吉林省通化市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析

吉林省通化市2019-2020学年中考一诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图是测量一物体体积的过程：
步骤一：将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中；
步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm3)().
A．10 cm3以上，20 cm3以下B．20 cm3以上，30 cm3以下
C．30 cm3以上，40 cm3以下D．40 cm3以上，50 cm3以下
3．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）
A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
4．如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D'E'CB，若DE∥BC，四边形D'E'CB 各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE应是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．x ﹣1=0
B ．x 2+3x ﹣5=0
C ．x 3+x=3
D ．ax 2+bx+c=0
6．已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
7．如图，两个转盘A ，B 都被分成了3个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A ，B ，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）．小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：
转盘总次数
10
20
30
50
10
150
180
240
330 450 “和为7”出现
频数 2
7
10
16
30
46 59 81
11
150 “和为7”出现频率
0.20
0.35
0.33
0.32
0.30
0.30
0.33
0.34
0.33
0.33
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率为（ ） A ．0.33
B ．0.34
C ．0.20
D ．0.35
8．如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是（ ）
A ．1<x<5-
B ．x>5
C ．x<1-且x>5
D ．x ＜－1或x ＞5
9．在实数π，0，17，﹣4中，最大的是（ ） A ．π
B ．0
C ．17
D ．﹣4
10．某机构调查显示，深圳市20万初中生中，沉迷于手机上网的初中生约有16000人，则这部分沉迷于手机上网的初中生数量，用科学记数法可表示为（ ） A ．1.6×104人
B ．1.6×105人
C ．0.16×105人
D ．16×103人
11．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( ) A ．平均数 B ．中位数
C ．众数
D ．方差
12．﹣1
8
的相反数是（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．
18
D ．﹣
18
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积
是 ．
14．从-5，-
10
3
，-6，-1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为______． 15．用换元法解方程2
21231
x x x x +-=+时，如果设21x y x +=，那么原方程化成以y 为“元”的方程是
________．
16．如图，已知O e 的半径为2，ABC ∆内接于O e ，135ACB ∠=o ，则AB =__________．
17．下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是 ．
18．要使式子2x -有意义，则x 的取值范围是__________．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，已知二次函数2231284
y x mx m m =-++-的图象与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 左侧)，
与y 轴交于点C ，顶点为D ．
（1）当2m =-时，求四边形ADBC 的面积S ；
（2）在（1）的条件下，在第二象限抛物线对称轴左侧上存在一点P ，使2PBA BCO ∠=∠，求点P 的坐标；
（3）如图2，将（1）中抛物线沿直线3184y x =-向斜上方向平移73
E 为线段OA 上一动
点，EF x ⊥轴交新抛物线于点F ，延长FE 至G ，且OE AE FE GE =g g
，若EAG ∆的外角平分线交点Q 在新抛物线上，求Q 点坐标．
20．（6分）在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到没有受洪水威胁的A ，B 两仓库，已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A 库的容量为60吨，B 库的容量为120吨，从甲、乙两库到A 、B 两库的路程和运费如表（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
路程（千米）
运费（元/吨•千米）
甲库
乙库 甲库 乙库 A 库 20 15 12 12 B 库
25
20
10
8
若从甲库运往A 库粮食x 吨，
①从甲库运往B库粮食吨；
②从乙库运往A库粮食吨；
③从乙库运往B库粮食吨；
（2）写出将甲、乙两库粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式，并求出当从甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
21．（6分）已知一次函数y＝x+1与抛物线y＝x2+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为1．
