陕西省渭南市临渭区尚德中学2020届高三数学上学期第二次月考试题文

陕西省渭南市临渭区尚德中学2020届高三数学上学期第二次月考试
题 文
考试时间：120分钟，试卷满分：150分
一、
选择题（本题共 12 小题，每题 5 分，共计 60
分）
⒈ 设集合 A {1,1,2,3,5}, B {2,3,4}, C {x R /1 x 3},则(A C )
B
（ ）
A .{2}
B .{2,3}
C .{1,2,3}
D .{1,2,3,4}
⒉设 a sin 2, b log 0.3 , c 4
0.5
，则（ ）
A . b a c
B . a b c
C . c a b
D . b c a
⒊已知sin x
3
，则cos x
（ ）
3
5
6
A .
B .
C .
D .
⒋已知
向量
A.
⒌已知sin cos
，则sin 2（ ）
A ..
B .
C .
D .
⒍ 函数 y x ln x ,则其在点 x 1处的切线方程是( )
A. y 2x
2
B. y 2x
2 C. y x 1
D. y x 1
⒎ 函数 f (x ) sin(2x )，(0,)的图象向左平移个单位得到函数 g (x ) 的图象，
12
已知 g (x ) 是偶函数，则 tan( ) （ ） 6
， ，且 ，则 B.
C.
D.
A . 3 B.
3
C
.
3 3
2x
sin 6x
⒏函数y x 21的图象大致为（）
4
A. B.
C.
⒐设的内角，，所对的边分别为，，，若b cos C c cos
B a sin A，则的形状为
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
⒑在
A.
2x 1 2, x 1
⒒已知函数f (x) ，且f () 3，则f (6 ) （）
log2 (x 1),x 1,
A. B. C. D.
⒓设函数f (x) 是定义在R 上的奇函数，f / (x) 为其导函数．已知f (1) 0，当x 0时，f (x) xf / (x) 0，则不等式xf (x) 0的解集为（）
A. (1,0) (0,1)
B. (,1)
(1,)
3.
D
3
D.
中，为边上的中线，为的中点，则
B. C. D.
C . (1,0) (1,) D. (,1)
(0,1)
卷II（非选择题）
二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分）
sin7 cos15sin8
13.的值为________． cos7 sin15sin8
14.函数f (x ) A sin(x ) ，(A ,,是常数，A 0, 0, 0 ）的
部分图象
2
如图所示，则
f ( ) ________．
3
15.已知向量，满足＝
________．
16.关于函数f (x) 4sin(2x )(x R),有下列命题：
3
①由f (x1) f (x2 ) 0 可得x1 x2 必是的整数倍；
②y f (x)的表达式可改写为y 4cos(2x )；
6
③y f (x)的图象关于点(,0) 对称；
6
④y f (x)的图象关于直线x 对称．
6
其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题序号都填上）二、解答题（本
＝，＝，两向量的夹角为，则
大题共计 70 分，解答时写出必要的文字说明及步骤）
17.（10 分）在ABC 中，a 2 c2 b2 2ac.
⑴求B的大小；
⑵求2 cos A cos C 的最大值。

18.（10 分）设函数f (x) 3sin x cos x cos2 x ．
⑴求f (x) 的最小正周期及值域；
⑵求f (x) 的对称轴方程和单调递增区间．
19.（12 分）设a n是等差数列，a1 10，且a2 10 ，a3 8，a4 6 成等比数列.
⑴求a n的通项公式；
⑵记a n的前n项和为S n ，求S n 的最小值.
20.（12 分）已知函数f (x) x3 ax 2 bx c在x 1和x 1
时取极值，且f (2) 4.
⑴求a与b 的值；
⑵求函数y f (x)的单调区间和极值。

21.（12 分）设ABC 是锐角三角形，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c，并且，．
m sin A sin B,sin(B),n sin(B),sin A sin B.
3 3
⑴求角A的值；
⑵若ABC 的面积S 53 ，b 5, 求sin B sin C 的值．
22.（14 分）已知函数f (x) e x x2 a，x R的图象在点x 0处的切线为y
bx ．
⑴求a,b的值；
⑵当x R时，求证：f (x) x2 x；
⑶若f (x) kx对任意的x(0,) 恒成立，求实数k 的取值范围．
详解
卷I（选择题）
一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计 60 分）
1. 设集合A = { − 1,1,2,3,5}，B = {2,3,4}，C = {x ∈R|1 ≤ x < 3}，则
(A ∩C) ∪B =( )
A.{2}
B.{2,3}
C.{ − 1,2,3}
D.{1,2,3,4}
【答案】
D
【考点】交、并、补集的混合运算
【解析】此题暂无解析
【解答】
解：由题意解得，
A ∩C = {1,2}，
(A ∩C) ∪B = {1,2,3,4}.
