双馈风力发电机工作原理

第5章双馈风力发电机工作原理
我们通常所讲的双馈异步发电机实质上是一种绕线式转子电机，由于其定、转子都能向电网馈电，故简称双馈电机。

双馈电机虽然属于异步机的范畴，但是由于其具有独立的励磁绕组，可以象同步电机一样施加励磁，调节功率因数，所以又称为交流励磁电机，也有称为异步化同步电机。

同步电机由于是直流励磁，其可调量只有一个电流的幅值，所以同步电机一般只能对无功功率进行调节。

交流励磁电机的可调量有三个：一是可调节的励磁电流幅值；二是可改变励磁频率；三是可改变相位。

这说明交流励磁电机比同步电机多了两个可调量。

通过改变励磁频率，可改变发电机的转速，达到调速的目的。

这样，在负荷突变时，可通过快速控制励磁频率来改变电机转速，充分利用转子的动能，释放或吸收负荷，对电网扰动远比常规电机小。

改变转子励磁的相位时，由转子电流产生的转子磁场在气隙空间的位臵上有一个位移，这就改变了发电机电势与电网电压相量的相对位移，也就改变了电机的功率角。

这说明电机的功率角也可以进行调节。

所以交流励磁不仅可调节无功功率，还可以调节有功功率。

交流励磁电机之所以有这么多优点，是因为它采用的是可变的交流励磁电流。

但是，实现可变交流励磁电流的控制是比较困难的，本章的主要内容讲述一种基于定子磁链定向的矢量控制策略，该控制策略可以实现机组的变速恒频发电而且可以实现有功无功的独立解耦控制，当前的主流双馈风力发电机组均是采用此种控制策略。

一、双馈电机的基本工作原理
设双馈电机的定转子绕组均为对称绕组，电机的极对数为p，根据旋转磁场理论，当定子对称三相绕组施以对称三相电压，有对称三相电流流过时，会在电机的
n称为同步转速，它与电网频率气隙中形成一个旋转的磁场，这个旋转磁场的转速
1
1f 及电机的极对数p 的关系如下：
p
f n 1
160=
（3-1）
同样在转子三相对称绕组上通入频率为2f 的三相对称电流，所产生旋转磁场相对于转子本身的旋转速度为：
p
f n 2
260=
（3-2）
由式3-2可知，改变频率2f ，即可改变2n ，而且若改变通入转子三相电流的相序，还可以改变此转子旋转磁场的转向。

因此，若设1n 为对应于电网频率为50Hz 时双馈发电机的同步转速，而n 为电机转子本身的旋转速度，则只要维持
常数==±12n n n ，见式3-3，则双馈电机定子绕组的感应电势，如同在同步发电机时一样，其频率将始终维持为1f 不变。

常数==±12n n n
（3-3）
双馈电机的转差率1
1n n
n S -=，则双馈电机转子三相绕组内通入的电流频率应为：
S f pn f 12
260
==
（3-4）
公式3-4表明，在异步电机转子以变化的转速转动时，只要在转子的三相对称绕组中通入转差频率（即S f 1）的电流，则在双馈电机的定子绕组中就能产生50Hz 的恒频电势。

所以根据上述原理，只要控制好转子电流的频率就可以实现变速恒频发电了。

根据双馈电机转子转速的变化，双馈发电机可有以下三种运行状态： 1. 亚同步运行状态：在此种状态下1n n <，由转差频率为2f 的电流产生的旋转
磁场转速2n 与转子的转速方向相同，因此有12n n n =+。

2. 超同步运行状态：在此种状态下1n n >，改变通入转子绕组的频率为2f 的电
流相序，则其所产生的旋转磁场的转速2n 与转子的转速方向相反，因此有
12n n n =-。

3. 同步运行状态：在此种状态下1n n =，转差频率02=f ，这表明此时通入转
子绕组的电流频率为0，也即直流电流，与普通的同步电机一样。

下面从等效电路的角度分析双馈电机的特性。

首先，作如下假定： 1. 只考虑定转子的基波分量，忽略谐波分量 2. 只考虑定转子空间磁势基波分量 3. 忽略磁滞、涡流、铁耗
4. 变频电源可为转子提供能满足幅值、频率、功率因数要求的电源，不计其阻
抗和损耗。

