新初中数学方程与不等式之分式方程全集汇编及答案(1)

新初中数学方程与不等式之分式方程全集汇编及答案(1)
一、选择题
1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A ．
10x -102x =20 B ．
102x -10x
=20 C ．
10x -102x =13
D ．
102x -10x =13
【答案】C 【解析】 【分析】
根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】 由题意可得，
10x -102x =13， 故选：C ． 【点睛】
此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
2．若数a 使关于x 的分式方程
2311a x x x
--=--有正数解，且使关于y 的不等式组211
42
y a y y a ->-⎧⎪
⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2． 【详解】 解方程
2
311a x x x --=--，得： 12
a x +=，
∵分式方程的解为正数，∴1
a+>0，即a>-1，
又1
x≠，
∴
1
2
a+
≠1，a ≠1，
∴a>-1且a≠1，
∵关于y的不等式组
21
1
4
2
y a y
y a
->-
⎧
⎪
⎨
+
⎪⎩…
有解，
∴a-1<y≤8-2a，
即a-1<8-2a，
解得：a<3，
综上所述，a的取值范围是-1<a<3，且a≠1，
则符合题意的整数a的值有0、2，有2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．
3．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，
由题意得：，
故选B.
【点睛】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．
4．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a，则数
a使关于x的不等式组
()
1
2421
2
21
2
3
x a
x
x
⎧
--≤
⎪⎪
⎨
-
⎪<+
⎪⎩
至少有四个整数解，且关于x的分式方程
2
33
a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．
29
B ．
13
C ．
49
D ．
59
【答案】C 【解析】 【分析】
先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】
解不等式组得：7x a
x ≤⎧⎨>-⎩
， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3， 解得：x ＝
52
a - ， ∵分式方程有非负整数解， ∴a ＝5、3、1、﹣3，
则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个， ∴P ＝
49
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．
5．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ） A ．30007200
4030
x x -=+ B ．72003000
4030x x -=+ C ．
72003000
4030x x -=+ D ．
30007200
4030x x
-=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．
【详解】
设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：
72003000
4030x x -=+ 故选：C 【点睛】
本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．
6．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()2
2
240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程
1
311y a y y
+-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
由一元二次方程()2
2
240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程
1
311y a y y
+-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】
方程()2
2
240x a x a --+=有实数解，
∴△=4(a −4)2−4a 2⩾0， 解得a ⩽2
∴满足条件的a 的值为−4，−2，−1，0，1，2 方程
1
311y a y y
+-=-- 解得y=
2
a
+2 ∵y 有整数解 ∴a=−4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a 的值为−4，0，2， 符合条件的a 的值的和是−2 故选：C 【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
7．风筝会期间,几名同学租一辆面包车前去观看开幕式,面包车的租价为180元,出发时又增加两名同学,结果每人比原来少摊了3元钱车费，设前去观看开幕式的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180180
32
x x -=+ B ．180180
32x x -=+ C ．
180180
32x x -=- D ．
180180
32x x
-=- 【答案】D 【解析】 【分析】
先用x 表示出增加2名同学前和增加后每人分摊的车费钱，再根据增加后每人比原来少摊
了3元钱车费列出方程即可. 【详解】
解：设前去观看开幕式的同学共x 人，根据题意，得：180180
32x x
-=-. 故选：D. 【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是弄清题意、找准等量关系，易错点是容易弄错增加前后的人数.
8．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）
A ．
15151
12x x -=+ B ．
1515112
x x -=+ C ．
15151
12
x x -=- D ．
1515112
x x -=- 【答案】B 【解析】 【分析】
设小李每小时走x 千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可． 【详解】
解：设小李每小时走x 千米，依题意得：
1515112
x x -=+ 故选B ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．
9．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( )
A ．24002400
8(120%)x x -=+ B ．
24002400
8(120%)x x -=+ C ．
24002400
8(120%)x x
-=- D ．24002400
8(120%)x x
-=- 【答案】A 【解析】 【分析】
求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8． 【详解】
原计划用的时间为：2400
x ，实际用的时间为：()2400120%x +．所列方程为：
2400
x
-()2400120%x +=8．
故选A 【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．
10．关于x 的分式方程23
0+=-x x a
解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a =
C ．4a =
D ．10a =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可． 【详解】
解：把x=4代入方程
230+=-x x a
，得 23044a +=-， 解得a=10．
经检验，a=10是原方程的解 故选D ．
点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为0．
11．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（）
A．32
1
2
x x
+=
-
B．
322
1
2
x x x
++=
-
C．
3+22
1
2
x x
+=
-
D．
311
2()1
2
x x x
++=
-
【答案】A
【解析】
【分析】
设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．
【详解】
解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根
据题意，得：52
1
2
x x
+=
-
；
A、32
1
2
x x
+=
-
，与上述方程不符，所以本选项符合题意；
B、322
1
2
x x x
++=
-
可变形为
52
1
2
x x
+=
-
，所以本选项不符合题意；
C、3+22
1
2
x x
+=
-
可变形为
52
1
2
x x
+=
-
，所以本选项不符合题意；
D、311
2()1
2
x x x
++=
-
的左边化简得
52
1
2
x x
+=
-
，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
12．为保证某高速公路在2019年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用30天，如果甲乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务．若设规定的时间为x 天，由题意可以列出的方程是（）
A．
111
103020
+=
--+
x x x
B．
111
103020
+=
++-
x x x
C ．
111
103020-=++-x x x D ．
111
102030
+=-+-x x x 【答案】B 【解析】 【分析】
设规定的时间为x 天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+30）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前20天完成任务，列方程为111
103020
+=++-x x x . 【详解】
设规定时间为x 天，则 甲队单独一天完成这项工程的1
10
+x ， 乙队单独一天完成这项工程的
1
30
x +， 甲、乙两队合作一天完成这项工程的
1
20
x -. 则
111
103020+=++-x x x . 故选B. 【点睛】
此题考查分式方程，解题关键在于由实际问题抽象出分式方程.
