2019年全国高中数学联赛一试A卷(word版)

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2019 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.
1. 已知正实数 满足
，则
的值为
.
2. 若实数集
的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 的
值为
.
3. 平面直角坐标系中， 是单位向量，向量 满足
，且
对任意
实数 成立，则 的取值范围是
.
4. 设 为椭圆 的长轴顶点， 为 的两个焦点，
，
，
为 上一点，满足
，则
的面积为
.
5. 在
中随机选出一个数 ，在
中随机选出一个数
，则
被 整除的概率为
.
6. 对 任 意 闭 区 间 ， 用 表 示 函 数
在 上的最大值.若正数 满足
， 则 的 值为
.
7. 如图，正方体
的一个截面经过顶点
及棱 上一点 ，且将正方体分成体积比为 的两部分，
则 的值为
.
8. 将 个数
按任意次序排成一行，拼成一个 位数（首位不为 ），则
产生的不同的 位数的个数为
.
二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9. 在
中，
，
，
.若 是 与 的等比中项，且
是
与
的等差中项，求
的值.
10. 在平面直角坐标系 中，圆 与抛物线
恰有一个公共点，且圆 与 轴
相切于 的焦点 .求圆 的半径.


11. 称 一 个 复 数 数 列 整数 ，均有
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为 “有 趣 的 ”，若
，且对任意正整数 ，均有
.求最大的常数 ，使得对一切有趣的数列 及任意正

















。