圆锥曲线中一类垂直与斜率关系的探讨

圆锥曲线中一类垂直与斜率关系的探讨
高继浩
(四川省名山中学ꎬ四川雅安６２５１００)
摘㊀要:本文对一道广东省高三联考题进行解法探究ꎬ并由此题引出椭圆中垂直与斜率关系的一类问题ꎬ且将相关结果类比到双曲线和抛物线中.
关键词:圆锥曲线ꎻ垂直ꎻ斜率ꎻ切线
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２２－００４９－０３
收稿日期:２０２３－０５－０５
作者简介:高继浩(１９８７－)ꎬ男ꎬ四川省天全人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.
㊀㊀题目㊀(广东省２０２３届高三第一次联考)椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左焦点为Ｆ１ꎬ右焦点为Ｆ２ꎬ离心率ｅ＝１
２ꎬ过点Ｆ１的直线交椭圆于ＡꎬＢ两
点ꎬ且әＡＢＦ２的周长为８.
(１)求椭圆Ｅ的方程ꎻ
(２)设动直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｍ与椭圆Ｅ有且只有
一个公共点Ｐꎬ且与直线ｘ＝４相交于点Ｑꎬ试探究:在ｘ轴上是否存在定点Ｍꎬ使得以ＰＱ为直径的圆恒过点Ｍ?若存在ꎬ求出点Ｍ的坐标ꎻ若不存在ꎬ说明理由.
１解法探究
根据椭圆定义易得试题第(１)问椭圆Ｅ的方程为
ｘ２
４＋ｙ
２
３＝１ꎬ下面探究第(２)问的解法.视角１㊀利用判别式求解.
解法１㊀联立直线ｌ与椭圆的方程ꎬ消去ｙ得(４ｋ２＋３)ｘ２＋８ｍｋｘ＋４ｍ２－１２＝０.
因为直线ｌ与椭圆有且只有一个公共点Ｐꎬ故Δ＝(８ｍｋ)２－４(４ｋ２＋３)(４ｍ２－１２)＝０.化简ꎬ得ｍ２－４ｋ２＝３ꎬ显然ｍʂ０ꎬ于是ｘＰ＝－
４ｍｋ４ｋ２
＋３
＝－４ｋ
ｍꎬｙＰ＝ｋｘＰ＋ｍ＝ｍ２－４ｋ２ｍ＝３
ｍ.
即Ｐ(－
４ｋｍꎬ３ｍ).联立ｘ＝４与ｙ＝ｋｘ＋ｍ得Ｑ(４ꎬ４ｋ＋ｍ).设在ｘ轴上存在定点Ｍ(ｔꎬ０)满足题意ꎬ则ＭＰң＝(－４ｋｍ－ｔꎬ３
ｍ)ꎬＭＱң＝(４－ｔꎬ４ｋ＋ｍ).
由ＭＰң ＭＱң
＝０ꎬ得(－
４ｋｍ－ｔ)(４－ｔ)＋３
ｍ
(４ｋ＋ｍ)＝０.整理ꎬ得(ｔ－１)(
４ｋ
ｍ
＋ｔ－３)＝０.此式对任意实数ｋꎬｍ(ｍʂ０)恒成立ꎬ故ｔ＝１.所以存在定点Ｍ(１ꎬ０)ꎬ使得以ＰＱ为直径的圆恒过点Ｍ.
因为过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上一点Ｐ(ｘ０ꎬ
ｙ０)的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙ
ｂ
２＝１ꎬ所以我们可以用以下方式解答.
９４
视角２㊀利用切线结论求解.
解法２㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则直线ｌ的方程可写为
ｘ０ｘ４＋ｙ０ｙ
３
＝１ꎬ显然ｙ０ʂ０.将ｘ＝４代入解得ｙＱ＝３(１－ｘ０)ｙ０ꎬ即Ｑ(４ꎬ３(１－ｘ０)
ｙ０
).设在ｘ轴上存在定点Ｍ(ｔꎬ０)满足题意ꎬ则ＭＰң＝(ｘ０－ｔꎬｙ０)ꎬＭＱң
＝(４－ｔꎬ３(１－ｘ０)ｙ０
).
由ＭＰң ＭＱң
＝０ꎬ得
(ｘ０－ｔ)(４－ｔ)＋ｙ０ ３(１－ｘ０)
ｙ０＝０.
整理ꎬ得(ｔ－１)(ｔ－３－ｘ０)＝０.
此式对任意实数ｘ０恒成立ꎬ故ｔ＝１.所以存在定点Ｍ(１ꎬ０)ꎬ使得以ＰＱ为直径的圆恒过点Ｍ[１].解法３㊀(参数法)设Ｐ(２ｃｏｓθꎬ３ｓｉｎθ)ꎬ则直线
ｌ的方程可写为ｘｃｏｓθ２＋３ｙｓｉｎθ
３
＝１ꎬ显然ｓｉｎθʂ０.
