概率论与数理统计谢寿才版课后习题第二章答案

习题二
1. 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,
1,63,21,31,31,10,41,0,
0)(x x x x x x F
试求X 的概率分布列及)1(<X P ，)1(≤X P ，)3(>X P ，)3(≥X P . 解: 随机变量X 的分布列为
X 0 1
3 6 p 41 121 61 21
则 41)0()1(==<P X P ； 31
)1()1()0()1(==+=≤F P P X P ； 21)6()3(==>P X P ； 3
2
2161)6()3()3(=+=+=≥P P X P .
2. 设离散型随机变量X 的分布函数为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=.2,,21,32
,11,,1,
0)(x b a x a x a x x F 且21)2(==X P ，试求a ，b 和X 的分布列. 解：由分布函数的定义可知 1=+b a
又因为21)2(==X P ，则
6722
1
32)02()2()2()2()2(=+⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--=<-≤==b a a b a F F X P X P X P
故 61=a ， 65=b .
3. 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=.,1,1,ln ,1,
0)(e x e x x x x F
试求)5.2(<X P ，)5.30(≤<X P ，)5.25.1(<<X P . 解: 根据题意X 为连续型随机变量，则
2ln 5ln )5.2()05.2()5.2(-==-=<F F X P ，
1)0()5.3()00()5.3()5.30(=-=--=≤<F F F F X P ，
3ln 5ln )5.1()5.2()05.1()05.2()5.25.1(-=-=---=<<F F F F X P 。

4. 若α-=≥1)(1x X P ，β-=≤1)(2x X P ，其中21x x <，试求)(21x X x P <<. 解: )()()(1221x X P x X P x X x P <-≤=<<
)](1[)(12x X P x X P ≥--≤= αβαβ--=----=1)]1(1[1.
5. 一只口袋中有5个球，编号分别为1，2，3，4，5.从中任意取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码. (1)求X 的分布列；
(2)写出X 的分布函数，并作图.
解：(1)根据题意X 表示取出球中最大的号码，则其可能取值为3，4，5， 故 其分布列为
3
5
1
1
21)(C C C k X P p k k -===，5,4,3=k . 即
X 3 4 5 p
101 103 106
(2)由分布函数的定义可知
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤<=.
5,
1,54,52,
43,10
1
,3,0)(x x x x x F
作图略.
6. 有三个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒子装有3个白球和2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球,以X 表示所取到的白球数.
(1)试求X 的概率分布列；
(2)取到的白球数不少于2个的概率为多少？
解：(1)根据题意X 表示所取到的白球数，则其可能取值为3,2,1,0， 故 其分布列为
3
5
32
33533235341313131)(C C C C C C C C C k X P p k k k k k
k k ---++===，3,2,1,0=k . 即
X
0 1 2 3 p
61
21
103
301
(2)根据题意，所求概率为
3
1)3()2()2(==+==≥X P X P X P . 7. 掷一颗骰子4次，求点数6出现的次数的概率分布. 解：以X 表示骰子点数出现6的次数，则)6
1,4(~B X 故 其分布列为
k
k
k k C k X P p -⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛===4461161)(，4,3,2,1,0=k .
即
X 0 1 2 3 4 p
4823.0
3858.0
1157.0
0154.0
0008.0
8. 一批产品共有100件，其中10件是不合格品.根据验收规则，从中任取5件产品进行质量检验，假如5件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验. (1)试求5件中不合格品数X 的分布列；
(2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？
解：(1)以X 表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为0，1，2，4，5.
故 其分布列为
5
100
590
10)(C C C k X P p k k k -===，5,4,3,2,1,0=k . (2)根据题意，所求概率为
4162.0)0(1)0(1)0(=-=≤-=>P X P X P .
9. 设某人射击命中率为0.8，现向一目标射击20次，试写出目标被击中次数X 的分布列. 解：以X 表示目标被击中的次数，则)8.0,20(~B X 故 其分布列为
k k k
k C k X P p -===2020)2.0()8.0()(，20,,2,1,0 =k .
10. 某车间有5台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时有10分钟使用电力.假定每台车床的工作是相互独立的，试求
(1)同一时刻至少有3台车床用电的概率； (2)同一时刻至多有3台车床用电的概率.
解： 以X 表示同一时刻用电车床的台数，则)6
1,5(~B X 故 其分布列为
k
k
k k C k X P p -⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭
⎫
⎝⎛===556561)(，.5,,2,1,0 =k
(1)根据题意所求概率为
0355.0)5()4()3()3(==+=+==≥X P X P X P X P ； (2)根据题意所求概率为
9967.0)5()4(1)3(1)3(==-=-=>-=≤X P X P X P X P .
