线性代数期末复习提纲

★ 线性代数基本内容、方法及要求
第一部分 行列式
【主要内容】
1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则
2、排列与逆序
3、方阵的行列式
4、几个重要公式：（1）T A A =； （2）A
A 11=-； （3）A k kA n =； （4）1*-=n A A ； （5）
B A AB =； （6）B A B
A B A ==0**0； （7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n
i ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n j ij ij ，，01
（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）
5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；
（2）利用行列式的展开定理降阶；
（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值
【要求】
1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。

2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。

3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。

4、会计算简单的n 阶行列式。

5、知道并会用克莱姆法则。

第二部分 矩阵
【主要内容】
1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。

2、方阵的行列式
3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。

4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。

⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。

⇔0=AX 只有零解
⇔b AX =有唯一解
⇔A 的行（列）向量组线性无关 ⇔A 的特征值全不为零。

⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。

⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。

6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。

7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。

【要求】
1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对
称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。

2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。

3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。

4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。

5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。

第三部分 向量组的线性相关性
【主要内容】
1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b ，向量组A ：n ααα,,,21 ，向量组B ：
m βββ,,,21 ，则
（1）向量b 可被向量组A 线性表示⇔),,,,(),,,(2121b R R n n αααααα =
（2）向量组B 可被向量组A 线性表示
⇔),,,,,,,(),,,(212121m n n R R βββαααααα =
（3） 向量组A 与向量组B 等价的充分必要条件是：
),,,,,,,(),,,(),,,(21212121m n m n R R R βββαααβββααα ==
（4）基本题型：判断向量b 或向量组B 是否可由向量组A 线性表示？如果能，写出表达式。

解法：以向量组A ：n ααα,,,21 以及向量b 或向量组B :m βββ,,,21 为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。

2、向量组的线性相关性
判别向量组s ααα,,,21 的线性相关、线性无关的常用方法：
方法一：（1）向量方程02211=+++s s k k k ααα 只有零解⇔向量组s ααα,,,21
线性无关；
（2）向量方程02211=+++s s k k k ααα 有非零解⇔向量组s ααα,,,21 线
性相关。

方法二：求向量组的秩),,,(21s R ααα
（1）秩),,,(21s R ααα 小于个数s ⇔向量组s ααα,,,21 线性相关
（2）秩),,,(21s R ααα 等于个数s ⇔向量组s ααα,,,21 线性无关。

（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，
则向量组线性无关⇔以向量组s ααα,,,21 为列向量的矩阵的行列式非零；
向量组线性相关⇔以向量组s ααα,,,21 为列向量的矩阵的行列式为零。

3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）
及其求法。

基本题型：判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。

4、等价向量组的定义、性质、判定。

5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。

【要求】
1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。

2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。

3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。

4、了解向量空间及其基和维数的概念。

第四部分 线性方程组
【主要内容】
1、齐次线性方程组0=Ax 只有零解⇔系数矩阵A 的秩=未知量个数n ；
2、齐次线性方程组0=Ax 有非零解⇔系数矩阵A 的秩<未知量个数n .
3、非齐次线性方程组b Ax =无解⇔增广矩阵),(b A B =秩≠系数矩阵A 的秩；
4、非齐次线性方程组b Ax =有解⇔增广矩阵),(b A B =秩=系数矩阵A 的秩 特别地，1）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩=未知量个数n ⇔
非齐次线性方程组b Ax =有唯一解；
2）增广矩阵),(b A B =的秩=系数矩阵A 的秩< 未知量个数n ⇔非齐次
线性方程组b Ax =有无穷多解。

【要求】
1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，
2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。