（1）写出抛物线的函数表达式；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O 的切线．交BC于点E．求证：BE=EC填空：①若∠B=30°，AC=23，则DE=______；
②当∠B=______度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
23．（8分）如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED ＝∠C．
(1)判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若AC＝8，cos∠BED＝，求AD的长．
B的坐标为（4，2），直线
1
y x3
2
=-+交AB，BC分别于点M，N，反比例函数
k
y
x
=的图象经过点M，
N．
求反比例函数的解析式；若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形
BMON的面积相等，求点P的坐标．
25．（10分）如图1，四边形ABCD，边AD、BC的垂直平分线相交于点O．连接OA、OB、OC、OD．OE 是边CD的中线，且∠AOB+∠COD＝180°
（1）如图2，当△ABO是等边三角形时，求证：OE＝1
2 AB；
（2）如图3，当△ABO是直角三角形时，且∠AOB＝90°，求证：OE＝1
2 AB；
（3）如图4，当△ABO是任意三角形时，设∠OAD＝α，∠OBC＝β，①试探究α、β之间存在的数量关系？
②结论“OE＝1
2
AB”还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．
26．（12分）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA-AB-BC-CD所示．
(1)求线段AB的表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求乙的步行速度；
(3)求乙比甲早几分钟到达终点？
＝60°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
分析：
过O1、O2作直线，以O1O2上一点为圆心作一半径为2的圆，将这个圆从左侧与圆O1、圆O2同时外切的位置（即圆O3）开始向右平移，观察图形，并结合三个圆的半径进行分析即可得到符合要求的圆的个数. 详解：如下图，（1）当半径为2的圆同时和圆O1、圆O2外切时，该圆在圆O3的位置；
（2）当半径为2的圆和圆O1、圆O2都内切时，该圆在圆O4的位置；
（3）当半径为2的圆和圆O1外切，而和圆O2内切时，该圆在圆O5的位置；
综上所述，符合要求的半径为2的圆共有3个.
故选C.
点睛：保持圆O1、圆O2的位置不动，以直线O1O2上一个点为圆心作一个半径为2的圆，观察其从左至右平移过程中与圆O1、圆O2的位置关系，结合三个圆的半径大小即可得到本题所求答案.
2．C
分析：本题可设玻璃球的体积为x，再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可．
详解：设玻璃球的体积为x，则有
3300180 4300180 x
x
-
⎧
⎨
-
⎩
＜
＞
解得30＜x＜1．
故一颗玻璃球的体积在30cm3以上，1cm3以下．
故选C．
点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x 的取值范围．
3．C
【解析】
【分析】
先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
【详解】
∵当x=7时，y=6-7=-1，
∴当x=4时，y=2×4+b=-1，
解得：b=-9，
故选C．
【点睛】
本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．
4．C
【解析】
【分析】
利用相似三角形的性质即可判断．
【详解】
设AD＝x，AE＝y，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD AE DE AB AC BC
==，
∴
6
121614
x y
x y
==
++
，
∴x＝9，y＝12，故选：C．
考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】
A. 未知数的最高次数不是2 ，不是一元二次方程，故此选项错误；
B. 是一元二次方程，故此选项正确；
C. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故此选项错误；
D. a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误；
故选B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是明白：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2.
6．C
【解析】
【分析】
先将前两项提公因式，然后把a﹣b=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．【详解】
a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结合．
7．A
【分析】
根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率即可.
【详解】
由表中数据可知，出现“和为7”的概率为0.33.
故选A.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
8．D
【解析】
ax+bx+c<0的解集：利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出2
由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）．
ax+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
由图象可知：2
∴x＜－1或x＞1．故选D．
9．C
【解析】
【分析】
根据实数的大小比较即可得到答案.
【详解】
解：∵16＜17＜25，∴4＜5π＞0＞－4，故答案选C.
【点睛】
本题主要考查了实数的大小比较，解本题的要点在于统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小.