11. 某优秀的射击手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率？
解：以X 表示射击手命中环10的次数，则)7.0,3(~B X 故 其分布列为
k k k
k C k X P p -===33)3.0()7.0()(，3,2,1,0=k .
根据题意所求概率为
784.0)1()0(1)2(1)2(==-=-=<-=≥X P X P X P X P . 12. 设随机变量X 和Y 均服从二项分布，即),2(~p B X ，),4(~p B Y .若
98)1(=≥X P ，试求)1(≥Y P ?
解：根据题意随机变量),2(~p B X ，则
k
k k p p C k X P --==22)1()(，2,1,0=k .
又因为98)1(=≥X P ，则
3
298)1(1)0(1)1(1)1(2
2=⇒=--==-=<-=≥p p p C X P X P X P . 则 )3
2
,4(~B Y .
故 81
8031321)0(1)1(1)1(4
004=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==-=<-=≥C Y P Y P Y P . 13. 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： (1)每分钟恰有8次呼唤的概率； (2)每分钟呼唤次数大于8的概率.
解：以X 表示交换台每分钟的呼唤次数，则)4(~P X 故 其分布列为
4
!
4)(-===e k k X P p k k ，.,2,1,0 =k
(1)根据题意所求概率为
0298.0!
84)8(4
88====-e X P p ；
(2)根据题意所求概率为
021.0979.01)8(1)8(=-=≤-=>X P X P .
14. 某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为0.01，问该种产品300件中次品数大于5的概率为多少？
解：以X 表示300件产品中的次品数，则)01.0,300(~B X 用参数为301.0300=⨯==np λ的泊松分布作近似计算，得所求概率为
0839
.09161.01!31)5(1)5(5
3
=-=-=≤-≈>∑=-k k e k X P X P . 15. 保险公司在一天内承保了5000份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内
若投保人死亡，则公司需赔付3万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过30万元的概率.
解：以X 表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则)0015.0,5000(~B X 用参数为5.70015.05000=⨯==np λ的泊松分布作近似计算，得所求概率为
8622
.0!5.7)9985
.0()0015.0()10(10
5
.710
105000
=≈=
≤∑∑=-=-k k k k
k k
e k C
X P . 16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的
概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于2的概率是多少？
解：以X 表示该汽车站每天出事故的车辆数，则)0001.0,1000
(~B X 用参数为1.00001.01000=⨯==np λ的泊松分布作近似计算，得所求概率为
0!1.01)2(1)2(2
1
.0=-≈≤-=>∑=-k k e k X P X P . 17. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p ，则失败的概率为p q -=1 )10(<<p .
(1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数X 的分布列.
(2)将试验进行到第r 次成功为止，求所需试验次数Y 的分布列.（此分布被称为负二项分
布）
解：(1)根据题意，以X 表示试验第一次成功为止所需试验次数，则X 服从参数为p 的几何分布，其分布列为
1)1()(--===k k p p k X P p ，)10(,,2,1<<=p k
(2)根据题意，以Y 表示试验第r 次成功为止所需试验次数，则Y 的可能取值为 ,,,1,m r r r ++，（即在k 次伯努利试验中，最后已此一定是成功，而前面1-k 次中一
定有1-r 次是成功的，由二项分布得其概率为r k r r k p p
C -----)1(111，再乘以最后一次成功的概率p ），则其分布列为
r k r r k k p p C k X P p ----===)
1()(11，)10(,,1,<<+=p r r k . 18.一篮球运动员的投篮命中率为0.45，求他首次投中时累计已投篮次数X 的分布列，并计算X 为偶数的概率.
解：根据题意，以X 表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为
1)45.01(45.0)(--===k k k X P p ， ,2,1=k
故 篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情况是互不相容的，即所求概率为
3548.0)
45.01(45.0)2(1
1
21
=-===
∑∑∞
=-∞=k k k k X P p .
19. 设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤=.,0,21,2,10,
)(其它x x x x x f
试求)5.1(≤X P .
解：由概率密度函数的定义可知
875.0)2()()5.1(5
.11
10
5
.1=-+==
≤⎰⎰⎰
∞
-dx x xdx dx x f X P .
20. 设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤
=.
2
,0,2,cos )(ππ
x x x A x f 试求：
(1)常数A ; (2)X 落在区间)4
,
0(π
内的概率.
