【金榜教程】高三总复习人教A版数学(理)配套：第6章 第2讲 PPT 课件

第六章 第2讲
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课前自主导学 核心要点研究 课课精彩无限 经典演练提能 限时规范特训
课前自主导学
第六章 第2讲
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1. 一元二次不等式的解集 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2 ＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：
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即 f(x)＝ax2－x＋2a 的图象不在 x 轴的下方， ∴aΔ>≤0，0， 即a1>－08a2≤0 ， 解得 a≥ 42，即 a 的取值范围是[ 42，＋∞).
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________．
(2)[2012·重庆高考]不等式2xx－＋11≤0 的解集为(
)
A. －12，1 B. －12，1
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C. －∞，－12∪[1，＋∞) D. －∞，－12∪[1，＋∞) [解析] (1)(x－2)(x－3)≤0,2≤x≤3， ∴解集为{x|2≤x≤3}．
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②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]． 法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－ a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
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0<a<1 时，不等式解集为{x|1<x<1a} a>1 时，不等式解集为{x|1a<x<1} a<0 时，不等式解集为{x|x<1a或 x>1} 当 a＝1 时，不等式解集为∅.
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[变式探究] 解下列关于x的不等式： (1)x2－(a2＋a)x＋a3>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. 解： (1)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0， ①当a2－a>0，即a>1或a<0时， 原不等式的解为x>a2或x<a. ②当a2－a<0，即0<a<1时， 原不等式的解为x<a2或x>a；
(2)不等式2xx－＋11≤0 等价于2xx－＋11≠2x0＋，1≤0， [答案解] 得(1－){12x<|2x≤≤x≤13.} (2)A
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奇思妙想：本例(2)变为2xx－＋11≥1，则其解集又如何？ 解：2xx－＋11－1≥0⇔2xx＋＋21≤0⇔－2≤x<－12，所以不等
式解集{x|－2≤x<－12}．
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解一元二次不等式的一般步骤：(1)变形，使一端为0且二 次项系数大于0; (2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应 的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等 式的解集．
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(1)解下列不等式： ①2x2＋5x－3>0 的解集为____________． ②－3x2－2x＋8≥0 的解集为____________． (2)解下列不等式： ①23xx－ ＋11≤0 的解集________． ②x＋x 1≤2 的解集________．
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例2 (1)[2012·福建高考]已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0 在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
(2) 已 知 f(x) ＝ x2 － 2ax ＋ 2(a∈R) ， 当 x∈[ － 1 ， ＋ ∞) 时 ， f(x)≥a恒成立，则a的取值范围是________．
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不等式ax2＋2ax＋4≥0恒成立，对一切x的值，求a的取值 范围．
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不等式ax2－x＋2a<0的解集为∅，则a的取值范围________.
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Δ>0， 即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a<－1，
g－1≥0. 解得－3≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[－3,1]．
[答案] (1)(0,8) (2)[－3,1]
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③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时， 原不等式的解为x≠a. 综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为{x|x>a2或x<a} 当0<a<1时，不等式解集为{x|x<a2或x>a} 当a＝0或a＝1时，不等式解集为{x|x≠a}． (2)原不等式化为(ax－1)(x－1)<0. ①当a＝0时，其解为x>1；
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(2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 恒成立的等价条件为
a<0， Δ<0；
(3)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 解集为∅的等价条件为
a<0， Δ≤0；
(4)一元二次不等式 ax2＋bx＋c≤0 解集为∅的等价条件
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第2讲 一元二次不等式的解法
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不同寻常的一本书，不可不读哟！
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1个重要关系 三个二次的关系：一元二次不等式的解集的端点与相应的 一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相 同．
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2种必会方法 1. 解一元二次不等式时，首先将不等式标准化，再确定相 应的方程的根，最后根据图象写出解集. 对于Δ<0，Δ＝0等特殊 情况的解集要从本质上理解． 2. 解含参的一元二次不等式恒成立问题，一是转化为一元 二次不等式解集为R的情况来解，二是分离参变量，转化为最 值问题去处理．
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、 一元二次方程的关系． 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设 计求解的程序框图.
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②当 0<a<1 时，其解为 1<x<1a； ③当 a>1 时，其解为1a<x<1； ④当 a＝1 时，无解； ⑤当 a<0 时，不等式化为(x－1a)(x－1)>0，其解为 x<1a或 x>1. 综上所述 a＝0 时，不等式解集为{x|x>1}
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若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
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Hale Waihona Puke 第六章 第2讲第32页
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奇 思 妙 想 ： 本 例 (1) 条 件 变 为 “ 关 于 x 的 不 等 式 x2 － ax ＋ 2a≤3的解集不是空集”问题不变，该如何解答？
解：原不变式变为x2－ax＋2a－3≤0，由Δ≥0，知不等式的 解集不是空集，解得a≥6或a≤2.
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[解析] (1)由Δ＝a2－8a<0，得0<a<8. (2)法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴 为x＝a. ①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a，恒成立，只需f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；
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例 1 (1)[2012· 湖南高考 ]不 等 式 x2 －5x＋ 6≤0 的解集为
为aΔ><00，；
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注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次 项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析， 检验此时是否符合条件．
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2．想一想：提示：a＝0 时，4≥0 显然成立 a≠0 时，aΔ>≤00 ， ⇒0<a≤4，综上 a 的值为[0,4]． 填一填：[ 42，＋∞) 提示：依题意可知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成立， 当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立，故 a＝0 舍去； 当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立，
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2．一元二次不等式中的恒成立问题 一元二次不等式中的恒成立问题，应结合相应的二次函 数图象和方程根的情况(用判别式)，寻找其成立的条件． (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 恒成立的等价条件为 a>0， Δ<0；
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1. {x|x<x1 或 x>x2} {x∈R|x≠－2ba} R {x|x1<x<x2}
∅∅
填一填：(1){x|x<－3
或
1 x>2}
{x|－2≤x≤43}
(2){x|－13
<x≤12} {x|x<0 或 x≥1}
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3项必须防范 1. 二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解 集；不要忘了二次项系数是否为零的情况． 2. 解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对 根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行 分类讨论，分类要不重不漏． 3. 在集合的运算、求函数的定义域时，经常用到解一元二 次不等式(组)，此时要注意解集端点值的取舍.