故选D.
2.设a＝sin2，b＝log0.3π，c＝40.5，则（）
A.b < a < c
B.a < b < c
C.c < a < b
D.b < c < a 【答案】
A
【考点】对数值大小的比较
【解析】
容易得出0sin21,log0.3π0,40.51，从而得出a，b，c 的大小关系．
∵ 0 < sin 2 < 1，log 0.3π < log 0.31＝0，40.5
> 40＝1，
∴ b < a < c ．
3. 已知 sin (
− x) = 3，则 cos (x +)＝（）
A.−
B.−
C. D.
【答案】 D
【考点】两角和与差的三角函数 【解析】
由诱导公式可知 cos (x +)＝cos [ − ( − x)]＝sin ( − x) =
【解答】 cos (x +)＝cos [
− ( − x)]＝sin ( − x) =
→
由已知向量的坐标求出→a + b 的坐标，再由(→a + b) ⊥b 列式求得 m 值．
4. 已知向量a = (1, m)，b = (0, − 2)，且(→a + b) ⊥b ，则 m 等 于（）
A.− 2
B.− 1
C.1
【答案】 D
【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】 D.2
→ → →
∵
a →
= (1, m)，
b →
= (0, − 2)，
∴ →
a + →
b = (1, m − 2)，又(→a + →b ) ⊥→b ，∴ 0 × 1 − 2(m − 2)＝0，
即 m ＝2．
5. 已知 sin α − cos α = 4
，则 sin 2α = ( )
A.−
B.−
C.
D.
【答案】 A
【考点】求二倍角的正弦【解析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出． 【解答】 解：
，
∴ (sin α − cos α)2
= 1 − 2sin αcos α
， ，故选 A ．
6. 已知函数 y = x ln x ，则其在点 x = 1 处的切线方程是（） A.y = 2x − 2 B.y = 2x + 2 C.y = x − 1 D.y = x + 1
【答案】 C
【考点】导数的几何意义【解析】运用求导公式计算 x = 1 时的斜率，再结合曲线上一点求出切线方程．【解答】
解：y = x ln x y ′
= 1 × ln x + x ⋅ 1 = 1 + ln x y ′
(1) = 1 又当 x = 1 x
时y = 0∴切线方程为y = x − 1 故选C．
7. 函数f(x)＝sin(2x + φ)，φ∈(0, π)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，已知g(x)是偶函数，则 tan(φ−)＝（）
A.− 3
B. 3
C.−
D.
【答案】
D
【考点】
函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】
函数f(x)＝sin(2x + φ)，φ∈(0, π)的图象向左平移个单位得到函数g(x)＝的图象，由于函数g(x)为偶函数，所以
Z)，
整理得Z)，由于φ∈(0, π)，所以当k＝0 时φ=，则
．
2x sin(π+6x)
8. 函数y = x−21 的图象大致为（）
4
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【考点】函数的图象
【解析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案． 【解答】
解：∵函数 f(x) 6x ，
4 −1
4 −1
=−
x −12xcos6x
=− f(x)，
4
∴ f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故排除 A ，
∵当 x 从右趋向于 0 时，f(x)趋向于+ ∞，当 x 趋向于+ ∞时， f(x)趋向于 0，故排除 BC . 故选 D .
