2021年公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数

公因数、最大公因数、公倍数和最小
公倍数
欧阳光明（2021.03.07）
1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；
2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；
【知识点1】最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。

其中最大的那个就叫它们的最大公因数。

【知识点2】最大公因数求法
1、列举法
先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）
找8和6的最大公因数
8的因数有1、2、4、8
6的因数有1、2、3、6
8和6的最大因数数是2。

2、观察法(特殊情况)
1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。

2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。

3）两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法
案件分解：
●两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。

8和16的最大公因数（ 8 ） 4和8的最大公因数（ 4 ）
9和3的最大公因数（ 3 ） 28和7的最大公因数（ 7 ）
●两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的
最大公因数就是1。

✧相邻两个自然数(0除外)
2和3的最大公因数是（ 1 ） 8和9的最大公因数是（ 1 ）99和98的最大公因数是（ 1 ）
✧两个不同的质数
5和7的最大公因数是（1 ）17和29的最大公因数是（ 1 ） 11和19的最大公因数是（ 1 ）
✧两个互质的合数
4和9的最大公因数是（ 1 ） 20和49的最大公因数（ 1 ）25和69的最大公因数是（ 1 ）
●两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法
把较小的数缩小（除以2、3、4……）每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。

18和48的最大公因数
先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6，6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。

16和36的最大公因数
16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4，4是36的因数，那么16和36的最大公因数4。

练习一：
说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最大公因数。

5和11 8和9 4和8 8和10
9和628和7 5和8 20和25
【知识点4】最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

【知识点5】最小公倍数的求法
1、列举法
先分别写各自的（倍数），再找它们的（公倍数），然后在公倍数里找它们的（最小公倍数）
找6和8的最小公倍数。

6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，……
8的倍数有：8，16，24，32，40，48，……
6和8的公倍数：24，48，……其中24是6和8的最小公倍数。

2、观察法(特殊情况)
1）两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。

2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的乘
积。

3）两个数不是倍数和互质关系，大数翻倍法。

案件分解：
●两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。

8和16的最小公倍数（ 16 ） 4和8的最小公倍数（ 8 ）
9和3的最小公倍数（ 9 ） 28和7的最小公倍数（ 28 ）
●两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的
乘积。

✧相邻两个自然数(0除外)
2和3的最小公倍数是（ 6 ） 8和9的最小公倍数是（ 72 ） 99和98的最小公倍数是（ 9702 ）
✧两个不同的质数
5和7的最小公倍数是（ 35 ）17和29的最小公倍数是（ 493 ） 11和19的最小公倍数是（ 209 ）
✧两个互质的合数
4和9的最小公倍数是（ 36 ） 20和49的最小公倍数（ 980 ） 25和69的最小公倍数是（ 1725 ）
●两个数不是倍数和互质关系，用大数翻倍法
把较大的数翻倍（乘以2、3、4……）每次翻倍后看得到的积是不是另一个数的倍数，直到所得的积是另一个数的倍数为止。

练习二：
（1）说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最小公倍数。

5和11 8和9 4和8 8和10
9和628和7 5和8 20和25
（2）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。

2和8 3和8 6和15 6和9 4和10 8和10
【知识点6】最大的公倍数
●两个数有没有最大的公倍数？为什么？
因为每一个数的倍数的个数都是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的。

因此，两个数没有最大的公倍数。

●如果给定一个范围，两个数的最大公倍数存在吗？
在给定的范围内，两个数的最大公倍数是存在的。

【知识点7】最大公因数与最小公倍数的应用
1、兴趣小组有24个女生，32个男生现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？
想：小组的个数在24之内，并且小组的个数是24和32的公因数，又问最多能分多少个小组，所以小组个数是24和32的最大公因数。

（24，32）=8 24÷8=3（人） 32÷8=4（人）
答：最多可以分成8组；每组最多有3个女生，4个男生。

2、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。

这包糖至少有多少块？只能求出最小公倍数，最大公因数却要另考虑
想：这包糖8个人正好分，10个人也正好分，说明这包糖的块数是8和10的公倍数，又问这包糖至少有多少块，所以要求的这包糖是8和10的最小公倍数。

若是问这包糖有多少块？那只要是8和10的公倍数都符合要求，而8和10的公倍数有无数个，没有范围。

[8，10]=40
答：这包糖至少有40块。

3、同学们参加文艺表演，人数在60—80之间。

如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。

参加文艺表演的学生有多少人？
想：分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完，说明表演的人数是3，4，6和8的公倍数，[3，4，6，8]=24，而人数又在给定范围．．．．60—80间，所以求的是在60—80间的3，4，6和8的最大公倍数，即48。

答：参加文艺表演的学生有48人。

由此可见，在一定范围内的需求最大公因数，没有范围的需求最小公倍数。

给定范围的可求最大公倍数。