2019届高考数学(文科)江苏版1轮复习练习： 4 第4讲 分层演练直击高考 Word版含解析

1．(2018·连云港模拟))复数(1＋i)2的虚部是________．
[解析] (1＋i)2＝2i ，所以该复数的虚部为2.
[答案] 2
2．复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z -为________．
[解析] 由(z －3)(2－i)＝5，
得z ＝3＋52－i ＝3＋5（2＋i ）
（2－i ）（2＋i ）
＝3＋2＋i ＝5＋i ，
所以z -＝5－i.
[答案] 5－i
3．设复数z 的共轭复数为z -，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z -z
＋z 2的值为________． [解析] 依题意得z -z ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i 1－i －2i ＝i －2i ＝－i. [答案] －i
4．在复平面内O 为坐标原点， 复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，则|AB →|＝
________.
[解析] 由复数的几何意义知，OA →＝(1，1)，OB →＝(1，3)，则AB →＝OB →－OA →＝(1，3)－(1，
1)＝(0，2)，所以|AB →|＝2.
[答案] 2
5．(2018·云南省师大附中月考改编)若复数z ＝1－2i i
的共轭复数是z -＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则点(a ，b )为________．
[解析] 因为 z ＝1－2i i
＝－2－i ，所以z -＝－2＋i. [答案] (－2，1)
6．若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则点P (a ，b )到原点的距离等于________．
[解析] 由已知a i ＋2＝b －i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝2，
所以点P (－1，2)到原点距离|OP |＝ 5.
[答案] 5
7．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数|x ＋y i|＝________．
[解析] 依题意得－y ＋x i ＝3＋4i ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧－y ＝3，x ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，
x ＝4，
所以|x ＋y i|＝|4－3i|＝
42＋（－3）2＝5.
[答案] 5
8．设复数z 满足4z ＋2z -＝33＋i ，ω＝sin θ－icos θ(θ∈R )，则|z －ω|的取值范围为
________．
[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z -＝a －b i ，代入4z ＋2z -＝33＋i ，得4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，所以解得⎩⎨⎧a ＝32，
b ＝12，
所以z ＝32＋12
i. |z －ω|＝⎪⎪⎪⎪32＋12i －（sin θ－icos θ） ＝
⎝⎛⎭⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θ2＝2－3sin θ＋cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π6. 因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1，所以0≤2－2sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π6≤4. 所以0≤|z －ω|≤2.
[答案] [0，2]
9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，（1＋i ）2
i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是________．
[解析] 由已知得M ＝{i ，－1，－i ，2}，Z 为整数集，所以Z ∩M ＝{－1，2}，即集合
Z ∩M 中有2个元素．
[答案] 2
10．给出下列四个命题：
①若z ∈C ，|z |2＝z 2，则z ∈R ；②若z ∈C ，z －＝－z ，则z 是纯虚数；③z ∈C ，|z |2＝z i ，
则z ＝0或z ＝i ；④若z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则z 1z 2＝0.
其中真命题的个数为________．
[解析] ①是真命题，|z |2＝z ·z -，所以z ·z -＝z 2，所以z ＝0或z ＝z -，故z ∈R ；②是假命题，
z ＝0时不成立；③是假命题，因为|z |2＝z ·z -＝z i ，所以z (z -－i)＝0，故z ＝0或z ＝－i ；④是假
命题，假如z 1＝1，z 2＝i 时，z 1z 2≠0，但|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|.
[答案] 1
11．计算：(1)（－1＋i ）（2＋i ）i 3；(2)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i
； (3)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2；(4)1－3i （3＋i ）2
. [解] (1)（－1＋i ）（2＋i ）i 3＝－3＋i －i
＝－1－3i. (2)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i
＝i （2－i ）5＝15＋25i. (3)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2
＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2 ＝－i 3＋i
＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i. 12．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．
因为z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，
由题意得y ＝－2.。