发电机定子侧电压电流的正方向按发电机惯例，转子侧电压电流的正方向按电动机惯例，电磁转矩与转向相反为正，转差率S 按转子转速小于同步转速为正，参照异步电机的分析方法，可得双馈发电机的等效电路，如图3-1所示：
根据等效电路图，可得双馈发电机的基本方程式：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧-=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+--=m
m m I I I jX I E E jX s R I E s U jX R I E U '21'21'2'2'2'2'
211111)()( （3-5）
式中：
● 1R 、1X 分别为定子侧的电阻和漏抗
● '2R 、'
2X 分别为转子折算到定子侧的电阻和漏抗
● m X 为激磁电抗
● 1U 、1
E 、1I 分别为定子侧电压、感应电势和电流
● '2E 、'2
I 分别为转子侧感应电势，转子电流经过频率和绕组折算后折算到定子侧的值。

● '2U 转子励磁电压经过绕组折算后的值，s U /'2
为'2U 再经过频率折算后的值。

普通的绕线转子电机的转子侧是自行闭合的，
根据基尔霍夫电压电流定律可以写出普通绕线式转子电机的基本方程式：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+--=m
m m I I I jX I E E jX s R I E jX R I E U '21'21'2'
2'2'2
11111)()( （3-6）
从等值电路和两组方程的对比中可以看出，双馈电机就是在普通绕线式转子电
机的转子回路中增加了一个励磁电源，恰恰是这个交流励磁电源的加入大大改善了双馈电机的调节特性，使双馈电机表现出较其它电机更优越的一些特性。

下面我们根据两种电机的基本方程画出各自的矢量图，从矢量图中说明引入转子励磁电源对有功和无功的影响。

从矢量图中可以看出，对于传统的绕线式转子电机，当运行的转差率s 和转子
参数确定后，定转子各相量相互之间的相位就确定了，无法进行调整。

即当转子的转速超过同步转速之后，电机运行于发电机状态，此时虽然发电机向电网输送有功功率，但是同时电机仍然要从电网中吸收滞后的无功进行励磁。

但从图3-4中可以看出引入了转子励磁电压之后，定子电压和电流的相位发生了变化，因此使得电机的功率因数可以调整，这样就大大改善了发电机的运行特性，对电力系统的安全运行就有重要意义。

二、 双馈发电机的功率传输关系
风力机轴上输入的净机械功率（扣除损耗后）为mech P ，发电机定子向电网输出的电磁功率为1P ，转子输入/输出的电磁功率为2P ，s 为转差率，转子转速小于同步转速时为正，反之为负。

2P 又称为转差功率，它与定子的电磁功率存在如下关系：
12P s P =
如果将2P 定义为转子吸收的电磁功率，那么将有：
12sP P =
此处s 可正可负，即若0>s ，则02>P ，转子从电网吸收电磁功率，若0<s ，则02<P ，转子向电网馈送电磁功率。

下面考虑发电机超同步和亚同步两种运行状态下的功率流向：
2.1 超同步运行状态
顾名思义，超同步就是转子转速超过电机的同步转速时的一种运行状态，我们
称之为正常发电状态。

（因为对于普通的异步电机，当转子转速超过同步转速时，就会处于发电机状态）。

根据图中的功率流向和能量守恒原理，流入的功率等于流出的功率
111)1(P s P s P P m ech +=+=
因为发电机超同步运行，所以0<s ，所以上式可进一步写成：
1)1(P s P mech -=
将上述式子归纳得：超同步速，0<s ，1P P m ech >
2.2 亚同步运行状态
即转子转速低于同步转速时的运行状态，我们可以称之为补偿发电状态（在亚
同步转速时，正常应为电动机运行，但可以在转子回路通入励磁电流使其工作于发电状态）
根据图中3-7以及能量守恒原理，流入的功率等于流出的功率：
11P P s P m ech =+
因为发电机亚同步运行，所以0>s ，所以上式可进一步写成：
1)1(P s P mech -=
将上述式子归纳得到，亚同步速，0>s ，2P P mech <
三、 双馈电机的数学模型
上一节，我们从双馈电机的稳态等效电路以及功率流向的角度分析了双馈电机的工作原理，但这对于控制来说是远远不够的，本节我们将从数学模型的角度来分析双馈电机，为下一步的控制做准备。