3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。

4、会求解非齐次线性方程组。

第五部分 相似矩阵及二次型
【主要内容】
1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。

2、向量的正交关系及正交向量组的含义。

3、施密特正交化方法。

4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。

（1）特征值求法：解特征方程0=-E A λ；
（2）特征向量的求法：求方程组()0=-X E A λ的基础解系。

5、相似矩阵的定义（B AP P =-1）、性质(B A ,相似)()(B R A R =→、B A =、B
A ,有相同的特征值)。

6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩
阵。

7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:（将实对称矩阵对角化）
（1）写出二次型的矩阵A .
（2）求出A 的所有特征值n λλλ,,,21
（3）解方程组0)(=-X A E i λ（n i ,,2,1 =）求对应于特征值n λλλ,,,21 的特
征向量n ξξξ,,,21
（4）若特征向量组n ξξξ,,,21 不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交
的向量组n ηηη,,,21 ，记),,,(21n P ηηη =，对二次型做正交变换Py x =,即得二次型的标准形2
222211n n y y y f λλλ+++=
8、正定二次型的定义及其判定方法
常用判定二次型正定的方法：（1）定义法
（2）特征值全大于零
（3）顺序主子式全大于零
【要求】
1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。

2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，
3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。

4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。

5、知道正定二次型的概念及其判定方法。

★★线性代数练习题
一、单项选择题
1、行列式2
108340
21--中，元素22a 的代数余子式是
（A ） 200
1 （B ） 2001-- （C ） 2001- （D ） 20
01
-
2、二阶行列式22
b b a a 的值为
(A)33b a (B) )(a b ab - (C)33b a - (D)22b a -
3、设行列式01
11021
2=-k k ，则k 的取值为（ ）
（A ）2 （B ）-2或3 （C ）0 （D ）-3或2
4、若行列式32132
1321
c c c b b b a a a =1，则321
321321a a a b b b c c c = （A ）1 （B ）2 （C ）0 （D ）1-
5、设a ，b ，c ，d 为常数，则下列等式成立的是
（A ）d b c a b a d c b a ++=2221 （ B ） 1
11111d b c a d c b a +=++ （C ） d c b a d c b a 22222= （D ） 1
11111d b c a cd ab = 6、设n 阶行列式D =n
ij
a ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中 正确的是
(A) 01=∑=n i ij ij A a
(B) 01=∑=n
j ij ij A a (C) D A a
n j ij ij =∑=1 (D) D A a n
i i i =∑=121 7、设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列各式成立的是
（A ） T T T A B AB =)( (B)111)(---=B A AB
(C)BA AB = (D) B A B A +=+
8、设A 为3阶方阵，且行列式1=A ，则=-A 2
(A)-8 (B)-2 (C) 2 (D)8
9、设B A ,为n 阶方阵且满足O AB =，则
(A) O A =或O B = (B) O B A =+ (C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A
10、设B A ,为n 阶可逆方阵，则下列各式必成立的是
（A ）T T T B A AB =)( （B ）B A AB =
（C ）111)(---+=+B A B A （D ）*1A A A =-
11、设矩阵()321=A ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=201B ，则=BA
(A) ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛642000321 (B)⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛601
(C)（1,0,6） (D) 7 12、设行矩阵()321,,a a a A =, ()321,,b b b B =， 且⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=22
431
012
1B A T 则=T AB
（A ） 1 （B ） -1 （C ） 2 （D ） -2 13、下列命题正确的是 B .
（A ）若矩阵B A ,满足O AB =，则有O A =或O B =
（B ）若矩阵B A ,满足E AB =，则矩阵B A ,都可逆。

（C ）若*
A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则n
A A =*
（D ）若O A ≠，则0≠A
14、设B A ,为三阶矩阵, 2=A ,4
1=
B , 则1
)(2-BA = (A) 4 (B) 1 (C) 16 (D) 2
1 15、下列说法不正确的是
(A ）相似矩阵有相同的特征值。

