傅里叶变换拉普拉斯变换Z变换

错过这篇文章，可能你这辈子不懂什么叫傅里叶变换了（一）图片：TMAB2003 / CC BY-ND 若是看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧
Heinrich，生娃学工打折腿
这篇文章的核心思想确实是：
要让读者在不看任何数学公式的情形下明白得傅里叶分析。

傅里叶分析不单单是一个数学工具，更是一种能够完全颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，因此很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么成心思的东西竟然成了大学里的杀手课程，不能不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）因此我一直想写一个成心思的文章来讲明傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

因此，不管读到那个地址的您从事何种工作，我保证您都能看懂，而且必然将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于关于已经有必然基础的朋友，也希望不要看到会的地址就急忙往后翻，认真读必然会有新的发觉。

————以上是定场诗————
下面进入正题：
抱歉，仍是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大伙儿学习起来加倍轻松，充满乐趣。

可是万万！万万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，内心想着：以后有时刻再看。

如此的例子太多了，或许几年后你都没有再打开那个页面。

不管如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读讲义要轻松、高兴得多……
一、嘛叫频域
从咱们诞生，咱们看到的世界都以时刻贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时刻发生改变。

这种以时刻作为参照来观看动态世界的方式咱们称其为时域分析。

而咱们也
想固然的以为，世间万物都在随着时刻不断的改变，而且永久可不能静止下来。

但如果是我告知你，用另一种方式来观看世界的话，你会发觉世界是永久不变的，你会可不能感觉我疯了？我没有疯，那个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很适当，但意义上再贴切只是的例子：
在你的明白得中，一段音乐是什么呢？
这是咱们对音乐最普遍的明白得，一个随着时刻转变的震动。

但我相信关于乐器小能手们来讲，音乐更直观的明白得是如此的：
好的！下课，同窗们再会。

是的，其实这一段写到那个地址已经能够终止了。

上图是音乐在时域的样子，而以下图那么是音乐在频域的样子。

因此频域这一概念对大伙儿都从不陌生，只是从来没意识到罢了。

此刻咱们能够回过头来从头看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永久的。

将以上两图简化：
时域：
频域：
在时域，咱们观看到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就犹如一支股票的走势；而在频域，只有那一个永久的音符。

所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~）
以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）
你眼中看似落叶纷飞转变无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

（世人：鸡汤滚出知乎！）
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同窗告知咱们，任何周期函数，都能够看做是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。

在第一个例子里咱们能够明白得为，利用对不同琴键不同力度，不同时刻点的敲击，能够组合出任何一首乐曲。

而贯穿时域与频域的方式之一，确实是传中说的傅里叶分析。

傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，咱们从简单的开始谈起。

二、傅里叶级数(Fourier Series)
仍是举个栗子而且有图有真相才好明白得。

若是我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你可不能，就像昔时的我一样。

可是看看以下图：
第一幅图是一个愁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos(x)+a.cos(3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量慢慢的增加，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大伙儿从中体会到了什么道理？
（只要尽力，弯的都能掰直！）
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部份慢慢让本来缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部份又抵消了上升到最高处时继续上升的部份使其变成水平线。

一个矩形就这么叠加而成了。

可是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告知大伙儿，答案是无穷多个。

（上帝：我能让你们猜着我？）
不单单是矩形，你能想到的任何波形都是能够如此方式用正弦波叠加起来的。

这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，可是一旦同意了如此的设定，游戏就开始成心思起来了。

仍是上图的正弦波累加成矩形波，咱们换一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线确实是所有正弦波叠加而成的总和，也确实是愈来愈接近矩形波的那个图形。

而后面依不同颜色排列而成的正弦波确实是组合为矩形波的各个分量。

这些正弦波依照频率从低到高之前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。

必然有细心的读者发觉了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并非是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也确实是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成份是不需要的。

那个地址，不同频率的正弦波咱们成为频率分量。

好了，关键的地址来了！！
若是咱们把第一个频率最低的频率分量看做“1”，咱们就有了构建频域的最大体单元。

关于咱们最多见的有理数轴，数字“1”确实是有理数轴的大体单元。

（好吧，数学称法为——基。

在那个年代，那个字尚未其他奇怪的说明，后面还有正交基如此的辞汇我会说吗?）
时域的大体单元确实是“1 秒”，若是咱们将一个角频率为
的正弦波 cos（
t）看做基础，那么频域的大体单元确实是。

有了“1”，还要有“0”才能组成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）确实是一个周期无穷长的正弦波，也确实是一条直线！因此在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅阻碍全数波形相关于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来，让咱们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的教师是怎么概念正弦波的吧。

正弦波确实是一个圆周运动在一条直线上的投影。

因此频域的大体单元也能够明白得为一个始终在旋转的圆
知乎不能传动态图真是太让人可惜了……
想看动图的同窗请戳那个地址：
和那个地址：
点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 写的哪有那个地址的文章这么没节操是不是。