双馈电机的数学模型与三相绕线式感应电机相似，是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。

为了建立数学模型，一般作如下假设：
1. 三相绕组对称，忽略空间谐波，磁势沿气隙圆周按正弦分布
2. 忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是线性的
3. 忽略铁损
4. 不考虑频率和温度变化对绕组的影响。

在建立基本方程之前，有几点必须说明：
1. 首先要选定好磁链、电流和电压的正方向。

图3-9所示为双馈电机的物理模
型和结构示意图。

图中，定子三相绕组轴线A 、B 、C 在空间上是固定，a 、b 、c 为转子轴线并且随转子旋转，r θ为转子a 轴和定子A 轴之间的电角度。

它与转子的机械角位移m θ的关系为p r m n /θθ=，p n 为极对数。

各轴线正方向取为对应绕组磁链的正方向。

定子电压、电流正方向按照发电机惯例标示，正值电流产生负值磁链；转子电压、电流正方向按照电动机惯例标示，正值电流产生正值磁链。

2. 为了简单起见，在下面的分析过程中，我们假设转子各绕组各个参数已经折
算到定子侧，折算后定、转子每相绕组匝数相等。

于是，实际电机就被等效为图3-9所示的物理模型了。

双馈电机的数学模型包括电压方程、磁链方程、运动方程、电磁转矩方程等。

3.1 电压方程
选取下标s 表示定子侧参数，下标r 表示转子侧参数。

定子各相绕组的电阻均取
值为s r ，转子各相绕组的电阻均取值为r r 。

于是，交流励磁发电机定子绕组电压方程为：
A A s A D i r u ψ+-=
B B s B D i r u ψ+-=
C C s C
D i r u ψ+-=
转子电压方程为： a a r a D i r u ψ+=
b b r b D i r u ψ+=
c c r c D i r u ψ+=
可用矩阵表示为：
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡c b a C B A c b a C B A r
r r s s s c b a C B A D D D D D D i i i i i i r r r r r r u u u u u u ψψψψψψ0
00000000000000000000000000
（3-7）
或写成：
DψRi u +=
式中： c u u u u u u b a C B A 、、、、、 ——定子和转子相电压的瞬时值； c i i i i i i b a C B A 、、、、、
——定子和转子相电流的瞬时值；
c ψψψψψψ、、、、、b a C B A ——各组绕组的全磁链；
r s r r 、 ——定子和转子的绕组电阻
D
——微分算子
dt
d
3.2 磁链方程
定转子各绕组的合成磁链是由各绕组自感磁链与其它绕组互感磁链组成，按照
上面的磁链正方向，磁链方程式为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡------------------=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡c b a C B A cc cb
ca
cC
cB
cA bc bb ba bC bB bA ac ab aa aC aB aA Cc Cb Ca CC CB
CA Bc Bb Ba BC BB BA Ac Ab Aa AC AB AA c b a C B A i i i i i i L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ψψψψψψ （3-8）
或写成：
Li ψ=
式中的电感L 是个6*6的矩阵，主对角线元素是与下标对应的绕组的自感，其
他元素是与下标对应的两绕组间的互感。

由于各相绕组的对称性，可认定定子各相漏感相等，转子各相漏感也相等，定
义定子绕组每相漏感为ls L ，定子每相主电感为ms L ，转子绕组每相漏感为lr L ，转子每相主电感为mr L ，由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相等，故可认为：mr ms L L =。

定子各相自感为：
m s ls CC BB AA L L L L L +===
转子各相自感为：
m r lr cc bb aa L L L L L +===
两相绕组之间只有互感。