10．A
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
用科学记数法表示16000，应记作1.6×104，
故选A．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．D
【解析】
【详解】
解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D．原来数据的方差=
222 (12)2(22)(32)
4
-+⨯-+-
=
1
2
，
添加数字2后的方差=
222 (12)3(22)(32)
5
-+⨯-+-
=
2
5
，
故方差发生了变化．故选D．
12．C
【解析】
互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以
1
8
-的相反数是
1
8
，
故选C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1
【解析】
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
∴△AEB≌△AFD，
∴S△AEB=S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF 的面积，
可得到四边形AECF 的面积=正方形的面积=1．
14．27 【解析】 【分析】 七个数中有两个负整数，故随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：27 【详解】 105,,6,1,0,2,3
π--
-- 这七个数中有两个负整数：-5，-1 所以，随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：27
故答案为27 【点睛】
本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能事件的概率计算公式是关键．
15．y-23y
= 【解析】
分析：根据换元法，可得答案．
详解：21x x +﹣221
x x +=1时，如果设21x x +=y ，那么原方程化成以y 为“元”的方程是y ﹣2y =1． 故答案为y ﹣2y
=1． 点睛：本题考查了换元法解分式方程，把
21x x
+换元为y 是解题的关键． 16．22
【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长．
详解：连接AD 、AE 、OA 、OB ，
∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴，
故答案为：．
点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．n 1＋n ＋1．
【解析】
试题解析：仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，
分别为：
第一个图有：1+1+1个，
第二个图有：4+1+1个，
第三个图有：9+3+1个，
…
第n 个为n 1+n+1.
考点：规律型：图形的变化类．
18．x 2≤
【解析】
【分析】
根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x 的不等式，解不等式即可得.
【详解】
由题意得：
2-x≥0，
解得：x≤2，
故答案为x≤2.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）4；（2）15(4P -，33)16；（3）3(1,)4Q -． 【解析】
【分析】
（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，求出二次函数的顶点D 的坐标，然后求出A 、B 、C 的坐标，然后根据ABC ABD S S S ∆∆=+即可得出结论；
（2）设点2(,43)P t t t ++是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将BOC ∆沿y 轴翻折得到COE ∆，点(1,0)E ，连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于F ，过点P 作PG x ⊥轴于G ，证出PBG BCF ∆∆∽，列表比例式，并找出关于t 的方程即可得出结论；
（3）判断点D 在直线3184y x =-上，根据勾股定理求出DH ，即可求出平移后的二次函数解析式，设点(m,0)E ，(,0)T n ，过点Q 作QM EG ⊥于M ，QS AG ⊥于S ，QT x ⊥轴于T ，根据勾股定理求出AG ，联立方程即可求出m 、n ，从而求出结论．
【详解】
解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E
当2m =-时，得到22
43(2)1y x x x =++=+-， ∴顶点(2,1)D --，
∴DE=1
由2430x x ++=，得13x =-，21x =-；
令0x =，得3y =；
(3,0)A ∴-，(1,0)B -，(0,3)C ，
2AB ∴=，OC=3
11422
ABC ABD S S S AB OC AB DE ∆∆∴=+=⨯+⨯=． （2）如图1，设点2(,43)P t t t ++是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将BOC ∆沿y 轴翻折得到COE ∆，点(1,0)E ，连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于F ，过点P 作PG x ⊥轴于G ，
由翻折得：BCO ECO ∠=∠，
2BCF BCO ∴∠=∠；
2PBA BCO ∠=∠Q ，
PBA BCF ∴∠=∠，
PG x ⊥Q 轴，BF CE ⊥，
