高一上期末数学习题

2021-2021学年贵州省黔南州高一〔上〕期末数学试卷
一、选择题〔本大
题共12小题，每题5分，共60分〕
1．〔5分〕集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q=〔〕
A．〔﹣1，2〕B．〔0，1〕C．〔﹣1，0〕
D．〔﹣1，3〕
2．〔5分〕函数f 〔〕2﹣2x+2在区间〔0，4]的值域为〔〕x=x
A．〔2，10]B．[1，10]C．〔1，10]D．[2，10]
3．〔5分〕〔log29〕?〔log34〕=〔〕
A．B．C．2D．4
4．〔5分〕在以下向量组中，可以把向量=〔3，2〕表示出来的是〔〕
A．=〔0，0〕，=〔1，2〕B．=〔﹣1，2〕，=〔5，﹣2〕
C．=〔3，5〕，=〔6，10〕D．=〔2，﹣3〕，=〔﹣2，3〕
5．〔5分〕函数f〔x〕=的定义域为〔〕
A．[1，10]B．[1，2〕∪〔2，10]C．〔1，10]D．〔1，2〕∪〔2，10]
6．〔5分〕为了得到函数y=sin〔2x﹣〕的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点〔〕A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
7．〔5分〕函数f〔x〕满足f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，当x∈〔﹣∞，1]时，函数f〔x〕单调递
减，设a=f〔﹣〕，b=f〔﹣1〕，c=f〔2〕，那么a、b、c的大小关系为〔〕
A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
8．〔5分〕假设O为△ABC所在平面内任一点，且满足〔﹣〕?〔+﹣2〕=0，那么△ABC
的形状为〔〕
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
9．〔5分〕设向量=〔cosx，﹣sinx〕，=〔﹣cos〔﹣x〕，cosx〕，且=t，t≠0，那么
sin2x
值〔〕
A．1 B．﹣
1C．±1D．0
10．〔5分〕函数y=Asin〔ωx+φ〕在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为〔〕
A．y=2sin〔2x+〕B．y=2sin〔2x+〕C．y=2sin〔﹣〕D．y=2sin〔2x﹣〕11．〔5分〕在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ〔+〕，||=2，||=1，假设=，=，那么用，表示为〔〕
A．+B．+C．+D．﹣
12．〔5分〕设函数f〔x〕的定义域为D，假设函数f〔x〕满足条件：存在[a，b]?D，使f〔x〕
在[a，b]上的值域是
[，]，那么
称
f〔x〕为“倍缩函数〞，假设函数
f〔x〕=log2〔2x+t〕为“倍缩
函数〞，那么实数t的取值范围是〔
〕
A．〔0，
〕B．〔﹣∞，〕C．〔0，]D．〔﹣∞，
]
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，
共20分〕
2
13．〔5分〕设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm，那么这个扇形的圆心角的弧度数是
．
14．〔5分〕假设tanα=﹣，那么sin2α+2sinαcos的α值为15．〔5分〕函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，假设对于．
x≥0，都有
f〔x+2〕=﹣
，
且当x∈[0，2〕时，f〔x〕=log2〔x+1〕，那
么f〔﹣2021〕+f〔2021〕=
．
16．〔5分〕函数〔〕，假设函
数F〔x〕=f〔x〕﹣3的所有零
点依次记为x1，x2，x3，，x n，且x
1＜x2＜x3＜＜x n，那
么x1+2x2+2x3++2x n﹣1+x n=
．
三、简答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕
17．〔10分〕集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，C={x|3a﹣2＜x＜4a﹣3}，假设C?A，求a的取值范围．
18．〔12分〕cosα=，cos〔α﹣β〕=，且0＜β＜α＜，
〔1〕求tan2α的值；
〔2〕求β．
19．〔12分〕〔x∈R，a∈R，a是常数〕，且〔其
中O为坐标原点〕．
〔1〕求函数y=f〔x〕的单调区间；
〔2〕假设时，f〔x〕的最大值为4，求a的值．
20．〔12分〕假设点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．
〔1〕求△ABM与△ABC的面积之比．
〔2〕假设N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．