互感可分为两类：
1. 定子三相彼此之间和转子三相彼此之间的位臵是固定的，故互感为常值
2. 定子任一相和转子任一相之间的位臵是变化的，互感是r θ的函数
先看其中的第一类互感，由于三相绕组的轴线在空间的相位差是o 120，在假设气隙磁通为正弦分布的条件下，忽略气隙磁场的高次谐波，互感为：
ms o ms L L 2
1
)120cos(-=
于是：
mr
ac cb ba ca bc ab ms
AC CB BA CA BC AB L L L L L L L L L L L L L L 2
1
2
1
-======-======
至于第二类定、转子间的互感，当忽略气隙磁场的高次谐波，则可近似为是定、
转子绕组轴线电角度r θ的余弦函数。

当两套绕组恰好在同一轴线上时，互感有最大值sr L （互感系数），于是：
r sr cC Cc bB Bb aA Aa L L L L L L L θcos ======
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+======πθ32cos r sr cB Bc aC Ca bA Ab L L L L L L L
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-======πθ32cos r sr bC Cb aB Ba cA Ac L L L L L L L
代入磁链方程，就可以得到更进一步的磁链方程。

这里为方便起见，将他写成分块矩阵的形式：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡abc ABC rr rs
sr ss
abc ABC i i L L L L ψψ 其中： []T C B A ABC ψψψψ=； []T c b a abc ψψψψ=；
[]T
C B
A ABC i i i i =；
[]T
c b
a
abc i i i i =；
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
+---+---
+=ls ms ms ms ms ls ms ms
ms ms ls ms ss L L L L
L L L L L L L L L 212121212121
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
+-
--+--
-
+=lr mr
mr mr mr lr mr mr
mr mr lr mr rr L L L L
L L L L L L L L L 2
12
121212121
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==r
r r r r r r r r sr T
rs
rs L L L θπθπθπθθπθπθπθθcos 32cos 32cos 32cos cos 32cos 32cos 32cos cos
rs L 和sr L 两个分块矩阵互为转臵，
且与转角位臵r θ有关，他们的元素是变参数，这是系统非线性的一个根源。

为了把变参数转化为常参数需要进行坐标变换，这将在后面讨论。

需要注意的是：
1. 定子侧的磁链正方向与电流正方向关系是正值电流产生负值磁链，不同
于一般的电动机惯例，所以式3-8中出现了负号“-”；
2. 转子绕组经过匝数比变换折算到定子侧后，定、转子绕组匝数相等，且
各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可以认为转子绕组主电感、定子绕组主电感与定转子绕组间互感系数都相等。

即sr m r m s L L L ==
3.3 运动方程
交流励磁电机内部电磁关系的建立，离不开输入的机械转矩和由此产生的电磁转矩之间的平衡关系。

简单起见，忽略电机转动部件之间的摩擦，则转矩之间的平衡关系为：
dt
d n J T T p
e m ω
+
= （3-9）
式中，m T 为原动机输入的机械转矩，e T 为电磁转矩，J 为系统的转动惯量，p n 为电机极对数，ω为电机的电角速度。

从磁场能量根据机电能量转换原理，可以得出电磁转矩方程：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂+∂∂=
r r sr T s s r rs T r p e i L i i L i n T θθ21
=()()()⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-πθπθθ32sin 32sin sin r
b C a B
c A r a C c B b A r c
C b B a A sr p i i i i i i i i i i i i i i i i i i L n
应该指出，上述公式是在磁路为线性、磁场在空间按正弦分布的假定条件下得出的，但对定、转子的电流波形没有任何假定，它们都是任意的。

因此，上述电磁转矩公式对于研究由变频器供电的三相转子绕组很有实用意义。

上述若干式子构成了交流励磁发电机在三相静止轴系上的数学模型。

可以看出，该数学模型即是一个多输入多输出的高阶系统，又是一个非线性、强耦合的系统。

分析和求解这组方程式非常困难的，即使绘制一个清晰的结构图也并非易事。

为了使交流励磁电机具有可控性、可观性，必须对其进行简化、解耦，使其成为一个线性、解耦的系统。

其中简化、解耦的有效方法就是矢量坐标变换。

四、 坐标变换及变换阵
4.1 交流电机的时空矢量图
根据电路原理，凡随时间作正弦变化的物理量（如电动势、电压、电流、磁通
等）均可用一个以其交变频率作为角速度而环绕时间参考轴（简称时轴t ）逆时针旋转的时间矢量（即相量）来代替。