(B ）n 阶矩阵可对角化的充要条件是它有n 个不同的特征值。

(C ）n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充要条件是n A R <)(。

（D ）正交的向量组一定是线性无关的。

16、n 维向量组)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是
(A) 存在一组不全为零的数s k k k ,,21使02211≠++s s k k k ααα
(B)
s ααα ,,21中任意两个向量线性无关
(C)
s ααα ,,21中存在一个向量可由其它向量线性表出 (D)
s ααα ,,21中任何一个都不能由其它向量线性表出
17、向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=15312α，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=41
233α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=210624α的秩为 . （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
18、设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则分块矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛00
B A 的逆矩阵是 . （A ）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--00
1
1B A （B ）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--1100A B （C ）⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--001
1A B （D ）⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--1100B A
19、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10211a A ，⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=11031b B ，且T
B A =，则
(A) 2,1==b a (B) 0,3==b a
(C) 2,3==b a (D) 0,1=-=b a 20、设A 可逆，则B XA =的解是
(A) AB (B) BA (C) B A 1- (D) 1
-BA
21、下列说法正确的是( )。

(A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。

(B) 设方阵A 是非奇异性的，A 经过初等行变换得到阶梯阵B ，则方阵B 为奇异的。

(C) 初等矩阵都是可逆的。

(D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。

22、设A ，B 都是可逆矩阵，则AB 的逆是
（A ） AB （B ） BA （C ） 11--B A （D ） 11--A B
23、设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000010001A ，则=)(A r (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
24、设A 是n 阶方阵,若2)(-=n A R ,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) n 25、二次型2
2212
12x x x x f +-= 的矩阵是
(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021 (B)
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--1111 (C) ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-000010021 (D) ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--000011011 二、填空题
1. 五阶行列式的展开式共有 项.
2.行列式3
1
7
045
211
--中元素32a 的余子式32M =__________ 3.四阶行列式 0
04003002
001
00 的值是 4.矩阵⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-0132⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-31中的元素21c =__________ 5.若A ，B 为n 阶矩阵，则))((B A B A -+=__________
6.设B A ,为3阶方阵，且2,4==B A ，则 =-)(21
*A B
7.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=300220111A ，则=A A T
8.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=c b a A 000000，则=n
A
9.若A 是可逆矩阵，则1
)(-'A =__________
10.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=12
0033000010
0021
A ，则=-1
A
11．设A ，B 是两个可逆矩阵，则分块矩阵=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-1
00B A
12．设矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=k k k k
A 1
11111111
111的秩3)(=A R ，则=k 13．若向量组321,,ααα线性无关，且0332211=++αααk k k ，则数=321,,k k k
14.向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1113ξ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1214ξ中不能由其余向量线性表示的是
15.向量组)0,0,1(),4,3,2(),1,0,1(321==-=ααα的秩为____________
16．在线性方程组O AX =中，若未知量的个数n =5，3)(=A r ，则方程组的一般解中
自由未知量的个数为_________
17．设4元线性方程组b AX =的系数矩阵的秩为3，且⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432,432121ηη为其两个解，
则b AX = 的通解为
18．设向量组321,,a a a 线性无关，则向量组32121
1,,a a a a a a +++ （填线
性相关，线性无关）。

19．设n 元线性方程组b AX =有解，则当)(A R 时，b AX =有无穷多解。

20．若3阶方阵A 的特征值分别为1，-1，2，则E A B +=的特征值为
21．已知n 阶矩阵A 的特征值n λλλ ,,21都不为零，则1
-A 的特征值为
22．设向量组
()T 53011=α，()T 31212=α，()T 62113=α，
()T 2114λα=线性相关，则=λ
23.若向量⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=43
21α与向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=302k β正交，则=k 24．已知三阶矩阵A 的特征值为1,1,0321-===λλλ，其对应的特征向量分别是
][,,,123321ξξξξξξ=P 取，则=-AP P 1
25.若方阵A 与⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=200514321B 相似，则A 的特征值为___________
26．若矩阵⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-x 123122与⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛4321相似,则=x 27．若二次型31212
32221321222),,(x x x tx x x x x x x f +-++=是正定的,则t 应满足的条件
是 三、计算题
1、计算行列式4
31142
21
--
2、设⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210321B ，求AB 。