9. 设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
b cos C +
c cos B = a sin A，则△ABC 的形状为( )
A.直角三角
B.锐角三角形形
C.钝角三角
D.不确定
形
【答案】
A
【考点】三角形的形状判断正弦定理
【解析】直接利用正弦定理以及两角和的正弦函数，化简已知表达式，即可求出A 的正弦函数值，然后求出角A，即可判断三角形的形状．
【解答】
解：因为b cos C + c cos B = a sin A，由正弦定理可得：sin B cos C + sin C cos B = sin A sin A，
所以 sin(B + C) = sin2A，即 sin A = sin2A，A 为三角形内角，所以 sin A = 1，A =．三角形是直角三角形．故选A．
10. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→=
( )
A.3 AB→
− 1 AC→
4
B.1 AB→−3
AC→
4
→1→→3→
C.AB+AC
D.AB+AC
44
【答案】
A
【考点】平面向量的基本定理【解析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【解答】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
→→→→ 1 →
EB = AB− AE= AB− AD
2
→ 1 1 →→
= AB−×(AB+ AC)
2 2
= 3 →→，
AB−AC
4
2x−1 − 2,x ≤ 1
11. 已知函数f(x) =，且f(α) =− 3，则f(6 −
−log 2(x + 1),x > 1
α) = ( )
A.−
B.−
C.−
D.−
【答案】
A
【考点】函数的求值【解析】利用分段函数，求出α，
再求f(6 −α)．
【解答】
解：由题意，α≤ 1 时，2α−1 − 2 =− 3，无解；α > 1 时，
−log2(α + 1) =− 3，∴α = 7，
∴f(6 ．
故选：A．
12. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，f′(x)为其导函数．已知f(1) = 0，当x > 0 时，f(x) + xf′(x) < 0，则不等式xf(x) > 0 的解集
为（）
A.( − 1, 0) ∪(0, 1)
B.( −∞, − 1) ∪(1, + ∞)
C.( − 1, 0) ∪(1, + ∞)
D.( −∞, − 1) ∪(0, 1)
【答案】
A
【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由题意构造函数g(x)＝xf (x)，再由导
函数的符号判断出函数g(x)的单调性，由函数f(x)的奇偶性得到函数g(x)的奇偶性，
由f(1)＝0 得g(1)＝0、还有g( − 1)＝0，再通过奇偶性进行转化，利
用单调性求出不等式得解集．【解答】
解：由于f(x)为奇函数，
∴xf(x)为偶函数，
令g(x) = xf(x),
则由g′(x) = f(x) + xf′(x)在x > 0 时为负知，g(x)在
(0, + ∞)上递减，又g(1) = f(1) = 0 且g(x)为偶函数，
∴g′(x) > 0,即xf(x) > 0 解集为( − 1,0) ∪(0,1).
故选A.
卷II
的值为________．
【答案】
2 −3
【考点】角的变换、收缩变换【解析】运用两角差的三角函数公式，7∘ = 15∘ − 8∘，对分子分母进行化简．【解答】
解：因为7∘ = 15∘ − 8∘
； 所以 sin 7∘ = sin (15∘ − 8∘ ) = sin 15∘ cos 8∘ − sin 8∘ cos 15∘， cos 7∘ = cos (15∘ − 8∘ ) = cos 15∘ cos 8∘ + sin 15∘ sin 8∘；
原式
cos 15 cos 8 +sin 15 sin 8 −sin 15 sin 8 cos 15 cos 8 = tan (45∘ − 30∘ )
= 2 −3，故答案为：2 −3
14. 函数 f(x) = A sin (ωx + φ)（A ，ω，φ是常数，A > 0，ω > 0，
0 < φ <）的部分图象如图所示，则
f =________．
【答案】
−
【考点】
6 2 π
3
π3
6 2
函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换三角函数的图象
三角函数的化简求值
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质及三角函数求值．
【解答】
解：由函数的图象可得A =2，
，
可得ω = 2，
则，又
，所以，
故f(x) = 2sin 2x +，所以f
− =−．故答案为：−．
15. 已知向量→a，→b满足|→a|＝2，|→b|＝3，两向量的夹角为60∘，则|→a −→b|＝________．【答案】
7
【考点】平面向量数量积的性质及其运算
【解析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】
向量→a，→b满足|→a|＝2，|→b|＝3，两向量的夹角为60∘，
则|→a −→b|2＝|→a|2 + |→b|2 − 2|→a ⋅|→b| ⋅ cos60∘＝4 + 9 − 2 × 2 ×
3 ×= 7，
则则|→a −→b| =7，
16. 关于函数f(x) R)，有下列命题：
①由f(x1) = f(x2) = 0 可得x1 − x2必是π的整数倍；
②y = f(x)的表达式可改写为y = 4cos(2x −)；
③y = f(x)的图象关于点(,0)对称；
④y = f(x)的图象关于直线x =−对称．
其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题序号都填上）
【答案】
②
【考点】三角函数的周期性及其求法命题的真假判
断与应用运用诱导公式化简求值正弦函数的对称
性
【解析】首先根据函数求出最小正周期，然后根据诱导公式求出对称中心，然后根据图象分别求出最大值和最小值，最后综合判断选项．