该相量在时轴上的投影即为缩小2倍的该物理量的瞬时值。

我们这里介绍的时空矢量图表示法是一种多时轴单相量表示法，即每相的时间相量都以该相的相轴作为时轴，而各相对称的同一物理量用一根统一的时间向量来代表。

如图3.10所示，只用一根统一的电流相量1I （定子电流）即可代表定子的对称三相电流。

不难证明，1I 在A 上的投影即为该时刻A i 瞬时值的2/1倍；在B 上的投影即为该时刻B i 瞬时值的2/1倍；在C 上的投影即为该时刻C i 瞬时值的2/1倍
有了统一时间相量的概念，我们就可以方便地将时间相量跟空间矢量联系起来，
将他们画在同一矢量图中，得到交流电机中常用的时空矢量图。

在图3-11所示的时空矢量图中，我们取各相的相轴作为该相的时轴。

假设某时刻m A I i +=达到正最大，
则此时刻统一相量A
I 应与A 重合。

据旋转磁场理论，这时由定子对称三相电流所生
成的三相合成基波磁动势幅值应与A 重合，即1F 应与A 重合，亦即与1I 重合。

由于时间相量1I 的角频率ω跟空间矢量1F 的电角速度1ω相等，所以在任何其他时刻，
1F 与1I 都始终重合。

为此，我们称1I 与由它所生成的三相合成基波磁动势1F 在时空
图上同相。

在考虑铁耗的情况下，1B 应滞后于1F 一个铁耗角Fe α，磁通相量m Φ 与1B 重合。

定子对称三相电动势的统一电动势相量1E 应落后于m Φ 为90度。

由电机学我们知道，当三相对称的静止绕组A 、B 、C 通过三相平衡的正弦电流
A i 、
B i 、c i 时产生的合成磁势F ，它在空间呈正弦分布，并以同步速度ω（电角速度）顺着A 、B 、
C 的相序旋转。

如图3-12-a 所示，然而产生旋转磁势并不一定非要三相电流不可，三相、四相等任意多相对称绕组通以多相平衡电流，都能产生旋转磁势。

如图3-12-b 所示，所示为两相静止绕组α、β，它们在空间上互差90度，当它们流过时间相位上相差90度的两相平衡的交流电流αi 、βi 时，也可以产生旋转磁动势。

当图3-12-a 和图3-12-b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3-12-a 中的两相绕组和图3-12-b 中三相绕组等效。

再看图3-12-c 中的两个匝数相等且相互垂直的绕组d 和q ，其中分别通以直流电流d i 和q i ，也能够产生合成磁动势F ，但其位臵相对于绕组来说是固定的。

如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以ω转速旋转，则磁势F 自然也随着旋转起来，称为旋转磁势。

于是这个旋转磁势的大小和转速与图3-12-a 和图3-12-b 中的磁势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前两套固定的交流绕组等效了。

当观察者站在图c 中的两相旋转绕组d 、q 铁芯上与绕组一起旋转时，在观察者看来这时两个通以直流电流的相互垂直的静止绕组。

这样就将对交流电机的控制转化为类似直流电机的控制了。

在交流励磁电机中，定子三相绕组、转子三相绕组都可以等效成这样的两相旋
转绕组。

由于相互垂直的原因，定子两相轴之间和转子两相轴之间都没有互感，又由于定子两相轴与转子两相轴之间没有相对运动（因为定、转子磁势没有相对运动），其互感必然是常数。

因而在同步两相轴系电机的微分方程就必然是常系数，这就为使用距阵方程求解创造了条件。

习惯上我们分别称图a,b,c 中三种坐标系统为三相静止坐标系（a-b-c 坐标系）、
两相静止坐标系（0--βα坐标系），两相旋转坐标系（d-q-0坐标系）。

要想以上三种坐标系具有等效关系，关键是要确定A i 、B i 、C i 与αi 、βi 和d i 、q i 之间的关系，以保证它们产生同样的旋转磁动势，而这就需要我们引入坐标变换矩阵。