3、已知I XA =且⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=311112101A ，求矩阵X 。

4、设T
XX A AB +=，其中⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111111111111B ,X
求矩阵A
5、求⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=823213104251321
A 的秩。

6、求方阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----=02021
2022A 的特征值与特征向量。

7、求向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1212α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103α，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2314α，的一个极大无关组。

8、已知向量组()T
1,2,0,11-=α，()T
1,0,2,12=α ，()T 1,1,1,03-=α，()T
0,1,1,14=α，
()T 0,4,2,35=α，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。

9、判断线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+=++=++2
232131
321321kx x x x x x x x ，当k 为何值是有解？
10、设线性方程组b AX =的一般解为⎩⎨
⎧=++=4
243121
2x x x x x ，43,x x 为自由变量，
求b AX =的通解。

11、设A 为3×4矩阵，2)(=A R ，若非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解分别为：
1η ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-11354，
求： （1）齐次线性方程组0Ax =的通解；
（2）非齐次线性方程组Ax b =的通解.
12、求一个正交变换Py x =，把下面的二次型化为标准形
322
322213214332),,(x x x x x x x x f +++=
四、证明题
1．设I A =2
，I AA T
=，证明：A 是对称矩阵。

2. 证明：若向量x 是方阵A 的同时属于特征值21λλ与的特征向量，则有21λλ=
3．设λλ12,是n 阶方阵A 的不同特征值，X X 12,分别是A 的对应于λλ12,的特征向量，
证明：X X 12+不是A 的特征向量.
4．证明：若矩阵B 相似于A ，则A E B E -=-λλ
线性代数模拟试题答案
一、单项选择题
1、A
2、B
3、B
4、D
5、B
6、C
7、A
8、A
9、C 10、B 11、A 12、C 13、B 14、C 15、B 16、D 17、C 18、C 19、C 20、D 21、C 22、D 23、B 24、C 25、B 二、填空题
1、 5!
2、10-
3、24
4、1
5、2
2
B BA AB A -+-
6、8
7、⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1451551111 8、⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=n n n n
c b a A 0
000
00 9、)(1'-A 10、⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1320013100001000
21 11、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--11B A 12、3- 13、0321===k k k 14、⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1113ξ 15、3 16、2
17、⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43211111k （注：
此题答案不唯一） 18、线性无关 19、小于n 20、3,0,2 21、1
1211,,---n λλλ 22、2 23、5
24、⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-011 25、3,3,2- 26、17- 27、 11<<-t
三、计算题
1、解：51
0045
00
214
5
01000214
31142
021
=--=-=--
2、解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛210321=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛000210741 3、解：0≠A
1-∴A 存在，用1-A 右乘方程I XA =两边，得1-=A X
又⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100311010112001101 ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→113100125010114001
所以，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=-1131251141
A
4、解：()111111-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T
XX =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111111111 及⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=111111111B
∴1
)(--E B 存在，且⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-------=--11111111121)(1E B
将已知等式T
XX A AB +=整理得：1)(--=E B XX A T
所以⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=11111111121A
5、解：对矩阵A 施行初等行变换得，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=823213104251321A
→
→ ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→00000133600513
21
所以2)(=A r
6、解：矩阵A 的特征多项式为： 2)1)(3(14
2
252
001λλλ
λλ
λ--=-------=-E A
令0=-E A λ，解得A 的特征值为：
.1,3321===λλλ
当31=λ时，求解齐次线性方程组0)3(=-x E A 的基础解系，由
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-4422220023E A →→ ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-000110001
得对应的方程组为⎩⎨⎧==-00
132x x x ,从而解得基础解系⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1101p
于是属于特征值31=λ的全部特征向量为1kp ，其中k 为任意非零常数。