【解答】
解：函数f(x) = 4sin(2x +)的最小正周期T = π，
由相邻两个零点的横坐标间的距离是T = π知①错．
2 2 利用诱导公式得f(x) =
4cos[− (2x + )]
= 4cos(− 2x) = 4cos(2x −)，知②正确．
由于曲线f(x)与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x =代入得f(x)
，
因此点(, 0)不是f(x)图象的一个对称中心，故命题③错误．曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x =−时y = 0，点
( −, 0)不是最高点也不是最低点，故直线 x =−不是图象的对称轴，因
此命题④不正确．故答案为：②
三、解答题（本题共计 6 小题，每题 12 分，共计 72 分）
17. 在△ABC 中，a 2 + c 2 = b 2
+2ac ． (1)求∠B 的大小；
(2)求2cos A + cos C 的最大值．
【答案】
解：(1)∵在△ABC 中，a 2 + c 2＝b 2 +2ac ，
∴ a 2 + c 2 − b 2
= 2ac ， ∴ cos B = a 2+c 2−b 2 = 2ac = 2，
2ac 2ac 2 (2)由(1)得：C A ，
A)
＝． ∵ A
， ，故当 A 时，sin (A
+)取最大值 1，
即2cos A + cos C 的最大值为 1． = 2 c os A −
2 2 cos A + 2 2 sin A = 2 2
cos A + 2 2 sin A
【考点】两角和与差的余弦公式三
角函数的最值余弦定理求两角和与
差的正弦【解析】 (Ⅰ)根据已知和
余弦定理，可得 cos B =
，进而
得到答案； (Ⅱ)由(I)得：C = − A ，结合正弦型函数的图象和性质，可得
2cos A + cos C 的最大值．
【解答】
解：(1)∵在△ABC 中，a 2 + c 2＝b 2 +2ac ，
∴ a 2 + c 2 − b 2
= 2ac ， ∴ cos B = a 2+c 2−b 2 = 2ac = 2，
2ac
2ac 2 (2)由(1)得： C A ，
A)
＝
． ∵ A
， ，故当 A 时，sin (A
+)取最大值 1，
即2cos A + cos C 的最大值为 1． = 2 c os A −
2 2 cos A + 2 2 sin A = 2 2
cos A + 2 2 sin A
18. 设函数f(x) = 3sin x cos x −cos2x +．(Ⅰ)求f(x)的
最小正周期及值域；
(Ⅱ)求f(x)的对称轴方程和单调递增区间．
【答案】
（1）f(x) = 3sin x cos x −cos2x +．
= sin2x − +，
= sin(2x −) + 1，
则：①函数的额最小正周期为T == π．
②由于x ∈R，
所以：，进一步
解得：0 ≤ f(x) ≤ (2) 所以f(x)的值
域为[0, 2]．
（2）①令 Z)，解得：x
Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为：x Z)．
②令 Z)，解得：
Z)，
即函数的单调递增区间为： Z)．
【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图
象
【解析】
(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和最值．
(Ⅱ)利用整体思想求出函数的对称轴方程和单调区间．
【解答】
（1）f(x) = 3sin x cos x −cos2x +．
= sin2x − + ，
= sin(2x −) + 1，
则：①函数的额最小正周期为T = = π．
②由于x ∈R，
所以：，
进一步解得：0 ≤f(x) ≤(2) 所以f(x)
的值域为[0, 2]．
（2）①令 Z)，解得：x
Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为：x Z)．
②令 Z)，
解得： Z)，
即函数的单调递增区间为： Z)．
19. 设{a n}是等差数列，a1 =− 10，且a2 + 10,a3 + 8,a4 + 6 成等比数列.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)记{a n}的前n 项和为S n，求S n的最小值.
【答案】
解：(1)∵a2 + 10,a3 + 8,a4 + 6 成等比数列，
∴a2 + 10 ⋅a4 + 6 = a3 + 8 2，∵{a n}是等差
数列，且a1 =− 10，设数列{a n}的公差为d，
∴( − 10 + d + 10) ⋅( − 10 + 3d + 6)
= ( − 10 + 2d + 8)2，
化简得d2 − 4d + 4 = 0，解得d = 2，
∴a n =− 10 + 2(n − 1) = 2n − 12.
n(n − 1)d
(2)S n = na1 +
2
=− 10n + = n2 − 11n，
设f(x) = x2 − 11x，
则f(x)的对称轴为x = = 5.5，
∵n ∈N∗，
∴当n = 5 或n = 6 时，S n取得最小值− 30. 【考点】等比数列的性质等差数列的前 n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵a2 + 10,a3 + 8,a4 + 6 成等比数列，
∴a2 + 10 ⋅a4 + 6 = a3 + 8 2，∵{a n}是等差
数列，且a1 =− 10，设数列{a n}的公差为d，
∴( − 10 + d + 10) ⋅( − 10 + 3d + 6) = ( −
10 + 2d + 8)2，化简得d2 − 4d + 4 = 0，解得d
= 2，
∴a n =− 10 + 2(n − 1) = 2n − 12. n(n − 1)d
(2)S n = na1 +
2
=− 10n + = n2 − 11n，
设f(x) = x2 − 11x，
则f(x)的对称轴为x = = 5.5，
∵n ∈N∗，
∴当n = 5 或n = 6 时，S n取得最小值− 30.
