调递减；奇偶性是指函数是否 关于原点对称或关于y轴对称；周期性是指函数是否具有周期性变化；凹凸性则是指函
数的图象是否是凹或凸的。
02
函数加法的性质
与普通数的加法类似，函数加法也满足交换律、结合律等 基本性质。
函数的加法
将两个函数的图像看作是平面上的两个点集，函数加法就 是将这两个点集中的每一个点对应坐标相加，得到新的点 集，即新的函数图像。
举例
$f(x) = x^2$ 和 $g(x) = 2x$ 的和函数为 $h(x) = f(x) + g(x) = x^2 + 2x$。
举例
与普通数的乘法类似，函数乘法也满足交换律、结合 律等基本性质。
函数的除法
总结词
理解函数除法的基本概念和性质
函数的除法
将一个函数的图像上的每一个点对应坐标除以另一个函数的相应坐标 ，得到新的点集，即新的函数图像。
函数除法的性质
与普通数的除法类似，函数除法也满足类似的性质，如商的可加性和 可交换性。
物理中的函数应用
函数专题ppt课件
数学建模中的函数应用
总结词：简化问题
详细描述：在数学建模中，函数被用来描述和简化复杂的问题。例如，在物理学中，牛顿的第二定律就是一个函数，它描述 了力、质量和加速度之间的关系。通过使用函数，我们可以将复杂的物理现象简化为易于理解和分析的数学模型。
物理中的函数应用
总结词：揭示规律
详细描述：在物理学中，函数被用来揭示各种自然现象的规 律。例如，在研究电路时，电压和电流之间的关系可以用函 数来表示。通过函数，我们可以更好地理解电路的工作原理 ，并预测其行为。
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 可以转化为顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$，从而将其视
为二次函数。
一元二次方程的根对应于二次函 数图像与 $x$ 轴的交点。
解一元二次方程可以通过求函数 值为 $0$ 的 $x$ 值得到。
分式方程与函数的关系
分式方程是含有分式的方程，其解析 式可以表示为 $frac{x}{a} + frac{b}{x} = c$。
理解单调性在解决实际问题中 的应用，如求最值、优化问题
等。
函数的奇偶性
01 02 03 04
掌握奇偶性的判定方法
了解函数奇偶性的定义，即函数满足f(-x)=f(x)为偶函数，满足f(x)=-f(x)为奇函数。
掌握判定函数奇偶性的方法，如代入法、图象法等。
理解奇偶性在解决实际问题中的应用，如对称性问题、周期性分析等 。
解分式方程需要找到满足方程条件的 $x$ 值，即找到函数值为特定值的 $x$ 值。
分式方程可以转化为函数形式，其中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量。
THANKS
感谢观看
03
函数的图象(精品课件)
解：(1)汽车从出发到最后停止共经历了24分钟，它的最高速度是90千米/时.
三、认真观察 学会识图：
1.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度 随时间变化而变化的情况. (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
解：(2)在2分钟到6分钟，18分钟到22分钟之间汽车匀速行驶，速度分 别是30千米/时和90千米/时.
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数
值所对应的点.
连线：把所描出的各点用平滑
S
16
的曲线连接起来.
接下来怎么办呢？
9
4 1 O 1234 x
一般地，对于一个函数，如果把自变 量与函数的每对对应值分别作为点的横、 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的 图形，就是这个函数的图象.
0-8分钟，离家越来越远；8-25分钟，离家 距离不变，为0.6千米；25-28分钟，离家距离由 0.6千米增加到0.8千米；28-58分钟，离家0.8千 米；58-68分钟，离家越来越近，直至回家.
解答
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少 时间？ 食堂离小明家0.6km；小明从家到食堂用了8min. (2)小明吃早餐用了多长时间？ 25-8=17 小明吃早餐用了17min.
5.温度在零度以下的时间长呢？还是在零度以上
的时间长？
温度在零度以上的时间长
随堂练习
1、下图是某一天北京与上海的气温随时间变 化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在 哪段时间比北京气温低？
(1)7,12 (2)高：0～7，12～24 低：7～12
三、认真观察 学会识图：
1.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度 随时间变化而变化的情况. (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
解：(2)在2分钟到6分钟，18分钟到22分钟之间汽车匀速行驶，速度分 别是30千米/时和90千米/时.
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数
值所对应的点.
连线：把所描出的各点用平滑
S
16
的曲线连接起来.