13．“绿水青山就是金山银山”某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则下面所到方程中正确的是（ ）
A ．
()006060-30x 125x =+ B ．
()6060
-30125%x x
=+ C ．()60125%60
-30x x
⨯+=
D ．
()60125%60-30x x
⨯+= 【答案】A 【解析】 【分析】
根据实际工作时每天的工作效率比原来计划提高了25%，结果提前30天完成了这任务，可
列出方程． 【详解】
解：设原计划工作时每天绿化面积为x 万平方米，则根据题意可得：
()00606030125x x
-=+， 故答案为：A ． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
14．九年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）
A ．
1010253x x -= B ．
1010
253x x
-= C ．
10105312
x x -= D ．
10105312
x x -= 【答案】D 【解析】 【分析】
设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x,先分别表示出骑自行车学生和乘汽车学生所用时间，然后根据题中所给的等量关系,即可列出方程． 【详解】
解：设骑车学生的速度为x 千米/小时，则汽车的速度为3x
由题意得：
10105312
x x -= 故答案为D ． 【点睛】
本题考查了出分式方程的应用，明确题意、确定等量关系是解答本题的关键．
15．已知甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同，且乙车每小时比甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依据题意列方程正确的是
A ．
354515x x =- B ．
3545
+15x x
= C ．
3545
-15x x = D ．
3545+15
x x = 【答案】D 【解析】 【分析】
首先根据甲车的速度为x 千米/小时，表示出乙车的速度为（x+15）千米/小时，再根据关键是语句“甲车行驶35千米与乙车行驶45千米所用时间相同”列出方程即可． 【详解】
解：设甲车的速度为x 千米/小时，则乙车的速度为（x+15）千米/小时，由题意得：
3545+15x x =， 故选D ．
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲乙两车的速度，再根据关键是语句列出方程即可．此题用到的公式是：路程÷速度=时间．
16．关于x的方程
2
1
11
ax
x x
-=
++
的解为非正数，且关于x的不等式组
22
5
3
3
a x
x
+
⎧
⎪
+
⎨
⎪⎩
„
…
无解，
那么满足条件的所有整数a的和是（）
A．﹣19 B．﹣15 C．﹣13 D．﹣9
【答案】C
【解析】
解：分式方程去分母得：ax﹣x﹣1=2，整理得：（a﹣1）x=3，由分式方程的解为非正数，
得到
3
1
a-
≤0，且
3
1
a-
≠﹣1，解得：a＜1且a≠﹣2．
不等式组整理得：
2
2
4
a
x
x
-
⎧
≤
⎪
⎨
⎪≥
⎩
，由不等式组无解，得到
2
2
a
-
＜4，解得：a＞﹣6，∴满足
题意a的范围为﹣6＜a＜1，且a≠﹣2，即整数a的值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣1，0，则满足条件的所有整数a的和是﹣13，故选C．
点睛：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）
A．10000
x
﹣
9000
5
x-
=100 B．
9000
5
x-
﹣
10000
x
=100
C．10000
5
x-
﹣
9000
x
=100 D．
9000
x
﹣
10000
5
x-
=100
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．
【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：
9000 x5 -﹣
10000
x
=100，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
18．若关于x的分式方程
3
2
22
x m m
x x
+
+=
--
有增根，则m的值为（）
A．1-B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】
解：方程两边都乘x﹣2，
得x+m﹣3m＝2（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，2+m﹣3m＝0，
∴m＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
19．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（）
A．180
6
x+
=
120
6
x-
B．
180
6
x-
=
120
6
x+
C．180
6
x+
=
120
x
D．
180
x
=
120
6
x-
【答案】A
【解析】
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：
180
6 x+=
120
6
x-
．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题
关键．
20．已知关于x 的分式方程
22124x mx x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0
B ．0或-8
C ．-8或-4
D ．0或-8或-4 【答案】D
【解析】
【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】
解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2），
整理得：（4＋m ）x ＝8，
当m ＝−4时整式方程无解；
当x ＝−2时原方程分母为0，此时m ＝−8；
当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．。