坐标变换的方法有很多，这里我们只介绍根据等功率原则构造的变换阵，可以
证明根据等功率原则构造的变换阵的逆与其转臵相等，这样的变换阵属于正交变换。

4.2 3S/2S 变换
图3.4所示为交流电机的定子三相绕组A 、B 、C 和与之等效的两相电机定子绕
组βα、各相磁势的空间位臵。

当两者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和两相绕组的瞬间磁势沿βα、轴的投影相等，即：
即：
34sin
32sin 03
4cos 32cos
3323332π
πππβαC B s C B A s i N i N i N i N i N i N i N ++=++=
式中，3N 、2N 分别为三相电机和两相电机定子每相绕组匝数。

经计算并整理后，用距阵表示为：
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
--
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A
s s i i i N N i i 232302121123βα （3.3.1）
简记为：i C i
s s 23>-= 为求其逆变换，引入另一个独立于s i α、s i β的新变量0i ，称之为零序电流，并定义：
)(2
3
0C B A Ki Ki Ki N N i ++=
（3.3.2）
式中,K 为待定系数。

对两相系统而言，零序电流是没有意义的，这里只是为了纯数学上的求逆的需
要而补充定义的一个其值为零的零序电流（相应坐标系才称为0--βα坐标系）。

需
要说明的是，这并不影响总的变换过程。

式3.3.1 和式3.3.2合并后，s s C 23>-成为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=>-K K K N N C s
s 23230212112323
将s s C 23>-求逆，得到：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
---=->-K K K N N C s s 21232121232121013232123
根据前面所述的等功率原则，要求T
s s s s C C 231
23>-->-=。

据此，经过计算整理可得
2
1
,3223=
=K N N ，于是：
⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
---
=>-21212
1232302
12113223s
s C （3.3.3）
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡
---
==->->-2123212123212101321
2332s s s
s C C （3.3.4）
式3.3.3 和式3.3.4即为定子三相/两相静止轴系变化矩阵，以上两式同样适用于
定子电压和磁链的变化过程。

需要注意的是，当把以上两式运用于转子轴系的变换
时，变换后得到的两相轴系和转子三相轴系一样，相对转子实体是静止的，但是，相对于静止的定子轴系而言，却是以转子角频率r ω旋转的。

因此和定子部分的变换不同，转子部分实际上是三相旋转轴系变换成两相旋转轴系。

4.3 2S/2r 变换
如图3-14所示，s i 为定子电流空间矢量，图中d-q-0坐标系是任意同步旋转坐
标系，旋转角速度为同步角速度1ω。

由于两相绕组βα-在空间上的位臵是固定的，因而d 轴和α轴的夹角ϕ随时间而变化（dt
d ϕω=1），在矢量变换控制系统中，ϕ通常称为磁场定向角。

由上图可以看出：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡qs ds s s i i i i ϕϕϕϕβαcos sin sin cos 令：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=>-ϕϕϕϕcos sin sin cos 22s
r C （3.3.5）
式3.3.5表示了由两相同步旋转坐标系到两相静止坐标系的矢量旋转变换矩阵。

由于变换矩阵s r C 22>-是一个正交矩阵，所以s r T s r C C 22221>->--=。

因而，由静止
坐标系变换到同步旋转坐标系的矢量变换方程式为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-s s s s qs ds i i i i i i βαβαϕϕϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos cos sin sin cos 1
（3.3.6）
令：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==->->-ϕϕϕϕcos sin sin cos 1
2222r s r s C C （3.3.7）
式3.3.7表示了两相静止坐标系到两相同步旋转坐标系的矢量旋转变换矩阵。