接下来怎么办呢？
9
4 1 O 1234 x
一般地，对于一个函数，如果把自变 量与函数的每对对应值分别作为点的横、 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的 图形，就是这个函数的图象.
0-8分钟，离家越来越远；8-25分钟，离家 距离不变，为0.6千米；25-28分钟，离家距离由 0.6千米增加到0.8千米；28-58分钟，离家0.8千 米；58-68分钟，离家越来越近，直至回家.
解答
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少 时间？ 食堂离小明家0.6km；小明从家到食堂用了8min. (2)小明吃早餐用了多长时间？ 25-8=17 小明吃早餐用了17min.
5.温度在零度以下的时间长呢？还是在零度以上
的时间长？
温度在零度以上的时间长
随堂练习
1、下图是某一天北京与上海的气温随时间变 化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在 哪段时间比北京气温低？
(1)7,12 (2)高：0～7，12～24 低：7～12
函数的概念与图象(第一课时)高一数学同步精品课件(苏教版2019必修第一册)
C.x|12≤x<1或x>1 D.x|－1≤x≤12或x>1 (2)已知函数 f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数 f(2x－2)的定义域为( )
A.(0，2)
B.－12，12
C.(1，2)
D.－12，0
解析 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足2x2x－－11≠≥00，，解得xx≥ ≠12±，1，即 x≥12且 x≠1，故选 C. (2)由题意知－2<x<0，∴0<x＋2<2，即f(x)的定义域为(0，2)，∴0<2x－2<2，解 得1<x<2.故f(2x－2)的定义域是(1，2). 答案 (1)C (2)C
【训练3】 求下列函数的值域： (1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1，0，1，2}； (2)f(x)＝x2＋2x＋3. 解 (1)∵函数定义域为{－1，0，1，2}， f(x)＝(x＋1)2＋2. ∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11， ∴函数f(x)的值域为{2，3，6，11}. (2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， ∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞).
题型一 函数关系的判断 角度1 由定义判断是否为函数 【例1－1】 判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数.
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
二、课堂检测 1.下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为( )
X
－1
0
《函数发展史》课件
反比例函数
定义：当两个变 量的乘积为常数 时，这两个变量 之间存在反比例 关系
图像：在坐标系 中呈现出双曲线 形态
性质：当k>0时， 函数图像位于第 一、三象限；当 k<0时，函数图 像位于第二、四 象限
应用：在物理学、 工程学等领域中 有着广泛的应用
幂函数
定义：形如 y=x^a（a为 常数）的函数
● * 奇偶性：当a为整数时，若a为偶数，则幂函数为偶函数；若a为奇数，则幂函数为奇函数。 ● * 增减性：当a>0时，幂函数在(0, +∞)上是递增的；当a<0时，幂函数在(0, +∞)上是递减的。 ● * 极值：当a>1时，幂函数有极小值点；当0<a<1时，幂函数有极大值点。 ● * 单调性：当a>1时，幂函数在区间(0, +∞)上单调递增；当0<a<1时，幂函数在区间(0, +∞)上单调递减。
● 函数的未来展望： (1) 函数将继续在各个领域发挥重要作用，为人们的生活和工作带来更多便利； (2) 函数将不断发展和创新，为解决复杂问题提供更多可能性； (3) 函数将与其他技术的结合更加紧密， 推动整个科技领域的发展。
● (1) 函数将继续在各个领域发挥重要作用，为人们的生活和工作带来更多便利； ● (2) 函数将不断发展和创新，为解决复杂问题提供更多可能性； ● (3) 函数将与其他技术的结合更加紧密，推动整个科技领域的发展。
反正切函数：正切函数的反函数，即y=tanx的反函数。在区间(-π/2,π/2)上是单调递增的。
指数函数与对数函数
指数函数的定义与性质
指数函数的定义： 底数大于0且不等于 1，指数为实数的函 数称为指数函数。
指数函数的性质：当 底数大于1时，指数 函数是递增函数；当 底数在0到1之间时， 指数函数是递减函数。
新人教版八年级数学上册第14章一次函数精品课件ppt
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么 它的图象有什么特征呢？
Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究
活动三.共同探究,理解知识 1.例题.画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个 函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律. １.y=2x ２.y=-2x
学生通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规 律,让学生自己动手、动口、动脑,经历规律发现的整个过 程,从而提高各方面能力及学习兴趣.并能正确画图、积极 探索、总结规律、准确表述.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6
画出图象如图(1). (2)y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应 值:画出图象如图(2).
