初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析
一、选择题
1．解方程:22310x y x y ⎧-=-⎨++=⎩
【答案】12x y =⎧⎨
=-⎩
【解析】
【分析】
本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．
【详解】 解：()()
2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）
把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-
∴2y =-
∴1x =
原方程组的解是12x y =⎧⎨
=-⎩
【点睛】
本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．
2．解方程组：2256021
x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩ ①② 【答案】12216113,1113x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩
【解析】
【分析】
把①方程变形为(6)()0x y x y +-=，从而可得60x y +=或0x y -=，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.
【详解】
方程①可变形为(6)()0x y x y +-=，
得60x y +=或0x y -=，
将它们与方程②分别组成方程组，得：
（Ⅰ）6020x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021
x y x y -=⎧⎨-=⎩ ， 解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，11x y =⎧⎨=⎩ .
3．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1
⎧--=⎨+=⎩ 【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩
【解析】
【分析】
把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩
即可． 【详解】
由22
x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，
x 3y 3∴-=，
解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．
4．解方程组
【答案】原方程组的解为：
，
【解析】
【分析】
把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.
【详解】
解：
把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，
x 2+4x =0，
解得：x =-4或x =0，
当x =-4时，y =-3，
当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】
本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.
5．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩
【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.
【详解】
解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩
， 由（1），得21y x =+（3），
把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，
解这个方程，得121,4x x ==，
把11x =代入（3），得13y =，
把24x =代入（3），得29y =，
所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，22
49x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.
6．解方程组：22+2-0110
x y x y ⎧=⎨-+=⎩ 【答案】：2112113,02
3x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
把(2)変形后代入(1)便可解得答案
【详解】
22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①②
由②得:x=y-1
代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
， 故原方程组的解为：2112113,02
3x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【点睛】
此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
7．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩
． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，2
2553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
． 【解析】
【分析】
先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．
【详解】
由②得：()()30x y x y -+=；
所以，0x y -=或30x y +=；
整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩
；
解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，2
2553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
； 【点睛】
本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．
8．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?
【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元
【解析】
【分析】
根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．
【详解】
解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.
根据题意 ，可列方程组
()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩
解得：1212800800,2020
x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
9．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩
【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即
可.
【详解】
22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②
, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），
∴x-y+2=0或x+y=0，
原方程组转化为以下两个方程组：
（i ）22208
x y x y -+=⎧⎨+=⎩或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，
33
22x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩, 所以，原方程组的解是:
12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪
⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.
10．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩
【答案】123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．
【详解】
∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y)2 =9，
解得：y 1=
32 ,y 2 =−32
； ②当x≠0，x+y=0时，
∵x+2y=±3，
解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩
. 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】
此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
11．解方程组：222232()
x y x y x y ⎧-=⎨-=+⎩. 【答案】111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；33125
2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 【解析】
分析：
把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.
详解：
由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；
则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.
x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ）， 解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩
， 解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩
， ∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.
12．解方程组222221690
x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
【详解】
解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩
①② 由①，得(x ﹣y )2＝16，
所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．
由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，
即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0
所以原方程组可化为：
430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430
x y x y -=-⎧⎨-=⎩ 解这些方程组，得
1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨
=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.
13．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩
①②． 【答案】1141x y =⎧⎨
=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.
【详解】
解：由②得()()310x y x y ---+=，
得30x y --=或10x y -+=，
原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨
=⎩ ，22
23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.
14．()()22244922120
x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩ 【答案】117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【详解】
解：(
)()22244922120x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩①② 将①因式分解得：2(2)9x y -=，
∴23x y -=或23x y -=-
将②因式分解得：(24)(23)0x y x y +-++=
∴240x y +-=或230x y ++=
∴原方程化为：23240x y x y -=⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=⎧⎨++=⎩或23240x y x y -=-⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=-⎧⎨++=⎩
解上述方程组得：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩
∴原方程组的解为：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
15．已知方程组222603
x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的
解.
【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨
=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；
【详解】 解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①②
把②代入①后计算得()222112120m x mx +++=，
∵方程组有两组相等的实数解，
∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，
解得：1m =±，
当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩
当1m =-时，解得21x y =⎧⎨
=⎩ 【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．
16．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②
【答案】5{
5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求
解即可.
【详解】
2220{25x xy y x y --=+=①②
由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，
∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25
x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21
x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5
{5x y ==-或21
x y =⎧⎨=⎩.
17．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩
【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；33
22x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩
解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩
解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，33
22x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.
18．（探究证明）
(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，
H.，求证：
=EF AD GH AB
； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM
； （联系拓展）
(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM
的值．
【答案】（1）证明见解析；(2)11
15
；（3）
4
5
.
【解析】
分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质
证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BN
AM
；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点
A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.
详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，
∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.
∴AP AD
BQ AB
＝，∴
EF AD
GH AB
＝.
(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，
∴由(1)的结论可得EF AD
GH AB
＝，
BN AD
AM AB
＝，
∴
11
15 BN EF
AM GH
＝＝.
(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．
∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB
＝．
设SC ＝x ，DS ＝y ，则AR ＝BS ＝5＋x ，RD ＝10﹣y ，
∴在Rt △CSD 中，x 2＋y 2＝25①，
在Rt △ARD 中，(5＋x )2＋(10﹣y )2＝100②，
由②﹣①得x ＝2y ﹣5③，
222525x y x y ⎧⎨-⎩
＋＝＝，解得34x y ⎧⎨⎩＝＝，50x y -⎧⎨⎩＝＝(舍)， 所以AR ＝5＋x ＝8，则84
105
DN AR AM AB ＝＝＝.
点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.
19．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.
【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%
【解析】
【分析】
设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.
【详解】
解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.
根据题意 ，可列方程组
()()(
)()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩ 解得：x=12,y=0.2
答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%.
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.
20．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm，故杆顶着地处比前次远10dm，求此杆的高度．
【答案】此竿高度为50dm
【解析】
【分析】
由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB的高为x dm，余下部分BC长为y dm，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．
【详解】
解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm，余下部分为BC为ydm．
由题意得
222
222
20; (5)(5)30.
y x
y x
⎧=+
⎨
+=-+
⎩
解得
21
29 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
此杆的高度为x+y=21+19=50 dm
答：此竿高度为50dm
【点睛】
本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．。