解：(1)由概率密度函数的正则性可知
2
12cos )(12
2
=
⇒===
⎰
⎰
-+∞
∞
-A A xdx A dx x f ππ； (2)根据题意，所求概率为
4
2cos 21)()4
0(4
4
===≤
≤⎰
⎰
πππ
xdx dx x f X P . 21. 设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1,10,,0,
0)(2
x x Ax x x F
试求：
(1)常数A ；
(2)X 落在区间)7.0,3.0(内的概率； (3)X 的概率密度.
解：(1)由分布函数的连续性可知
11)1(lim )(lim )01(2
1
1
=→⇒=====--
-→→A F A Ax x F F x x ； (2)根据题意，所求概率为
4.0)3.0()7.0()7.03.0(=-=≤≤F F X P ； (3)由分布函数和密度函数的关系可知
⎩⎨
⎧≤≤='=.,
0,
10,2)()(其它x x x F x f 22. 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变
量，其概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧<<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.,0,1000,100105.0)(4
其它x x x f 试问该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？
解：设该油站的储油罐容量为a 升)0(>a ，以X 表示该加油站每周油品销售量，则根据题意
05.010********.0)(05.0)(5
100
<⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒<>⎰⎰∞
+a dx x dx x f a X P a a
4605.01005
=⇒->⇒a a .
23. 在区间],0[a 上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标.设该质点落在区间],0[a 中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求X 的分布函数和概率密度. 解：设X 的分布函数为)(x F ，则
当0<x 时，因为}{x X ≤是不可能事件，所以0)()(=≤=x X P x F ； 当a x ≥时，因为}{x X ≤是必然事件，所以1)()(=≤=x X P x F ；
当a x <≤0时，有kx x X P x X P x F =≤≤=≤=)0()()(，其中k 为比例系数，由分布
函数的右连续性可知，a
k ka x F a F a F a x 1
)(lim )0()(1=⇒==+==+→ 则X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.
,1,0,,0,0)(a x a x a
x
x x F
由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<≤=.
,0,0,1
)(其它a x a x f
24. 设随机变量X 服从区间)10,0(上的均匀分布，求对X 进行4次独立观测中，至少有
3次的观测值大于5的概率？
解：根据题意，随机变量)10,0(~U X ，则其概率密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<≤=.,
0,100,101
)(其它x x f
故 对X 进行独立观测中观测值大于5的概率为
⎰⎰
===
>=+∞
10
5
5
5.01.0)()5(dx dx x f X P p
以Y 表示对X 进行独立观测中观测值大于5的次数，则),4(~p B Y
故 所求概率为
3125.0)5.0()5.0()5.0()4()3()3(4
441334=+==+==≥C C X P X P X P . 25. 设随机变量)5,0(~U K ，求方程02442
=+++K Kx x 无实根的概率和有实根的概率.
解：根据题意，随机变量U(0,5)~K ，则其密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧<≤=.
,0,50,51
)(其它x x f
根据韦达定理可得，
当 2103216162
<<-⇒<--=∆K K K 时，方程无实根，其概率为
⎰⎰
--===
<<-2
1
2
1
6.02.0)()21(dx dx x f X P ；
当 103216162-≤⇒≥--=∆K K K 或2≥K 时，方程有实根，其概率为
4.0)21(1})2{}1({=<<--=≥-≤X P X X P .
26. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分计）服从指数分布，其概率密度为
⎩⎨⎧≤>=-.0,
0,
0,2.0)(2.0x x e x f x
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他便离开，他每月要到银行5次，以Y 表示他未等
到服务而离开窗口的次数，试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率.
解：根据题意，顾客在银行窗口等待服务的时间X 服从指数分布，则等候时间超过10分钟的概率为
⎰⎰
+∞
--+∞
===
>=10
22.010
2.0)()10(e dx e dx x f X P p x
以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，则),5(~2-e B Y 故 所求概率为
5167.0)1()(1)0(1)1(1)1(52020
5=--==-=<-=≥--e e C X P X P X P 。

27. 某仪器装了3个独立工作的同型号电子元件，其寿命X （以小时计）都服从同一指数分布
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-0,0,0,6001)(600
1x x e x f x 试求：此仪器在最初使用的300小时内，至少有一个该种电子元件损坏的概率.