介绍完了频域的大体组成单元，咱们就能够够看一看一个矩形波，在频域里的另一个样子了：
这是什么奇怪的东西？
这确实是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一样就给到那个地址然后留给了读者无穷的联想，和无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也确
实是俗称的频谱，确实是——
再清楚一点：
能够发觉，在频谱中，偶数项的振幅都是 0，也就对应了图中的彩色直线。

振幅为 0 的正弦波。

动图请戳：
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的那个图尚未显现，那时我就想到了这种表达方式，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

可是在讲相位谱之前，咱们先回忆一下方才的那个例子究竟意味着什么。

记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估量好多人对这句话都已经吐槽半天了。

想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时刻轴上不规那么的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。

咱们看似不规律的情形反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。

那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
咱们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。

在最外面的小齿轮上有一个小人——那确实是咱们自己。

咱们只看到那个小人毫无规律的在幕布前演出，却无法预测他下一步会去哪。

而幕布后面的齿轮却永久一直那样不断的旋转，永不断歇。

如此说来有些宿命论的感觉。

说实话，这种对人一辈子的刻画是我一个朋友在咱们都是高中生的时候感叹的，那时想一想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
这三种变换都超级重要！任何理工学科都不可幸免需要这些变换。

这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。

傅里叶变换的显现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅能够看做虽时刻的转变，也能够看做各类频率不同加权的组合。

举个不太适当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱那么是频域表达。

三种变换由于能够将微分方程或差分方程转化为多项式方程，因此大大降低了微分（差分）方程的计算本钱。

另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域明白得一个信号。

因为通信领域中常常需要用频率划分信道，因此一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。

具体三种变换的分析（应该是四种）是如此的：
傅里叶分析包括傅里叶级数与傅里叶变换。

傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。

可是关于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。

（要紧用于计算微分方程）
而z变换那么能够算作离散的拉普拉斯变换。

（要紧用于计算差分方程）
从复平面来讲，傅里叶分析直注意虚数部份，拉普拉斯变换那么关注全数复平面，而z变换
那么是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变成一个圆环。

（不适当的例如确实是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。

）
我假定楼主对这些变换已有一些了解，至少明白这些变换怎么算。

好了，接下来我将从几个不同的角度来论述这些变换。

一个信号，通经常使用一个时刻的函数来表示，如此简单直观，因为它的函数图像能够看做信号的波形，比如声波和水波等等。

很多时候，对信号的处置是很特殊的，比如说线性电路会将输入的正弦信号处置后，输出仍然是正弦信号，只是幅度和相位有一个转变（事实上从数学上看是因为指数函数是线性微分方程的特点函数，就仿佛矩阵的特点向量一样，而那个复幅度对应特点值）。

因此，若是咱们将信号全数分解成正弦信号的线性组合（傅里叶变换），那么就能够够用一个传递函数来描述那个线性系统。

倘假设那个信号很特殊，例如，傅里叶变换在数学上不存在，那个时候就引入拉普拉斯变换来解决那个问题。

如此一个线性系统都能够用一个传递函数来表示。

因此，从那个地址能够看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统相当重要。

若是只关切信号本身，不关切系统，这几个变换的关系能够通过如此一个进程联系起来。

第一需要明确一个观点，不管利历时域仍是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！关于这一点，你能够从线性空间的角度明白得。

同一个信号，若是采纳不同的坐标框架（或说基向量），那么他们的坐标就不同。

例如，采纳作为坐标，那么信号就能够够表示为，而采纳那么表示为傅里叶变换的形式。

线性代数里面讲过，两个不同坐标框架下，同一个向量的坐标能够通过一个线性变换联系起来，若是是有限维的空间，那么能够表示为一个矩阵，在那个地址是无穷维，那个线性变换确实是傅里叶变换。

若是咱们将拉普拉斯的域画出来，他是一个复平面，拉普拉斯变换是那个复平面上的一个复
变函数。

而那个函数沿虚轴的值确实是傅里叶变换。

到此刻，对信号的形式尚未多少假定，若是信号是带宽受限信号，也确实是说只在一个小范围内（如）不为0。

依照采样定理，能够对时域采样，只要采样的频率足够高，就能够够无失真地将信号还原出来。

那么采样对信号的阻碍是什么呢？从s平面来看，时域的采样将沿虚轴方向作周期延拓！那个性质从数学上能够很容易验证。

z变换能够看做拉普拉斯变换的一种特殊形式，即做了一个代换，T是采样的周期。

那个变换将信号从s域变换到z域。

请记住前面说的那个观点，s域和z域表示的是同一个信号，即采样完了以后的信号。

只有采样才会改变信号本身！从复平面上来看，那个变换将与轴平行的条带变换到z平面的一个单叶分支。

你会看到前面采样致使的周期延拓产生的条带重叠在一路了，因为具有周期性，因此z域不同的分支的函数值是相同的。

换句话说，若是没有采样，直接进行z变换，将会取得一个多值的复变函数！因此一样只对采样完了后的信号做z变换！
那个地址讲了时域的采样，时域采样后，信号只有间的频谱，即最高频率只有采样频率一半，可是要记录如此一个信号，仍然需要无穷大的存储空间，能够进一步对频域进行采样。