当132==λλ时，求解齐次线性方程组0)(=-x E A 的基础解系， 由
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-242242000E A →→ ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-000000121
得对应的方程组为 02321=+-x x x , 从而解得基础解系 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01232p p
于是属于特征值132==λλ的全部特征向量为 32lp kp +， 其中数l k ,是不同时为零的任意常数。

7、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得，
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=211031211011),,,(4321αααα→→ ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--000021101011 所以，所求向量组的极大无关组为：21,αα。

8、解：记矩阵()54
321
a a a a a A =，对其进行初等变换得
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--=00
111411022112031011A →→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛10
00000000211203101
1 由最后一个矩阵可知3)(=A R
从而所求向量组的秩为3 ，
又因为非零行非零首元所在的列依次为1，2，5列
所以521,,a a a 为其中一个极大无关组（531,,a a a 或541,,a a a 也对）
9、解：已知方程组的增广矩阵为：⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=20231211111k A 对A 施行初等行变换得：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20231211111k A →→ ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-42002010111
1k
所以当02≠-k ，即2≠k 时，方程组有解。

10、解： 已知方程组对应的齐次线性方程组0=AX 的一般解为⎩⎨
⎧=+=4
24
3122x x x x x
（43,x x 为自由变量）
令0,143==x x 得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=01021η；令1,043==x x 得：⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10212η；
则21,ηη为齐次方程组0=AX 的基础解系；
再令043==x x ，得非齐次方程组b AX =的特解：⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=00010X
所以b AX =的通解为：02211X k k X ++=ηη 。

11、 解：（1）由已知条件可知，齐次方程组0=AX 含基础解系个数为 2个向量，
因为1η ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-11354，为非齐次方程组
b AX =的解，
所以)(),(1312ηηηη--为齐次方程组0=AX 的解
又因为)(),(1312ηηηη--线性无关
所以0=AX 的通解为：)()(132121ηηηη-+-k k
（2）由（1）及非齐次方程组解的结构，不难得知：非齐次方程组b AX =的通解为：
3132121)()(ηηηηη+-+-k k
（注：此题答案不唯一）
12、 解：已知二次型的矩阵为：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=320230002A
A 的特征多项式为：=
-||E A λ=---λ
λλ
3202300
02)1)(5)(2(λλλ--- 令0||=-E A λ得A 特征值：5,2,1321===λλλ
当11=λ时 ，解方程组0)(=-x E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101ξ，单位化得⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=212101
η
当22=λ时， 解方程组0)2(=-x E A , 得基础解系⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=0012η
当53=λ时， 解方程组0)5(=-x E A ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103ξ，单位化得⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=212103
η
令矩阵⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=2102
121021010P 则P 为正交矩阵，于是所求正交变换为：Py x =，就是此变换把二次型化为标准形
2
3222152y y y f ++=
四、证明题
1. 证明：因为I A =2
， 所以0≠A ，从而1
-A 存在
又因为I A A ='，所以0)(='-A A A
用1
-A 左乘等式0)(='-A A A 两边得，A A '=
故A 是对称矩阵。

2. 证明： 若 21λ≠λ 则由 x λAx x
λAx 21==
可知： 0)(21=-x λλ
又因为 21λ≠λ 所以0=x ，这与x 为特征向量矛盾
所以21λλ=
3．证明：假若X X 12+是矩阵A 的属于特征值λ特征向量，即
212121)()(X X X X X X A λλλ+=+=+
因为X X 12,分别是A 的对应于λλ12,的特征向量，
所以X X 12,线性无关，并且
111X AX λ=，222X AX λ=
所以 221121X X X X λλλλ+=+，即
0)()(2211=-+-X X λλλλ
于是 21λλλ==，这与λλ12,不同矛盾。

4．证明：因为矩阵B 相似于A ，
所以 B AP P =-1
从而 AP P EP P B E 1
1---=-λλ
P A E P )(1-=-λ
P A E P -=-λ1A E -=λ。