21．〔12分〕某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原那么：奖金y〔单位：万元〕随年产值x〔单位：万元〕的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．
〔1〕假设某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5〔k为常数〕是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因〔lg2≈，lg5≈〕；
〔2〕假设采用函数f〔x〕=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
22．〔12分〕指数函数y=g〔x〕满足：g〔3〕=8，定义域为R的函数f〔x〕=是
奇函数．
〔1〕确定y=g〔x〕，y=f〔x〕的解析式；
〔2〕假设h〔x〕=f〔x〕+a在〔﹣1，1〕上有零点，求a的取值范围；
〔3〕假设对任意的t∈〔﹣4，4〕，不等式f〔6t﹣3〕+f〔t2﹣k〕＜0恒成立，求实数k的取值范围．
2021-2021学年贵州省黔南州高一〔上〕期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕
1．〔5分〕集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么
P∪Q=〔
〕
A．〔﹣1，2〕 B．〔0，1〕C．〔﹣1，0〕D．〔﹣1，3〕
【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，
那么P∪Q={x|﹣1＜x＜3}=〔﹣1，3〕．
应选：D．
2．〔5分〕函数f〔x〕=x2﹣2x+2在区间〔0，4]的值域为〔〕
A．〔2，10]B．[1，10]C．〔1，10]D．[2，10]
【解答】解：函数f〔x〕=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故函数f〔x〕=x2﹣2x+2在区间〔0，1]为减函数，在[1，4]上为增函数，故当x=1时，函数f〔x〕取最小值1；当x=4时，函数f〔x〕取最大值10；
故函数f〔x〕=x2﹣2x+2在区间〔0，4]的值域为[1，10]，应选：B．
3．〔5分〕〔log29〕?〔log34〕=〔〕
A．B．C．2 D．4
【解答】解：〔log2〕〔3〕
==．
9?log4=4
应选D．
4．〔5分〕在以下向量组中，可以把向量=〔3，2〕表示出来的是〔〕A．=〔0，0〕，=〔1，2〕B．=〔﹣1，2〕，=〔5，﹣2〕
C．=〔3，5〕，=〔6，10〕D．=〔2，﹣3〕，=〔﹣2，3〕
【解答】解：根据，
选项A：〔3，2〕=λ〔0，0〕+μ〔1，2〕，那么3=μ，2=2μ，无解，应选项A不能；
选项B：〔3，2〕=λ〔﹣1，2〕+μ〔5，﹣2〕，那么3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，应选项B能．
选项C：〔3，2〕=λ〔3，5〕+μ〔6，10〕，那么3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，应选项C不能．选项D：〔3，2〕=λ〔2，﹣3〕+μ〔﹣2，3〕，那么3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，应选项D不能．应选：B．
5．〔5分〕函数f〔x〕=的定义域为〔〕
A．[1，10]B．[1，2〕∪〔2，10]C．〔1，10]D．〔1，2〕∪〔2，10]
【解答】解：函数f〔x〕=有意义，
可得，
即为，
那么1＜x≤10，且x≠2，应选：D．
6．〔5分〕为了得到函数y=sin〔2x﹣〕的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点〔〕A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度
【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2〔x﹣〕=sin 2x﹣〕的图象，应选：D．
7．〔5分〕函数f〔x〕满足f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，当x∈〔﹣∞，1]时，函数f〔x〕单调递
减，设a=f〔﹣〕，b=f〔﹣1〕，c=f〔2〕，那么a、b、c的大小关系为〔〕
A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
【解答】解：由f〔1﹣x〕=f〔1+x〕，得函数关于x=1对称，
那么c=f〔2〕=f〔1+1〕=f〔1﹣1〕=f〔0〕，
∵当x∈〔﹣∞，1]时，函数f〔x〕单调递减，且﹣1＜﹣＜0，
∴f〔﹣1〕＞f〔﹣〕＞f〔0〕，
即c＜a＜b，应选：A
8．〔5分〕假设O为△ABC所在平面内任一点，且满足〔﹣〕?〔+﹣2〕=0，那么△ABC 的形状为〔〕