90PGB BFC ∴∠=∠=︒，
PBG BCF ∴∆∆∽， ∴PG BF BG CF
=
由勾股定理得：
BC EC ==
CO BE BF CE ⨯=⨯Q
∴
OC BE BF CE ⨯===，
∴
CF ===， ∴34
PG BF BG CF ==， 43PG BG ∴=
243PG t t =++，1BG t =--，
24(43)3(1)t t t ∴++=--，
解得：1
1t =-(不符合题意，舍去)，2154t =-； 15(4P ∴-，33)16
． （3）原抛物线2(2)1y x =+-的顶点(2,1)D --在直线3184
y x =-上， 直线3184y x =-交y 轴于点1(0,)4
H -， 如图2，过点D 作DN y ⊥轴于N ，
DH == ∴由题意，平移后的新抛物线顶点为1(0,)4H -，解析式为214
y x =-， 设点(m,0)E ，(,0)T n ，则OE m =-，12AE m =+，214
EF m =-， 过点Q 作QM EG ⊥于M ，QS AG ⊥于S ，QT x ⊥轴于T ，
OE AE FE GE =Q g g ，
221
m GE m ∴=-， ∴222221241()()22124m m AG AE EG m m m
+=+=++=--
GQ Q 、AQ 分别平分AGM ∠，GAT ∠，
QM QS QT ∴==，
Q 点Q 在抛物线上，
21(,)4
Q n n ∴-， 根据题意得：2221441112242
421m n n m m n n m m ⎧-=-⎪⎪⎨+⎪++=--⎪--⎩ 解得：141
m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
3(1,)4
Q ∴- 【点睛】
此题考查的是二次函数的综合大题，难度较大，掌握二次函数平移规律、二次函数的图象及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
20．（1）①（100﹣x ）；②（1﹣x ）；③（20+x ）；（2）从甲库运往A 库1吨粮食，从甲库运往B 库40吨粮食，从乙库运往B 库80吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是2元．
【解析】
分析：（Ⅰ）根据题意解答即可；
（Ⅱ）弄清调动方向，再依据路程和运费列出y （元）与x （吨）的函数关系式，最后可以利用一次函数的增减性确定“最省的总运费”．
详解：（Ⅰ）设从甲库运往A 库粮食x 吨；
①从甲库运往B 库粮食（100﹣x ）吨；
②从乙库运往A 库粮食（1﹣x ）吨；
③从乙库运往B库粮食（20+x）吨；
故答案为（100﹣x）；（1﹣x）；（20+x）．
（Ⅱ）依题意有：若甲库运往A库粮食x吨，则甲库运到B库（100﹣x）吨，乙库运往A库（1﹣x）吨，乙库运到B库（20+x）吨．
则
1000
600
200
x
x
x
x
≥
⎧
⎪-≥
⎪
⎨
-≥
⎪
⎪+≥
⎩
，解得：0≤x≤1．
从甲库运往A库粮食x吨时，总运费为：
y=12×20x+10×25（100﹣x）+12×15（1﹣x）+8×20×[120﹣（100﹣x）]
=﹣30x+39000；
∵从乙库运往A库粮食（1﹣x）吨，∴0≤x≤1，此时100﹣x＞0，∴y=﹣30x+39000（0≤x≤1）．
∵﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y取最小值，最小值是2．答：从甲库运往A库1吨粮食，从甲库运往B库40吨粮食，从乙库运往B库80吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是2元．
点睛：本题是一次函数与不等式的综合题，先解不等式确定自变量的取值范围，然后依据一次函数的增减性来确定“最佳方案”．
21．（1）y＝x2﹣7x+1；（2）△ABC为直角三角形．理由见解析；（3）符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．
【解析】
【分析】
（1）先利用一次函数解析式得到A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先利用抛物线解析式确定C（1，﹣5），作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，证明△ABM和
△BNC都是等腰直角三角形得到∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝
，BN＝
，从而得到∠ABC
＝90°，所以△ABC为直角三角形；
（3）利用勾股定理计算出AC＝
，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到Rt△ABC的内切圆
的半径＝
，设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，
如图，则AI、BI为角平分线，BI⊥y轴，PQ为△ABC的外角平分线，易得y轴为△ABC的外角平分线，
根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI
×
＝4，
则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y＝2x﹣7，直线AP的解析式为y＝﹣1
2
x+13，
然后分别求出P、Q、G的坐标即可．【详解】
解：（1）把A（m，9）代入y＝x+1得m+1＝9，解得m＝8，则A（8，9），
把A（8，9），B（0，1）代入y＝x2+bx+c得
64+8+9
1
b c
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
-7
1
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣7x+1；