20. 已知三次函数f(x) = x3 + ax2 + bx + c 在x = 1 和x =− 1 时取极值，且f( − 2) =−4．
（1）求a 与b 的值；
（2）求函数y = f(x)的单调区间和极值．
【答案】
解：（1）∵三次函数f(x) = x3 + ax2 + bx + c 在x = 1 和x =− 1 时
取极值，
∴f′(x) = 3x2 + 2ax + b，
f′(1) = 03 + 2a + b = 0解得a = 0 ；
∴可得
f′( − 1) = 03 − 2a + b = 0b =− 3
（2）由（1）知f(x) = x3 − 3x + c，
∵f( − 2) =− 4，可得( − 2)3 − 3 × ( − 2) + c = 0，解得c = 2，
∴f(x) = x3 − 3x + 2；
∵f′(x) = 3x2 −3 = 3(x + 1)(x −1)，若f′(x) > 0 即x >
1 或x <− 1，f(x)为增函数，若f′(x) < 0 即− 1 < x < 1，
f(x)为减函数，f(x)在x =− 1 处取得极大值，在x = 1 处
取得极小值，
f(x)极大值= f( − 1) =− 1 + 3 + 2 = 4，f(x)极小值= f(1) = 1 − 3 + 2 = 0；
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）三次函数f(x) = x3 + ax2 + bx + c 在x = 1 和x =−1 时取极值，说明方程f′(x) = 0 的两个根为1 和− 1，求出a 与b，（2）再代入f( − 2) =− 4，求出c 值，求出f(x)的解析式，利用导数研究函数的单调性，求出极值；
【解答】
解：（1）∵三次函数f(x) = x3 + ax2 + bx + c 在x = 1 和x =− 1 时
取极值，
∴f′(x) = 3x2 + 2ax + b，
f′(1) = 03 + 2a + b = 0解得a = 0 ；
∴可得
f′( − 1) = 03 − 2a + b = 0b =− 3
（2）由（1）知f(x) = x3 − 3x + c，
∵f( − 2) =− 4，可得( − 2)3 − 3 × ( − 2) + c = 0，解得c = 2，
∴f(x) = x3 − 3x + 2；
∵f′(x) = 3x2 − 3 = 3(x + 1)(x − 1)，若f′(x) > 0 即x > 1 或
x <− 1，f(x)为增函数，若f′(x) < 0 即− 1 < x < 1，f(x)为减函数，
f(x)在x =− 1 处取得极大值，在x = 1 处取得极小值，
f(x)极大值= f( − 1) =− 1 + 3 + 2 = 4，f(x)极小值= f(1) = 1 − 3 + 2 = 0；
π 3
π 3
+ B ， π 3
21. 设△ABC 是锐角三角形，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ， c ，并且m →
= sin A
+ sin B,sin + B ，n →
= sin
−
B ,sin A − sin B ，m →//→n ．
（Ⅰ）求角 A 的值；
（Ⅱ）若△ABC 的面积 S = 53，b = 5，求 sin B sin C 的值． 【答案】
解：（Ⅰ）因为m →//→n ，
→
m = sin A + sin B,sin n →
= sin − B ,sin A
− sin B ，
所以(sin A + sin B)(sin A − sin B) B ，
所以sin 2
A − sin 2
B =
cos B + sin B
sin B ，
即sin 2
A − sin 2
B =cos 2
B − sin 2
B ，所以sin 2
A =．又因为△ABC 是
锐角三角形，
所以 ，从而 A
．
（Ⅱ）由 S ，
得 bc = 20．又 b =
5，所以 c = 4．
由余弦定理，得a 2
= b 2
+ c 2
− 2bc cos A = 25 + 16 − 20 = 21，
故 a = 21．
又由正弦定理，得
b
c
sin B sin C =
sin A ⋅ sin A a a
π 3
π 3
+ B ， bc
2
A ．
= a 2 sin
【考点】解三角形三角恒等变换综合应用余弦定理正弦定理【解析】本题考查三角恒等变换、利用正、余弦定理解三角形． 【解答】
解：（Ⅰ）因为m →//→n ，
→
m = sin A + sin B,sin n →