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：因为〔﹣〕?〔+﹣2〕=0，
即?〔+〕=0；又因为﹣=，
所以〔﹣〕?〔+〕=0，
即| |=| |，
所以△ABC是等腰三角形．
应选：A．
9．〔5分〕设向量=〔cosx，﹣sinx〕，=〔﹣cos〔﹣x〕，cosx〕，且=t，t≠0，那么sin2x
值〔〕
A．1 B．﹣1C．±1D．0
【解答】解：∵=t，t≠0，∴sinx?﹣cosxcosx=0，
化为：tanx=±1．
那么sin2x====±1．
应选：C．
10．〔5分〕函数y=Asin〔ωx+φ〕在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为〔〕
A．y=2sin〔2x+〕B．y=2sin〔2x+〕C．y=2sin〔﹣〕D．y=2sin〔2x﹣〕【解答】解：由可得函数y=Asin〔ωx+?〕的图象经过〔﹣，2〕点和〔﹣，2〕那么A=2，T=π即ω=2
那么函数的解析式可化为y=2sin〔2x+?〕，将〔﹣，2〕代入得
+?=+2kπ，k∈Z，
即φ=+2kπ，k∈Z，
当k=0时，φ=
此时
应选A
11．〔5分〕在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ〔+〕，||=2，||=1，假设=，=，那么用，表示为〔〕
A．+B．+C．+D．﹣
【解答】解：∵=λ〔+〕，
∴为∠ACB角平分线方向，
根据角平分线定理可知：=，
∴=．
∴=
=
=．
应选：A．
12．〔5分〕设函数f〔x〕的定义域为D，假设函数f〔x〕满足条件：存在[a，b]?D，使f〔x〕在[a，b]上的值域是[，]，那么称f〔x〕为“倍缩函数〞，假设函数f〔x〕=log2〔2x+t〕为“倍缩
函数〞，那么实
t的取值范围是〔〕
数
A．〔0，
〕B．〔﹣∞，〕C．〔0，]D．〔﹣∞，
]
【解答】解：∵函数f〔x〕=f〔x〕=log2〔2x+t〕为“倍缩函数〞，
且满足存在[a，b]?D，使f〔x〕在[a，b]上的值域是[，]，
∴f〔x〕在[a，b]上是增函数；
∴，
即，
∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，
设m==，那么m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；
∴，
解得：0＜t＜，
∴满足条件t的范围是〔0，〕，
应选：A．
二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕
13．〔5分〕设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是2．【解答】解：因为扇形的弧长l为4，面积S为4，
所以扇形的半径r为：r=4，r=2，那么扇形的圆心角α的弧度数为=2．
故答案为：2．
14．〔5分〕假设tanα=﹣，那么sin2α+2sinαcos的α值为．
【解答】解：∵tanα=﹣，
sin2α+2sinαcosα=
==．
故答案为：．
15．〔5分〕函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，假设对于x≥0，都有f〔x+2〕=﹣，
且当x∈[0，2〕时，f〔x〕=log2〔x+1〕，那么f〔﹣2021〕+f〔2021〕= 0．
【解答】解：对于x≥0，都有f〔x+2〕=﹣，
∴f〔x+4〕=﹣=﹣=f〔x〕，即当x≥0时，函数f〔x〕是周期为4的周期函数，
∵当x∈[0，2〕时，f〔x〕=log2〔x+1〕，
f〔﹣2021〕=f〔2021〕=f〔504×4+1〕=f〔1〕=log22=1，
f〔2021〕=f〔504×4+3〕=f〔3〕=f〔2+1〕=﹣=﹣1，
那么f〔﹣2021〕+f〔2021〕=﹣1+1=0，
故答案为：0．
16．〔5分〕函数〔〕，假设函数F〔x〕=f〔x〕﹣3的所有零
点依次记为x1，x2，x3，，x n，且x1＜x2＜x3＜＜x n，那么x1+2x2+2x3++2x n﹣1+x n=445π．【解答】解：令2x+ = +kπ得x= +，k∈Z，即f〔x〕的对称轴方程为x= +，k ∈Z．
∵f〔x〕的最小正周期为T=π，，
∴f〔x〕在〔0，〕上有30条对称轴，
∴x1+x2=2×，x2+x3=2×，x3+x4=2×，，x n﹣1+x n=2×，
将以上各式相加得：x+2x+2x++2x﹣+x×〔〕××
123n1n=2++++=2
30=445π．
故答案为：445π．
三、简答题〔共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕
17．〔10分〕集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，C={x|3a﹣2＜x＜4a﹣3}，假设C?A，求a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5＜0}={x|1＜x＜5}，C={x|3a﹣2＜x＜4a﹣3}，C?A，