故答案为y＝x2﹣7x+1；
（2）△ABC为直角三角形．理由如下：
当x＝1时，y＝x2﹣7x+1＝31﹣42+1＝﹣5，则C（1，﹣5），
作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，如图，
∵B（0，1），A（8，9），C（1，﹣5），
∴BM＝AM＝8，BN＝CN＝1，
∴△ABM和△BNC都是等腰直角三角形，
∴∠MBA＝45°，∠NBC＝45°，AB＝，BN＝，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
（3）∵AB＝BN＝，
∴AC＝，
∴Rt△ABC的内切圆的半径＝
2
设△ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，∵I为△ABC的内心，
∴AI、BI为角平分线，
∴BI⊥y轴，
而AI⊥PQ，
∴PQ为△ABC的外角平分线，
易得y轴为△ABC的外角平分线，
∴点I、P、Q、G为△ABC的内角平分线或外角平分线的交点，
它们到直线AB、BC、AC距离相等，
BI×＝4，
而BI⊥y轴，
∴I（4，1），
设直线AI的解析式为y＝kx+n，
则
41 89
k n
k n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
2
7 k
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴直线AI的解析式为y＝2x﹣7，
当x＝0时，y＝2x﹣7＝﹣7，则G（0，﹣7）；
设直线AP的解析式为y＝﹣1
2
x+p，
把A（8，9）代入得﹣4+n＝9，解得n＝13，
∴直线AP的解析式为y＝﹣1
2
x+13，
当y＝1时，﹣1
2
x+13＝1，则P（24，1）
当x＝0时，y＝﹣1
2
x+13＝13，则Q（0，13），
综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，﹣7），（0，13）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）①3；②1.
【解析】
【分析】
（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出结论；
（2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=1°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接DO．
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，3，∴3，
∴22
AB AC
，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE=1
2
BC=3，
故答案为3；
②当∠B=1°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：∵∠ACB=90°，
∴∠A=1°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=1°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）AC与⊙O相切，证明参见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由于OC⊥AD，那么∠OAD+∠AOC=90°，又∠BED=∠BAD，且∠BED=∠C，于是
∠OAD=∠C，从而有∠C+∠AOC=90°，再利用三角形内角和定理，可求∠OAC=90°，即AC是⊙O的切线；（2）连接BD，AB是直径，那么∠ADB=90°，在Rt△AOC中，由于AC=8，∠C=∠BED，cos∠BED=，利用三角函数值，可求OA=6，即AB=12，在Rt△ABD中，由于AB=12，∠OAD=∠BED，cos∠BED=，
同样利用三角函数值，可求AD．
试题解析：（1）AC与⊙O相切．∵弧BD是∠BED与∠BAD所对的弧，∴∠BAD=∠BED，∵OC⊥AD，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠BED+∠AOC=90°，即∠C+∠AOC=90°，∴∠OAC=90°，∴AB⊥AC，即AC与⊙O相切；（2）连接BD．∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°，在Rt△AOC中，∠CAO=90°，∵AC=8，∠ADB=90°，cos∠C=cos∠BED=，∴AO=6，∴AB=12，在Rt△ABD中，∵cos∠OAD=cos∠BED=，
∴AD=AB•cos∠OAD=12×=．
考点：1.切线的判定；2.解直角三角形．
24．（1）
4
y
x
；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.
【解析】
【分析】
（1）求出OA=BC=2，将y=2代入1y x 32
=-
+求出x=2，得出M 的坐标，把M 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案.
（2）求出四边形BMON 的面积，求出OP 的值，即可求出P 的坐标.
【详解】
（1）∵B （4，2），四边形OABC 是矩形，
∴OA=BC=2. 将y=2代入1y x 32
=-
+3得：x=2，∴M （2，2）. 把M 的坐标代入k y x =得：k=4， ∴反比例函数的解析式是4y x
=； （2）AOM CON BMON OABC 1S S S S 422442∆∆=--=⨯-⨯
⨯=四边形矩形. ∵△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等， ∴1OP AM 42
⋅⋅=. ∵AM=2，
∴OP=4.