将ｘ＝４代入解得ｙＱ＝３(１－２ｃｏｓθ)
ｓｉｎθ.
即Ｑ(４ꎬ
３(１－２ｃｏｓθ)
ｓｉｎθ
).
设在ｘ轴上存在定点Ｍ(ｔꎬ０)满足题意ꎬ则ＭＰң
＝(２ｃｏｓθ－ｔꎬ３ｓｉｎθ)ꎬＭＱң＝(４－ｔꎬ３(１－２ｃｏｓθ)
ｓｉｎθ
).
由ＭＰң ＭＱң
＝０ꎬ得
(２ｃｏｓθ－ｔ)(４－ｔ)＋３ｓｉｎθ
３(１－２ｃｏｓθ)
ｓｉｎθ
＝０.
整理ꎬ得(ｔ－１)(ｔ－３－２ｃｏｓθ)＝０.
此式对任意θ恒成立ꎬ故ｔ＝１ꎬ所以存在定点Ｍ(１ꎬ０)ꎬ使得以ＰＱ为直径的圆恒过点Ｍ.
２拓展探究
试题第(２)问中满足条件的点Ｍ恰好是椭圆的右焦点ꎬ将其进行拓展可得:
命题１㊀已知椭圆
ｘ２
ａ２＋ｙ
２
ｂ２
＝１(ａ>ｂ>０)的右焦点为Ｆ(ｃꎬ０)ꎬ过椭圆上一点Ｐ的切线与直线ｘ＝
ａ２
ｃ相交于点Ｑꎬ则ＦＰʅＦＱ.
证明㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则过点Ｐ的切线方程为
ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ
２＝１ꎬ显然ｙ０ʂ０.将ｘ＝ａ２
ｃ代入解得ｙＱ＝
ｂ２(ｃ－ｘ０)ｃｙ０.即Ｑ(ａ２ｃꎬｂ２
(ｃ－ｘ０)
ｃｙ０
).故ＦＰң ＦＱң＝(ｘ０－ｃꎬｙ０) (ｂ２ｃꎬｂ２
(ｃ－ｘ０)ｃｙ０
)＝０.
故ＦＰʅＦＱ[２].
命题２㊀已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)和点
Ｍ(ｍꎬ０)(ｍʂ０ꎬｍʂʃａ)ꎬ过椭圆上一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)的切线与直线ｘ＝ａ２
ｍ
相交于点Ｑ.
(１)若ｘ０＝ｍꎬ则ＭＰʅＭＱꎻ(２)若ｘ０ʂｍꎬ直线ＭＰꎬＭＱ的斜率分别为ｋ１ꎬ
ｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２＝ｂ２
ｍ２－ａ２
.
证明㊀显然ｙ０ʂ０.
(１)若ｘ０＝ｍꎬ则过点Ｐ的切线方程为
ｍｘａ２＋ｙ０ｙｂ
２＝１.将ｘ＝ａ２
ｍ代入解得ｙＱ＝０.此时直线ＭＰ的斜率
不存在ꎬ直线ＭＱ的斜率为０ꎬ故ＭＰʅＭＱ.
(２)若ｘ０ʂｍꎬ过点Ｐ的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙ
ｂ
２＝１.将ｘ＝ａ２
ｍ代入解得ｙＱ＝ｂ２(ｍ－ｘ０)ｍｙ０
.
即Ｑ(ａ２ｍꎬｂ２
(ｍ－ｘ０)ｍｙ０
).
所以ｋ１ｋ２＝ｙ０ｘ０－ｍ ｂ２(ｍ－ｘ０)/ｍｙ０ａ２/ｍ－ｍ＝ｂ２
ｍ２－ａ２
.
命题３㊀已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２
ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)和点
Ｍ(０ꎬｍ)(ｍʂ０ꎬｍʂʃｂ)ꎬ过椭圆上一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)的切线与直线ｙ＝ｂ２
ｍ
相交于点Ｑ.
(１)若ｙ０＝ｍ
ꎬ则ＭＰʅＭＱꎻ
(２)若ｙ０ʂｍꎬ直线ＭＰꎬＭＱ的斜率分别为ｋ１ꎬ
０５
ｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２＝ｍ２－ｂ２
ａ２
.
证明㊀显然ｘ０ʂ０.
(１)若ｙ０＝ｍꎬ则过点Ｐ的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｍｙ
ｂ２
＝１.将ｙ＝
ｂ
２
ｍ
代入解得ｘＱ＝０.此时直线ＭＰ的斜率为０ꎬ直线ＭＱ的斜率不存在ꎬ故ＭＰʅＭＱ.