∴当C=?时，3a﹣2≥4a﹣3，解得a≤1；
当C≠?时，a＞1，∴．
解得1＜a≤2．
综上所述：a的取值范围是〔﹣∞，2]．
18．〔12分〕cosα=，cos〔α﹣β〕=，且0＜β＜α＜，
〔1〕求tan2α的值；
〔2〕求β．
【解答】解：〔1〕由0＜β＜α＜，cosα=，可得sinα=，
∴tan=，那么tan2α==﹣；
〔2〕由cosα=，cos〔α﹣β〕=，且0＜β＜α＜，
得sin〔α﹣β〕==，
可得，cosβ=cos[α﹣〔α﹣β〕]=cosαcos〔α﹣β〕+sinαsin〔α﹣β〕=
∴．
19．〔12分〕〔x∈R，a∈R，a是常数〕，且〔其
中O为坐标原点〕．
〔1〕求函数y=f〔x〕的单调区间；
〔2〕假设时，f〔x〕的最大值为4，求a的值．
【解答】解：〔1〕∵〔x∈R，a∈R，a是常数〕，且
〔其中O为坐标原点〕，
f〔x〕=1+cos2x+sin2x+a=2sin〔2x+〕+a+1，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f〔x〕的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
〔2〕当时，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，f〔x〕取得最大值为
a+3=4，∴a=1．
20．〔12分〕假设点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．
〔1〕求△ABM与△ABC的面积之比．
〔2〕假设N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x +y，求x，y的值．
【解答】解〔1〕由，可知M、B、C三点共线．
如图令==，
∴，即面积之比为1：4．
〔2〕由，
，
由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线
21．〔12分〕某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企
业进行奖励，奖励方案遵循以下原那么：奖金y〔单位：万元〕随年产值x〔单位：万元〕的增
加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．
〔1〕假设某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5〔k为常数〕是否
为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因〔lg2≈，lg5≈〕；
〔2〕假设采用函数f〔x〕=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
【解答】解：〔1〕对于函数模型y=lgx+kx+5〔k为常数〕，
x=100时，y=9，代入解得k=，
所以y=lgx++5．
当x∈[50，500]时，y=lgx+ +5是增函数，但x=50时，f〔50〕=lg50+6＞，即奖金不超过
年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求；
〔2〕对于函数模型f〔x〕==15﹣
为正整数，函数在[50，500]递增；f〔x〕min=f〔50〕≥7，解得a≤344；
要使f〔x〕≤对x∈[50，500]恒成立，即a≥﹣2对x∈[50，500]恒成立，所以a≥315．
综上所述，315≤a≤344，
所以满足条件的最小的正整数a的值为315．
22．〔12分〕指数函数y=g〔x〕满足：g〔3〕=8，定义域为R的函数f〔x〕=是奇函数．
〔1〕确定y=g〔x〕，y=f〔x〕的解析式；
〔2〕假设h〔x〕=f〔x〕+a在〔﹣1，1〕上有零点，求a的取值范围；
〔3〕假设对任意的t∈〔﹣4，4〕，不等式f〔6t﹣3〕+f〔t2﹣k〕＜0恒成立，求实数k的取值
范围．
【解答】〔本小题12分〕
〔1〕设g〔x〕=a x〔a＞0且a≠1〕，∵g〔3〕=8，∴a3=8，解得a=2．∴，
∵函数f〔x〕是定义域为R的奇函数，∴f〔0〕=0，∴=0，∴n=1，∴又f〔﹣1〕=f〔1〕，∴=，解得
m=2∴
．〔3分〕
〔2〕由〔1〕知
，
易知f〔x〕在R上为减函数，〔4分〕
又h〔x〕=f〔x〕+a在〔﹣1，1〕上有零点，
从而h〔﹣1〕h〔1〕＜0，即，〔6分〕∴〔a+〕〔a﹣〕＜0，
∴﹣＜a＜
，
∴a的取值范围为〔﹣
，〕；〔8分〕
〔3〕由〔1〕知
，
又f〔x〕是奇函数，∴f〔6t﹣3〕+f〔t2﹣k〕＜0，∴f〔6t﹣3〕＜﹣f〔t2﹣k〕=f〔k﹣t2〕，
f〔x〕在R上为减函数，由上式得6t﹣3＞k﹣t2，〔10分〕即对一切t∈
〔﹣4，4〕，有t2+6t﹣3＞k恒成立，
令m〔t〕=t2+6t﹣3，t∈〔﹣4，4〕，易知m〔t〕＞﹣12，〔11分〕∴k ＜﹣12，即实数k的取值范围是〔﹣∞，﹣12〕．〔12分〕。