∴点P 的坐标是（0，4）或（0，－4）.
25．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①α+β＝90°；②成立，理由详见解析．
【解析】
【分析】
(1)作OH ⊥AB 于H ，根据线段垂直平分线的性质得到OD=OA ，OB=OC ，证明△OCE ≌△OBH ，根据全等三角形的性质证明；
(2)证明△OCD ≌△OBA ，得到AB=CD ，根据直角三角形的性质得到OE=
12
CD ，证明即可； (3)①根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；
②延长OE 至F ，是EF=OE ，连接FD 、FC ，根据平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质证明．
【详解】
(1)作OH ⊥AB 于H ，
∵AD 、BC 的垂直平分线相交于点O ，
∴OD=OA ，OB=OC ，
∵△ABO 是等边三角形，
∴OD=OC ，∠AOB=60°，
∵∠AOB+∠COD ＝180°
∴∠COD=120°，
∵OE 是边CD 的中线，
∴OE ⊥CD ，
∴∠OCE=30°，
∵OA=OB ，OH ⊥AB ，
∴∠BOH=30°，BH=12
AB ， 在△OCE 和△BOH 中，
OCE BOH OEC BHO OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△OCE ≌△OBH ，
∴OE=BH ，
∴OE=12
AB ； (2)∵∠AOB=90°，∠AOB+∠COD=180°，
∴∠COD=90°，
在△OCD 和△OBA 中，
OD OA COD BOA OC OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△OCD ≌△OBA ，
∴AB=CD ，
∵∠COD=90°，OE 是边CD 的中线，
∴OE=12
CD ，
∴
OE=12
AB ； (3)①∵∠OAD=α，OA=OD ，
∴∠AOD=180°﹣2α，
同理，∠BOC=180°﹣2β，
∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠AOD+∠COB=180°，
∴180°﹣2α+180°﹣2β=180°，
整理得，α+β=90°；
②延长OE 至F ，使EF=OE ，连接FD 、FC ，
则四边形FDOC 是平行四边形，
∴∠OCF+∠COD=180°，FC OA =，
∴∠AOB=∠FCO ，
在△FCO 和△AOB 中，
FC OA FCO AOB OC OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△FCO ≌△AOB ，
∴FO=AB ，
∴OE=12FO=12
AB ． 【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
26．（1）()20320416y x x =-+≤≤；（2）80米/分；（3）6分钟
【解析】
【分析】
（1）根据图示，设线段AB 的表达式为：y=kx+b ，把把（4，240），（16，0）代入得到关于k ，b 的二元
一次方程组，解之，即可得到答案，
（2）根据线段OA ，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点B 处追上甲，根据速度=路程÷时间，计算求值即可，
（3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案．
【详解】
（1）根据题意得：
设线段AB 的表达式为：y=kx+b （4≤x≤16），
把（4，240），（16，0）代入得：
4240160
k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：20320k b =-⎧⎨=⎩
， 即线段AB 的表达式为：y= -20x+320 （4≤x≤16），
（2）又线段OA 可知：甲的速度为：2404
=60（米/分）， 乙的步行速度为：()24016460
164
+-⨯-=80（米/分）， 答：乙的步行速度为80米/分，
（3）在B 处甲乙相遇时，与出发点的距离为：240+（16-4）×60=960（米），
与终点的距离为：2400-960=1440（米）， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：
144060
=24（分）， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：144080=18（分）， 24-18=6（分），
答：乙比甲早6分钟到达终点．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，正确掌握分析函数图象是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）2
【解析】
试题分析：（1）连接OB ，证PB ⊥OB ．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP=90°得证；
（2）连接OP ，根据切线长定理得直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得结果． （1）连接OB ．
∵OA=OB ，∴∠OBA=∠BAC=30°．
∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．
∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．
∴OB⊥PB．
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=1．
∴PA=OP2-OA2=2
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2．
考点：此题考查了切线的判定、切线长定理、含30度角的直角三角形的性质
点评：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．。