解：根据题意，以X 表示该型号电子元件的寿命，则该型号电子元件寿命小于300小时的概率为
⎰⎰--∞--===≤=300
021
600
1
300
1600
1)()
300(e dx e dx x f X P p x
以Y 表示该型号电子元件损坏数，则)1,3(~5
.0--e B Y
故 所求概率为
3101
.0)()1(1)0(1)1(1)1(35.005.00
3=--==-=<-=≥--e e C X P X P X P . 28. 设随机变量)2,3(~2
N X ，求 (1))51(≤≤-X P ； (2))5(≤X P ；
(3) 确定a ，使得)()(a X P a X P >=<？
解：由正态分布标准化2
3
-=
-=
X X U σμ
可得
(1))12(2352
3
1)53(≤≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=≤≤-U P U P X P
8185.01)2()1()2()1(=-Φ+Φ=-Φ-Φ=；
(2))12(2312
3
1)1(-≤≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=≤U P U P X P
1359.0)1()2()2()1(=Φ-Φ=-Φ--Φ=； (3)根据题意)()(a X P a X P >=<，则
⎪⎭⎫ ⎝⎛
-≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛->=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<231232323a U P a U P a U P a U P 2
1
2323123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φa a a )5.0)0((=Φ
故 3=a 。

29. 设随机变量)3,4(~2N X ，求 (1))52(≤<-X P
(2))3(>X P
(3)设a 为参数，使得9.0)(≥>a X P ，问a 最多取为多少？
解：由正态分布标准化3
4
-=
-=
X X U σμ
可得
(1)⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=≤<-312345342)52(U P U P X P
6065.01)2()31()2()31(=-Φ+Φ=-Φ-Φ=；
(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤---=≤-=>313
7
13433431)3(1)3(U P U P X P X P
6392.0)]31()37([1=Φ-Φ-=； (3)根据题意9.0)(≥>a X P ，则
1.0349.034134≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-≤⇒≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛->a U P a U P a U P
即 1.034≤⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φa (8997.0)28.1(=Φ ，9015.0)29.1(=Φ)
故 由标准正态分位数定义可得 145.0285.13
4
≤⇒-≤-a a 即 参数a 最大取为0.145.
30. 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X (以m 计)具有概率密度
3200
)20(22401
)(--=x e
x f π
，+∞<<∞-x
试求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.
解：根据题意，以X 表示测量中随机产生的误差，由其密度函数的定义可知
)40,20(~2N X ，则误差绝对值超过30m 的概率为
)3030(1)30(1)30(<<--=≤-=>X P X P X P
)25.025.1(40203040
20
30≤≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=U P U P
4931.01)25.1()25.0()25.1()25.0(=-Φ+Φ=-Φ-Φ=, 以Y 表示测量中误差绝对值超过30m 的次数，则)4931,3(~B Y
故 所有概率为
8698.0)5069.0()4931.01(1)0(1)1(1)1(300
3=--==-=<-=≥C X P X P X P .
31. 某单位招聘员工，共有10000人报考.假设考试成绩服从正态分布，且已知90分以上有359人，60分以下有1151人，现按考试成绩从高分到低分一次录用2500人，试问被录用者中最低分数是多少？
解：根据题意，以X 表示报考人的成绩分数，则),(~2
σμN X
故 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤-=≤-=>σμ901)90(1)90(U P X P X P 0359.010*********==
⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-=σμ 8.1909641.090=-⇒
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ⇒σμσμ ①（查表得） 1151.010000
1151
6060)60(==
⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<=<σμσμU P X P 2.160-=-⇒σ
μ
② （查表得） 由①、②可得 72=μ，10=σ，即)10,72(~2N X ， 设录用者中最低分数为a ，则
)(125.010000
2500
)(a X P a X P ≤-===
>， ⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=⇒107211072125.0a a U P
75.01072=⎪⎭⎫
⎝⎛-Φ⇒a ，(7486.0)67.0(=Φ ，7517.0)68.0(=Φ)
故
75.78675.010
72
=⇒=-a a 32. 已知离散型随机变量X 的分布列为
X
2- 1- 0 1 3 p 51 61 51 151 3011
试求2
X Y =与X Z =的分布列.
解：根据题意可得
X
2- 1- 0 1 3 2X Y =
4 1 0 1 9 X Z =
2
1
1
3
p
51 61
51
151
3011
故 合并整理得2
X Y =的分布列
Y 0 1 4 9
p
51 307
51
3011 X Z =的分布列
Z 0
1 2 3
p
51 307
51
3011
33. 设随机变量X 的概率密度为
⎩
⎨
⎧≤≤=.,0,
0),5.0cos(5.0)(其它πx x x f 对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于3π的次数，求12-=Y Z 分布列.
解：根据题意，由概率密度函数定义可知，对X 进行独立观测中观测值大于3π的概率
为
⎰⎰
===>
=+∞
π
πππ
3
3
5.0)5.0cos(5.0)()3
(dx x dx x f X P p .
以Y 表示对X 进行4次独立观测中观测值大于3π的次数，则)5.0,4(~B Y 故 其分布列为
k k k
k C k X P p --===44)5.01()5.0()(，4,3,2,1,0=k .