(２)若ｙ０ʂｍꎬ过点Ｐ的切线方程为
ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙ
ｂ
２＝１.将ｙ＝ｂ２
ｍ代入解得ｘＱ＝ａ２(ｍ－ｙ０)ｍｘ０.即Ｑ(ａ２(ｍ－ｙ０)ｍｘ０ꎬ
ｂ２ｍ).所以ｋ１ｋ２＝ｙ０－ｍｘ０ ｂ２/ｍ－ｍａ２(ｍ－ｙ０)/ｍｘ０＝ｍ２－ｂ２
ａ２
.３类比探究
对双曲线进行探究ꎬ得到:
命题４㊀已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２
ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的
右焦点为Ｆ(ｃꎬ０)ꎬ过双曲线上一点Ｐ的切线与直线ｘ＝
ａ
２
ｃ
相交于点Ｑꎬ则ＦＰʅＦＱ.命题５㊀已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２
ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)和
点Ｍ(ｍꎬ０)(ｍʂ０ꎬｍʂʃａ)ꎬ过双曲线上一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)的切线与直线ｘ＝ａ２
ｍ
相交于点Ｑ.
(１)若ｘ０＝ｍꎬ则ＭＰʅＭＱꎻ(２)若ｘ０ʂｍꎬ直线ＭＰꎬＭＱ的斜率分别为ｋ１ꎬ
ｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２＝ｂ２
ａ２－ｍ２
.
命题６㊀已知双曲线ｘ２ａ２－ｙ２
ｂ
２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)和
点Ｍ(０ꎬｍ)(ｍʂ０)ꎬ过双曲线上一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)的切线与直线ｙ＝－ｂ２
ｍ
相交于点Ｑ.
(１)若ｙ０＝ｍꎬ则ＭＰʅＭＱꎻ(２)若ｙ０ʂｍꎬ直线ＭＰꎬＭＱ的斜率分别为ｋ１ꎬ
ｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２＝ｍ２＋ｂ２
ａ２
.
命题４㊁命题５㊁命题６的证明与命题１㊁命题２㊁命题３类似ꎬ略.
对抛物线进行探究ꎬ得到:
命题７㊀已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ过抛物线上一点Ｐ的切线与直线ｘ＝－ｐ
２
相交于点Ｑꎬ则ＦＰʅＦＱ.
证明㊀设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则过点Ｐ的切线方程为
ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ＋ｘ０)ꎬ显然ｙ０ʂ０.将ｘ＝－ｐ
２
代入解得ｙＱ＝
ｐ(２ｘ０－ｐ)２ｙ０.即Ｑ(－ｐ２ꎬｐ(２ｘ０－ｐ)２ｙ０).而Ｆ(ｐ
２
ꎬ０)ꎬ
所以ＦＰң ＦＱң＝(ｘ０－ｐ
２ꎬｙ０) (－ｐꎬｐ(２ｘ０－ｐ)２ｙ０
)＝０ꎬ
故ＦＰʅＦＱ.
命题８㊀已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)和点
Ｍ(ｍꎬ０)(ｍʂ０)ꎬ过抛物线上一点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)的切线与直线ｘ＝－ｍ相交于点Ｑ.
(１)若ｘ０＝ｍꎬ则ＭＰʅＭＱꎻ(２)若ｘ０ʂｍꎬ直线ＭＰꎬＭＱ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２＝－
ｐ
２ｍ
.证明㊀显然ｙ０ʂ０.
(１)若ｘ０＝ｍꎬ则过点Ｐ的切线方程为ｙ０ｙ＝
ｐ(ｘ＋ｍ).将ｘ＝－ｍ代入解得ｙＱ＝０.此时直线ＭＰ的斜率不存在ꎬ直线ＭＱ的斜率为０ꎬ故ＭＰʅＭＱ.
(２)若ｘ０ʂｍꎬ过点Ｐ的切线方程为ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ＋ｘ０).将ｘ＝－ｍ代入得ｙＱ＝
ｐ(ｘ０－ｍ)
ｙ０
.即Ｑ(－ｍꎬｐ(ｘ０－ｍ)ｙ０).所以ｋ１ｋ２＝ｙ０ｘ０－ｍ ｐ(ｘ０－ｍ)/ｙ０－ｍ－ｍ＝－ｐ
２ｍ
.参考文献:
[１]高继浩.探究一类椭圆和双曲线试题中的三线
斜率关系[Ｊ].数学通讯(下半月)ꎬ２０２２(０５):４２－４３ꎬ６０.
[２]高继浩.一道解析几何恒成立问题的探究[Ｊ].
中学数学教学ꎬ２０２２(０３):５０－５１ꎬ７４.
[责任编辑:李㊀璟]
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