若是时刻有限（这与频率受限相互矛盾）的信号，那么通过频域采样（时域做周期扩展）能够不失真地从采样的信号中恢恢复始信号。

而且信号长度是有限的，这确实是离散傅里叶变换(DFT)，它有闻名的快速算法快速傅里叶变换(FFT)。

什么缘故我要说DFT呢，因为运算机要有效地对一样的信号做傅里叶变换，都是用DFT来实现的。

除非信号具有简单的解析表达式！
总结起来讲，确实是关于一个线性系统，输入输出是线性关系的，不论是线性电路仍是光路，只要能够用一个线性方程或线性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）来描述的系统，都能够通过傅里叶分析从频域来分析那个系统的特性，比单纯从时域分析要壮大得多！两个闻名的应用例子确实是线性电路和傅里叶光学（信息光学）。

乃至非线性系统，也在很多情形里面利用线性系统的东西！因此傅里叶变换才这么重要！你看最先傅里叶最先也是为了求解热传导方程（那里其实也能够看做一个线性系统）！
傅里叶变换的思想还在不同领域有很多演变，比如在信号处置中的小波变换，它也是采纳一
组基函数来表达信号，只只是克服了傅里叶变换不能同时做时频分析的问题。

最后，我从纯数学的角度说一下傅里叶转变究竟是什么。

还记得线性代数中的代数方程吗？若是A是对称方阵，能够找到矩阵A的所有相互正交的特点向量和特点值，然后将向量x 和b表示成特点向量的组合。

由于特点向量的正交关系，矩阵的代数方程能够化为n个标量代数方程，是不是很神奇！！你会问这跟傅里叶变换有毛关系啊？别急，再看非齐次线性常微分方程，能够验证指数函数是他的特点函数，若是把方程改写为算子表示，那么有，这是不是和线性方程的特点向量特点值很像。

把y 和 z都表示为指数函数的线性组合，那么通过这种变换以后，常微分方程变成标量代数方程了！！而将y和z表示成指数函数的线性组合的进程确实是傅里叶变换（或拉普拉斯变换）。

在偏微分方程如波动方程中也有类似结论！这是我在上数理方程课程的时候体会到的。

归纳起来，确实是说傅里叶变换确实是线性空间中的一个特殊的正交变换！他之因此特殊是因为指数函数是微分算子的特点函数！
一样频域用傅里叶，复数域用拉普拉斯
复变函数表示下的微分方程能够通过laplace变换变成一般方程。

Laplace变换起源于傅立叶变换，只只是是对傅立叶变换进行了拓展，从时刻t>0开始进行积分运算，比较适合实际物理模型。

对一个系统进行分析和研究，第一要明白该系统的数学模型，也确实是要成立反映该系统特性的数学表达式，即偏微分方程，利用Laplace变换能够将偏微分方程化成常微分方程，将常微分方程化为代数方程，依照那个代数方程求出像函数，然后再取逆变换求出原微分方程的解。

类似于傅利叶变换完成时域和频域转换一样，拉普拉斯变换将一个信号从时域上，转换为复频域。

从数学上讲应用拉普拉斯变换将指数关系运算转换乘法关系运算，因此可用来解常变量齐次微分方程，拉普拉斯变换能够将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。

拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform)，是工程数学中经常使用的一种积分变换。

应用拉氏变换：
（1）求解方程取得简化。

且初始条件自动包括在变换式里。

（2）拉氏变换将“微分”变换成“乘法”，“积分”变换成“除法”。

即将微分方程变成代数方程。

拉氏变换将时域中卷积运算变换成“乘法”运算。

(3)利用系统函数零点、极点散布分析系统的规律。

在经典操纵理论中，对操纵系统的分析和综合，都是成立在拉普拉斯变换的基础上的。

引入拉普拉斯变换的一个要紧优势，是可采纳传递函数代替微分方程来描述系统的特性。

这就为采纳直观和简便的图解方式来确信操纵系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析操纵系统的运动进程（见奈奎斯特稳固判据、根轨迹法），和综合操纵系统的校正装置（见操纵系统校正方式）提供了可能性。

此刻给你举个例子：
咱们学操纵的时候，比如一个二阶电路RLC
系统微分方程是：
LC*Uc'' + RC*Uc' + Uc = U
假想你借那个微分方程多费力，
那么你用laplace变换，微分方程变成
LC*s^2*Uc + RCs*Uc + Uc = U
然后Uc = U/ (LCs^2 + RCs + 1)
然后能够查表直接得出结果（就跟查积分表一样方便），这不比你解微分方程，强多了么！傅里叶变换简单通俗明白得确实是把看似杂乱无章的信号考虑成由必然振幅、相位、频率的大体正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的确实是找出这些大体正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的要紧振动频率特点。

拉普拉斯变换
概念式：设有一时刻函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数
其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；
右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是概念在整个时刻轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变成f(t)ε（t），那
么拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt
其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

z变换可将分散的信号（此刻要紧用于数字信号）从时域转换到频域。

作用和拉普拉斯变换（将持续的信号从时域转换到频域）是一样的。