即
Y
0 1 2 3 4 12-=Y Z
1- 1 3 5 7 p
0625.0
25.0
375.0 25.0 0625.0 故
Z
1- 1 3 5 7 p
0625.0
25.0
375.0
25.0
0625.0
34. 设随机变量)1,0(~U X ，试求以下随机变量函数的概率密度： (1)X Y -=1； (2)X
e Y =； (3)X Y ln 2-=； (4)X Y ln =.
解：根据题意，随机变量)1,0(~U X ，则其密度函数为
⎩
⎨⎧≤≤=.,0,
10,1)(其它x x f X
(1)由y y h x x y -==⇒-=1)(1，且有01)(<-='y h ，则X Y -=1的密度函数为
⎩
⎨
⎧≤-≤'--=.,0,
110,)1()1()(其它y y y f y f X Y ⎩
⎨⎧≤≤=.,0,
10,1其它y
(2)由y y h x e y x
ln )(0==⇒>=，且有01)(>='y
y h ，则X e Y =的密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤'=.,
0,
1ln 0,))(ln (ln )(其它y y y f y f X Y
⎩⎨⎧≤≤=.,
0,
1,1其它e y y
(3)由y
e y h x x y 5.0)(0ln 2-==⇒>-=，且有05.0)(5.0<-='-y e y h ，则X e Y =的密度
函数为
⎩⎨⎧≤≤'=---.,
0,
10,)()()(5.05.05.0其它y y y X Y e e e f y f
⎩⎨⎧≥=-.,
0,
0,5.05.0其它y e y
(4)由0ln >=x y ，故当0<y 时，有0)(=y F Y ，从而0)(=y f Y
当0≥y 时，y
e y h x x y -==⇒>-=)(0ln ，且有0)(<-='-y
e
y h ，则X Y ln =的
密度函数为
⎩⎨⎧<≤≤'=---.0,
0,10,)()()(y e e e f y f y y y X Y ⎩⎨⎧<≥=-.0,
0,0,y y e y 35. 设随机变量)1,0(~N X ，试求以下随机变量函数的概率密度：
(1)X e Y =； (2)X Y =；
(3)122+=X Y .
解：(1)由于0>=x e y ，故当0≤y 时，有0)(=y F Y ，从而0)(=y f Y .
当0>y 时，由y y h x e y x ln )(0==⇒>=，且有01)(>=
'y
y h ，则X e Y =的密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>'Φ=.0,
0,0,))(ln (ln )(y y y y y f Y ⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,212)(ln 2y y e y y π
(2)由于0≥=x y ，故当0≤y 时，有0)(=y F Y ，从而0)(=y f Y .
当0>y 时，有
1)(2)()()()(-Φ=≤≤-=≤=≤=y y X y P y X P y Y P y F Y
此时Y 的分布函数为
⎩⎨⎧≤>-Φ=.0,
0,0,1)(2)(y y y y F Y 因为 )()(y F y f Y Y '=，
故 ⎩⎨⎧≤>=.0,
0,0),(2)(y y y y f Y ϕ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,
0,0,222y y e y
π
(3)由于1122≥+=x y ，故当1<y 时，有0)(=y F Y ，从而0)(=y f Y .
当1≥y 时，有
)12()()(2y X P y Y P y F Y ≤+=≤=
1))1(5.0(2)1(5.0)1(5.0(--Φ=-≤≤--=y y X y P
此时Y 的分布函数为
⎩
⎨⎧<≥-Φ=.1,0,1),)1(5.0(2)(y y y y F Y 因为 )()(y F y f Y Y '=，
故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=-.1,
0,1),)1(5.0()]1(5.0[)(21y y y y y f Y ϕ
⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--.1,0,1,)1(214)1(y y e y y π
36. 某物体的温度T （华氏）是随机变量，且有)2,6.98(~N T ，已知)32(9
5-=
T W ，试求W （摄氏）的概率密度.
解：根据题意，)2,6.98(~N T ，则其概率密度函数为 4)6.98(221)(--=t T e t f π
，+∞<<∞-t
由 )32(95-=t w 由328.1)()32(9
5+==⇒-=w w h t t w ，且有08.1)(>='w h ，则由分布函数的定义可知 )328.1()328.1()32(95)()(+=+≤=⎪⎭
⎫
⎝⎛≤-=≤=w F w T P w T P w W P w F T W 又因为 )()(w F w f W W '=
故 )328.1()328.1()('+⋅+'=w w F w f T W
2)37(10081109--=w e π， +∞<<∞-w 。