= sin − B ,sin A
− sin B ，
所以(sin A + sin B)(sin A − sin B) B ，
所以sin 2
A − sin 2
B =
cos B + sin B
sin B ，
即sin 2
A − sin 2
B =cos 2
B − sin 2
B ，所以sin 2
A =．又因为△ABC 是
锐角三角形，
所以 ，从而 A
．
（Ⅱ）由 S ，
得 bc = 20．又 b =
5，所以 c = 4．
由余弦定理，得a 2
= b 2
+ c 2
− 2bc cos A = 25 + 16 − 20 = 21，
故 a = 21．又由正弦定理，得
b
c
sin B sin C =
sin A ⋅
sin A a a
bc 2
2
A ．
= sin a
22. 已知函数 f(x) = e x
− x 2
+ a ，x ∈R 的图象在点 x = 0 处的切线为 y = bx ．
（1）求a 和b 的值；
（2）当x ∈R 时，求证：f(x) ≥− x2 + x
（3）若f(x) > kx 对任意的x ∈(0, + ∞)恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】f(x) = e x − x2 + a，f′(x) = e x − 2x．
f(0) = 1 + a = 0a =− 1，
由已知得′(0) = 1 = b ∴b = 1
f
∴f(x) = e x − x2 − 1．证明：令φ(x) = f(x) + x2 − x = e x − x − 1，φ′(x) = e x − 1，由φ′(x) =
0，得x = 0，当x ∈( −∞, 0)时，φ′(x) < 0，φ(x)单调递
减；当x ∈(0, + ∞)时，φ′(x) > 0，φ(x)单调递增．∴φ(x)min
= φ(0) = 0，从而f(x) ≥−x2 + x．f(x) > kx 对任意的x ∈(0, 
+ ∞)恒成立⇔f(x) > k 对任意的x ∈x
(0, + ∞)恒成立，
令g(x) = f(x)x ，g′(x) = xf′(x2)−f(x)．x
由(2)可知当x ∈(0, + ∞)时，e x − x − 1 > 0 恒成立，令g′(x) > 0，得x > 1；
g′(x) < 0，得0 < x < 1．
∴g(x)的增区间为(1, + ∞)，减区间为(0, 1)．g(x)min = g(1) = 0．
∴k < g(x)min = g(1) = e − 2，∴实数k 的取值范围为( −∞, e −
2)．
【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究
曲线上某点切线方程
【解析】
(1)利用图象在点x = 0 处的切线为y = bx，求出a，b，即可求函数f(x)的解析式；
(2)令φ(x) = f(x) + x2 − x = e x − x − 1，确定函数的单调性，可得φ(x)min = φ(0) = 0，即可证明：f(x) ≥− x2 + x；
（3）f(x) > kx 对任意的x ∈(0, + ∞)恒成立⇔对任意的x ∈(0, + ∞)恒成立，
k < g(x)min = g(1) = 0，即可求实数k 的取值范
围．【解答】
f(x) = e x −x2 + a，f′(x) = e x − 2x．
f(0) = 1 + a = 0a =− 1，
由已知得f′(0) = 1 = b ∴b = 1
∴f(x) = e x − x2 − 1．证明：令φ(x) = f(x) + x2 − x = e x − x − 1，φ′(x) = e x − 1，由φ′(x) =
0，得x = 0，当x ∈( −∞, 0)时，φ′(x) < 0，φ(x)单调递减；当x ∈(0, + ∞)
时，φ′(x) > 0，φ(x)单调递增．∴φ(x)min = φ(0) = 0，从而f(x) ≥−x2 + x．f(x) >
kx 对任意的x ∈(0, + ∞)恒成立⇔f(x) > k 对任意的x ∈x
(0, + ∞)恒成立，
令g(x) = f(x)，g′(x) = xf′(x2)−f(x)．x
x
由(2)可知当x ∈(0, + ∞)时，e x − x − 1 > 0 恒成立，令g′(x) > 0，得x > 1；
g′(x) < 0，得0 < x < 1．
∴g(x)的增区间为(1, + ∞)，减区间为(0, 1)．g(x)min = g(1) = 0．
∴k < g(x)min = g(1) = e − 2，∴实数k 的取值范围为( −∞, e −
2)．。