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(3)分析比较两个图象的共同点和不同点 1)共同点:都是经过原点的直线. 2)不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的 增大y也增大；经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向 右呈下降状态,即随x增大y反而减小；经过第二、四象限.
一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟) 套上标志环.４个月零１周后人们在2.56万千米外的澳 大利亚发现了它. (１)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米 (精确到10千米)？ (２)这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有 什么关系？ (３)这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
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活动四.自己动手,课堂练习
在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行
比较.(１)y=0.5x
(２)y= -0.5x
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活动三.共同探究,理解知识 1.例题.画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个 函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律. １.y=2x ２.y=-2x
学生通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规 律,让学生自己动手、动口、动脑,经历规律发现的整个过 程,从而提高各方面能力及学习兴趣.并能正确画图、积极 探索、总结规律、准确表述.
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6
画出图象如图(1). (2)y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应 值:画出图象如图(2).
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(3)分析比较两个图象的共同点和不同点 1)共同点:都是经过原点的直线. 2)不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,即随着x的 增大y也增大；经过第一、三象限.函数y=-2x的图象从左向 右呈下降状态,即随x增大y反而减小；经过第二、四象限.
一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥뼈မ鸟) 套上标志环.４个月零１周后人们在2.56万千米外的澳 大利亚发现了它. (１)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米 (精确到10千米)？ (２)这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有 什么关系？ (３)这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
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活动四.自己动手,课堂练习
在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行
比较.(１)y=0.5x
(２)y= -0.5x
《高中数学PPT课件——函数》
3
反函数
反函数是函数的逆运算，将函数的输 出值映射回输入值。
对数与指数的关系
对数函数与指数函数是互为反函数的 关系，它们可以互相抵消。
指数函数与对数函数的图像与性质
指数函数
指数函数的图像呈现出指数增 长或指数衰减的特点。
对数函数
对数函数的图像呈现出反比例 关系，随着自变量的增大，函 数值逐渐变化缓慢。
指数增长和指数衰减
指数函数可以呈现出快速增长 或快速衰减的趋势。
复合函数及其求法
1
复合函数
复合函数由两个函数组成，其中一个函数的输出值作为另一个函数的输入值。
2
求法
可以通过代入法、求导法或递推法等方法来求解复合函数。
3
函数运算法则
复合函数满足函数运算的一些基本法则，如分配律和结合律。
函数的奇偶性与周期性
奇函数与偶函数
奇函数关于坐标原点对称， 即f(x)=-f(-x)，偶函数关于 y轴对称，即f(x)=f(-x)。
周期函数
周期函数的图像在一定区 间内不断重复，满足 f(x+T)=f(x)，其中T是函数 的周期。
常用周期函数
正弦函数、余弦函数和正 切函数都是常见的周期函 数。
常用函数的图像与性质
正弦函数
函数是数学中的一种基本关系。它将一个集合的每个元素映射到另一个集合 的元素上。函数能够描述事物之间的联系和变化规律。
函数的符号表示及基本性质
符号表示
函数用f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是 因变量。
奇偶性和周期性
函数的奇偶性决定了它的对称性，周期性描 述了函数的重复性规律。
定义域和值域
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是 函数所有可能的输出值。
浙教版数学中考复习：函数(一)课件 (共69张PPT)
• 解析：因为一次函数y＝kx＋b过点（2,3）,（0,1）,
•
所以ቊ3
= 1
2������ + = ������
������,解得ቊ������������
= =
1 1
•
所以一次函数的解析式为������ = ������ + 1.
•
当y=0时，x+1=0，x=-1,
•
所以一次函数������ = ������ + 1的图象与x轴交于点（-
4. 实际应用
考点1:反比例函数的概念
定义：形如________(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函
数，k是比例系数．
表达式：
或
或xy＝k(k≠0)．
防错提醒：(1)k≠0； (2)自变量x≠0； (3)函数y≠0.
考点2:反比例函数的图象与性质
(1)反比例函数的图象：反比例函数y＝������������(k≠0)的图象是________，且关于________对称． (2)反比例函数的性质：
• C.当x>0时，y随x的增大而增大
D.当x<0时，y随x的增大而减小
2.1反比例函数的图象与性质
【练6】已知点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反比例函数y＝���6���的图象上，则y1，y2，y3的 大小关系是( )
A．y3＜y1＜y2
B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y1＜y3
1.3一次函数的解析式
【例4】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，求此一次函数的解析式．
解析：
【例4】已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为 2，求此一次函数的解析式．
课件(PPT版)2.3_初等函数
六、反双曲函数
定义 反双曲正弦函数 Arsh z Ln (z z2 1 );
P 44
反双曲余弦函数 Arch z Ln (z z2 1 );
反双曲正切函数 Arth z 1 Ln 1 z ; 2 1 z
反双曲余切函数 Arcoth z 1 Ln z 1 . 2 z1
i Lni
i ( i2kπi)
2
( 2kπ)
2
,
(k 0, 1, 2,) .