仿照两相同步旋转轴系到两相静止坐标系的矢量旋转变换，可以得到旋转两相
d ’-q’-0轴系到两相静止轴系的坐标变换过程。

⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡qr dr r r r r r r i i i i θθθθβαcos sin sin cos （3.3.8）
式中，dr i 、qr i 为经s s C 23>-变换所得的转子两相旋转d ’-q ’-0轴系的电流，r i α、r
i β为两相静止轴系下的电流，r θ为转子转过的空间电角度。

（注：此处r θ应是()t r ωω-1，而α、β坐标系应随转子转动。

但如果假设转子不动，则）
4.4 3S/2r 变换
将3S/2S 变换和2S/2R 变换合并成一步就得到三相静止坐标系和d-q-0坐标系之
间的定子量的变换矩阵，推倒如下：
按式3.3.6，有：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010
0cos sin 0sin cos 0s s qs ds i i i i i βαϕϕϕϕ
又由于：[
][]T
C B
A s s T
s
s
i i i C i i i 230>-=βα，代入上式可得：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡C B A qs ds i i i i i i 21212132sin 32sin sin 32cos 32cos cos 0πϕπϕϕπϕπϕϕ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡>-C B A r s i i i C 23
（3.3.9）
由于等功率坐标变换矩阵为正交矩阵，易知：r s T s r C C 2332>->-=
两相同步旋转坐标系下的转子量可以经过如下变换得到：先利用式3.3.8的变换
矩阵得到ｄ’-q’-0轴系下的转子量；再利用式3.3.8实现到0--βα坐标系的转换；最后利用式3.3.7的变换矩阵，最终得到两相同步旋转坐标系下的转子量。

经推导，以上三个步骤可合并为一个坐标变换矩阵：
()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a r r r r r r qr dr i i i i i i 21212132sin 32sin sin 32cos 32cos )cos(0πθϕπθϕθϕπθϕπθϕθϕ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡>-c b a r s i i i C 23
（3.3.10）
同样，以上变换也满足等功率原则，该变换矩阵仍为正交矩阵。

由于转子绕组变量可以看作是处在一个以角速度r ϖ旋转的参考坐标系下，对应
式3.3.9，转子各变量可直接以角度差r θϕ-的关系变换到同步d-q 坐标系下（相应地，()dt
d r r θϕωω-=-1）。

显然，式3.3.10与这一思路完全吻合。

最后，有必要指出，以上坐标变换矩阵同样适用于电压和磁链的变换过程，而
且变换是以各量的瞬时值为对象的，同样适用于稳态和动态。

对三相坐标系到两相坐标系的变换而言，由于电压变换矩阵与电流变换矩阵相同，两相绕组的额定相电流和额定电压均增加到三相绕组额定值的2/3倍，因此每相功率增加到3/2倍，但是相数已由3变为2，故总功率保持不变。

五、 同步旋转两相d-q 坐标系下双馈发电机的数学模
型
定子绕组接入无穷大电网，定子旋转磁场电角速度为同步角速度1ω，因此，前面我们选用在空间中以恒定同步速1ω旋转的d-q-0坐标系下的变量替代三相静止坐标系下的真实变量来对电机进行分析。

在稳态时，各电磁量的空间矢量相对于坐标轴静止，这些电磁量在d-q-0坐标系下就不再是正弦交流量，而成了直流量。

交流励磁发电机非线性、强耦合的数学模型在d-q-0同步坐标系中变成了常微分方程，电流、磁链等变量也以直流量的形式出现，如图3-15所示：
采用前面的正方向规定，即定子取发电机惯例，转子取电动机惯例时，三相对称双馈发电机的电压方程、磁链方程、运动方程和功率方程及其详细推倒过程如下：
5.1 电压方程
1、定子电压方程
要实现三相坐标系向同步旋转d-q-0坐标系的变换，可利用坐标变换矩阵
r s C 23>-来进行。

重写三相坐标系下的定子电压方程如下：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡C B A C B A s s s
C B A
D D D i i i r r r u u u ψψψ0
00000
对上式两边乘以坐标变换矩阵r s C 23>-，有：。