可见，i i是正实数，它的主值是
e
2
.
例 求 1 2 的值。
解 1 2 e 2 Ln1 e 2[0i(02k )] e2 2kπi
cos (2 2 kπ) i sin (2 2 kπ) , (k 0, 1, 2,).
(w)
一、指数函数
性质 (7) 映射关系： 由 w ez ex (cos y i sin y) ex ei y , 有
|w| ex,
Arg w y 2kπ ,
(k 0, 1, 2,)
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
How beautiful the sea is!
u ln r ln| z|,
v
Arg z .
由 z 的模得到 w 的实部 ； 由 z 的辐角得到 w 的虚部 。
即 w Ln z ln| z | i Arg z
ln| z | i arg z 2kπi , (k 0, 1, 2,).
其中，m 与 n 为互质的整数，且 n 1.
此时，za 除原点与负实轴外处处解析， 且 (za ) a za 1.
人教版七年级数学下册课件：19.1.2函数的图象(共31张ppt)
解：①列表（自变量x取一切实数）
x…
…
y…
…
例3（1）、画出函数y=x+0.5的图象
解：①列表 （自变量x取一切实数）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -2.5 -1.5-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …
②描点
y 5
③连线
4 3
2
1
y=x+0.5
从该函数图象 可以看出哪些
AB
O0
15 25 37
55
E
80 x/分
问题2：小明给菜地浇水用了多少（出时2，）小间由明横给？坐菜标地看浇
y/千米
水用了10分。 （25-10）
解：由横坐标看出，小明给菜地浇水用了10分钟。
2
C
D
AB
1.1
O0
15 25 37
55
E
80 x/分
问题3：菜地离玉米地多远？小明从菜地走 到玉米地用了多少时间？
探 索 归 纳：
一、由函数图象的定义可知： (1)函数图象上的点一定满足函数解析式。
(2)满足函数解析式的点的一定在函数图象上。 即：函数图象上的点与函数解析式的每一对对应值
是一一对应的。
二、判断点在函数图象上的方法：
将这个点的坐标(x, y)代入函数解析式中，若满 足函数解析式，那么点就在函数的图象上；如果不满 足函数解析式，那么点就不在函数的图象上。
y/千米
C
D
2
AB
1.1
O
0
15 25
37
55
E
80 x/分
问题1：菜地离小明家多远？小明走到菜地
用了多少时间？
初中函数的概念ppt课件
二次函数的定义
形如y=ax^2+bx+c（a， b，c是常数，a≠0）的函 数称为二次函数。
二次函数的图像
二次函数y=ax^2+bx+c 的图像是一个抛物线。
二次函数的性质
当a>0时，抛物线开口向 上，有最小值；当a<0时 ，抛物线开口向下，有最 大值。
03 函数的应用
函数在生活中的实际应用
人口增长模型
提供工具。
04 函数的扩展知识
复合函数的概念
定义
如果y是u的函数，而u是x的函数，那么y关于x的函数叫做由基本函 数f(u)和g(x)构成的复合函数。
表示方法
y = f(u)，u = g(x)
分解
把一个复合函数分解成若干个基本初等函数，并分别指出各基本初等 函数在复合函数中的作用。
函数的奇偶性
THANKS 感谢观看
微积分
函数是微积分的基础，可以用来研 究物体的运动、变化和趋势等。
统计学
函数可以用来描述数据的分布特征 ，为统计分析提供工具。
函数在物理问题中的应用
力学
函数可以用来描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
热力学
函数可以用来描述温度、压力等 物理量的变化情况，为热力学研
究提供工具。
电学
函数可以用来描述电流、电压等 物理量的变化情况，为电学研究
函数的定义通常包括定义域和值域，定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变 量的取值范围。
函数的表示方法
函数的表示方法有三种：表格法、图 象法和解析式法。
图象法是用图形来表示函数关系，它 直观形象，可以反映函数的单调性、 增减性等性质。
表格法是最简单的一种表示方法，它 将自变量和因变量的对应关系列成表 格，适用于简单的函数关系。
北师大版高一数学函数的概念精品PPT课件
例如：在 y= x 中，尽管x与y之间有关系式，但是由于x在
x>0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与它对应，所以y 不是x的函数。
(4)、f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数 值，绝对不能理解为f与x的乘积. 函数除了可用符号f(x)表示外 ，还可用g(x),F(x)等表示．变量也不是用唯一的字母来表示， f(x)＝x＋1与f(t)＝t＋1是同一个函数.
但还有一种本领与及时获取正好相反，它们会随着时间沉淀，时间的迭代，时间的积累，最终迸发出巨大的力量。可这种能力，因为时间太短，并没有写入人们的记忆。以至于有时，人们颠三倒四，用错了地方。
比如财富积累和及时获取比起来，人类对财富，对资本，对积累，实在是见的不多，用的不多，思考的也不多。和及时获取比起来，实在太短，太少，就像一个蹒跚学步的孩子，一路跌跌撞撞，不知道什么叫害怕，什么叫危险。
(5)、f(a)与f(x)的关系： f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个 常量.而f(x)是自变量x的函数，表示的是变量.
（6）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的对 应关系。
三、典例导航
题型一：求函数的值。
【例１】 . 求下列函数当x = 3时的函数值。
①y=2x-5
②y=-2x2
他问我：“看有没有熟悉的朋友，帮孩子联系联系。”我问他：“孩子究竟要找什么样的工作？”他说：“没啥要求，工资高一点，离家近一点，最好能一步到位。孩子性格内向，不想来来回回折腾。”
我听后苦笑：“要求是不怎么高，但这样的工作还真不好找。”和朋友聊完天后，有那么几个词语在我的脑海里，“工资高一点，不想再折腾。”随后，我确实被这几个词吓到了，并且惊了一身冷汗。
四、小结：
x>0的范围内每取一个值，y都有两个确定的值与它对应，所以y 不是x的函数。
(4)、f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数 值，绝对不能理解为f与x的乘积. 函数除了可用符号f(x)表示外 ，还可用g(x),F(x)等表示．变量也不是用唯一的字母来表示， f(x)＝x＋1与f(t)＝t＋1是同一个函数.
但还有一种本领与及时获取正好相反，它们会随着时间沉淀，时间的迭代，时间的积累，最终迸发出巨大的力量。可这种能力，因为时间太短，并没有写入人们的记忆。以至于有时，人们颠三倒四，用错了地方。
比如财富积累和及时获取比起来，人类对财富，对资本，对积累，实在是见的不多，用的不多，思考的也不多。和及时获取比起来，实在太短，太少，就像一个蹒跚学步的孩子，一路跌跌撞撞，不知道什么叫害怕，什么叫危险。
(5)、f(a)与f(x)的关系： f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个 常量.而f(x)是自变量x的函数，表示的是变量.
（6）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的对 应关系。
三、典例导航
题型一：求函数的值。
【例１】 . 求下列函数当x = 3时的函数值。
①y=2x-5
②y=-2x2
他问我：“看有没有熟悉的朋友，帮孩子联系联系。”我问他：“孩子究竟要找什么样的工作？”他说：“没啥要求，工资高一点，离家近一点，最好能一步到位。孩子性格内向，不想来来回回折腾。”
我听后苦笑：“要求是不怎么高，但这样的工作还真不好找。”和朋友聊完天后，有那么几个词语在我的脑海里，“工资高一点，不想再折腾。”随后，我确实被这几个词吓到了，并且惊了一身冷汗。
四、小结：
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数学
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数学 (1)根据上图填表:
x(min)
0
3
6
8
y(m)
(2)变量y是x的函数吗?为什么? (3)根据图中的信息,请写出摩天轮的直径.
12
…
…
解:(1)填表如下:
x(min)
0
3
6
8
12
…
y(m)
5
70
Байду номын сангаас
5
54
5
…
(2)因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应,符合函数的定义, 所以y是x的函数. (3)因为最高点为70 m,最低点为5 m, 所以摩天轮的直径为65 m.
解:(1)这个图象反映了铅球行进的高度y与行进的水平距离x这两个变量之间的 关系. (2)铅球行进的高度y是水平距离x的函数, 当x有一个值,则y有唯一一个值相对应, 所以y是x的函数;自变量的取值范围是0≤x≤10. (3)由图象可知,铅球行进的最高点距地面是3米,周涛投掷铅球的距离是10米.
数学
(参考用时:30分钟)
1.(2017玄武区期末)下列关系中,y不是x的函数关系的是( D ) (A)长方形的长一定时,其面积y与宽x (B)高速公路上匀速行驶的汽车,其行驶的路程y与行驶的时间x (C)y=|x| (D)|y|=x
数学 2.下列各曲线中表示y是x的函数的是( D )
3.下列各式①y=0.5x-2;②y=|2x|;③3y+5=x;④y2=2x+8中,y是x的函数的有( A )
数学
第四章 1函数
函数的概念及函数表示方法 1.下列对函数的认识正确的是( D ) (A)若y是x的函数,x也是y的函数 (B)两个变量之间的函数关系一定能用数学式子表示 (C)若y是x的函数,则当y取一个值时,一定有唯一的x值与它对应 (D)一个人的身高也可以看作他年龄的函数
数学 2.下列四个选项中,y 一定不是 x 的函数的是( A )
数学 10.(2017烟台)用棋子摆出下列一组图形:
按照这种规律摆下去,第n个图形用的棋子个数S为( D ) (A)3n (B)6n (C)3n+6 (D)3n+3
数学 11.阅读下列计算程序: (1)当x=1 100时,输出的y值是多少? (2)当x=1 000时,输出y的值是多少?
解:(1)由题意,得y=-2×1 100+2 017,y=-2 200+2 017=-183. 所以输出的y值为-183. (2)由题意,得y=-2×1 000+2 017=-2 000+2 017,y=17>0. 再把x=2 000代入y=-2x+2 017,得 y=-2×2 000+2 017=-4 000+2 017=-1 983. 故输出的y值为-1 983.
y是x的函数吗?为什么?
解:根据在某变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定 的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数.由表格知,y是x的函数.
数学 确定函数关系式、自变量取值范围及函数值
5.已知函数 y=3x-1,当 x=3 时,y 的值是( C )
(A)6
(B)7
3
(A)5 (B)10 (C)4
(D)-4
6.(2017 扬州)同一温度的华氏度数 y(℉)与摄氏度数 x(℃)之间的函数表达式是 y= 9 x+32. 5
若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等,则此温度的摄氏度数为 -40 ℃.
7.学校举行校园歌手大奖赛,参加决赛的6名选手最后取得的成绩如下表所示:
(A)①②③
(B)②③④
(C)①③④
(D)①②④
4.设一个长方体的高为10 cm,底面的宽为x cm,长是宽的2倍,这个长方体的体积
V(cm3)与长、宽的关系式为V=20x2,在这个式子里,自变量是( D )
(A)20x2
(B)20x
(C)V
(D)x
数学
5.若 y 与 x 的关系式为 y=30x-6,当 x= 1 时,y 的值为( C )
(A)|y|=x-1
(B)y= 2 x
(C)y=2x-7
(D)y=x2
3.(2017 泸州)下列曲线中不能表示 y 是 x 的函数的是( C )
数学
4.在表中,记录了一个同学10次练习立定跳远的成绩:
练习跳远 次数x/次
跳远成绩 y/米
1
2
34 5
6 7 8 9 10
2.3 2.35 2.42 2.4 2.55 2.4 2.5 2.45 2.6 2.48
(C)8
(D)9
6.(2017 无锡)函数 y= x 中自变量 x 的取值范围是( A )
x2
(A)x≠2 (B)x≥2 (C)x≤2 (D)x>2 7.某水库的水位持续上涨,初始水位高度为 6 米,水位以每小时 0.3 米的速度匀速上升,则水
库的水位 y 与上涨时间 x 之间的函数关系式是 y=6+0.3x .
选手序号
1
2
3
成 绩 97.7 98.4
96.5
下列的两个说法:
(1)成绩是序号的函数.(2)序号是成绩的函数.
说法正确的是 (1) (填序号即可).
4 97.3
5 96.5
6 98.1
数学
8.(2017 安顺)在函数 y= x 1 中,自变量 x 的取值范围为 x≥1且x≠2 . x2
9.摩天轮可抽象成一个圆,圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的 关系如图所示.
数学 8.如图是周涛同学推出的铅球行进的曲线,其中y表示铅球行进的高度,x是铅球行 进的水平距离.
(1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系? (2)铅球行进的高度y是水平距离x的函数吗?请说明理由,并指出自变量的取值范围; (3)根据图象回答:铅球行进的最高点距地面是多少米?周涛投掷铅球的距离是多少?