2018-2019学年福建省龙岩市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2018-2019学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣16＜0}，，则（）A．A∪B＝∅B．B⊆A C．A∩B＝{0}D．A⊆B
2．（5分）设复数z满足（1+i）2z＝1﹣i（i为虚数单位），则|z+i|＝（）A．B．C．D．1
3．（5分）已知，，，若与垂直，则m＝（）A．﹣1B．1C．2D．3
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，若m⊥α，则“n⊥α”是“m∥n”
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若直线y＝x+m与曲线有且只有一个公共点，则实数m的取值范围为（）
A．B．
C．D．
6．（5分）若点P是以F1，F2为焦点的双曲线上一点，且满足PF1⊥PF2，|PF1|＝3|PF2|，则此双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图均由三角形和半圆组成，则该几何体的体积为（）
A．216+144πB．72+96πC．72+144πD．216+96π
8．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f（x）+3x的零点个数是（）
A．0B．1C．2D．3
9．（5分）在四面体S﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝3，，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（）
A．8πB．12πC．16πD．24π
10．（5分）已知函数，且，则α+β＝（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x与点M（﹣1，1），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于两点A，B，若，则k＝（）
A．2B．C．1D．4
12．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）、g（x）满足f（x）+f（﹣x）＝6x2+3，f（1）﹣g（1）＝3，g′（x）＝f′（x）﹣6x，如果g（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N＝（）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值为．
14．（5分）已知数列{a n}是由实数构成的等比数列，a1＝2，且a2﹣4，a3，a4成等差数列，则{a n}的公比为．
15．（5分）我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是．
16．（5分）已知P为函数y＝lnx图象上任意一点，点Q为圆x2+（y﹣e2﹣1）2＝1上任意一点，则线段PQ长度的最小值为．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）设S n为各项均是正数的数列{a n}的前n项和，满足
．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若，求λ．
18．（12分）已知在△ABC中，，点P在边BC上，且AP⊥AB，．（1）若，求PB．
（2）求的取值范围．
19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面MCD⊥平面ABC，且MD⊥MB．
（1）证明：平面AMD⊥平面CMB；
（2）当MD≥MC，且AM与平面ABCD所成角的正切值为时，求二面角B﹣MA﹣D 的正弦值．
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于M，N两点，△F2MN的周长为8，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B是椭圆上两动点，线段AB的中点为P，OA，OB的斜率分别为k1，k2（O 为坐标原点），且4k1k2＝﹣3，求|OP|的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣aln（x﹣1）+2a（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）令函数g（x）＝f（x）+e x﹣2﹣x2+（a﹣1）ln（x﹣1），若函数g（x）有且只有一个零点x0，试判断x0与3的大小，并说明理由．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为
（α为参数）．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）＜4；
（2）若∀x∈[﹣1，2]，f（x）+t2＜7t成立，求实数t的取值范围．
2018-2019学年福建省龙岩市高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一是符合题目要求的. 1．【解答】解：∵x2﹣16＜0，∴﹣4＜x＜4，∴A＝（﹣4，4）
∵3＝1＝30，∴x2+6x＝0，
∴x＝0或x＝﹣6，∴B＝{0，﹣6}，
∴A∩B＝{0}．
故选：C．
2．【解答】解：由（1+i）2z＝1﹣i得2iz＝1﹣i，
则z＝＝＝＝﹣i，
则z+i＝﹣i+i＝﹣+i，
则|z+i|＝＝＝，
故选：B．
3．【解答】解：；
∵；
∴；
∴m＝3．
故选：D．
4．【解答】解：若m⊥α，n⊥α，则m∥n，充分性成立
若m∥n，m⊥α，则n⊥α，必要性成立，
故“n⊥α”是“m∥n”的充要条件，
故选：C．
5．【解答】解：作出曲线与直线y＝x+m的图象如图：
当直线y＝x+m与半圆相切时，m＝．
当直线y＝x+m与半圆相交时，﹣1≤m＜1．
∴实数m的取值范围为．
故选：C．
6．【解答】解：∵|PF1|＝3|PF2|
∴|PF1|﹣|PF2|＝2a
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a
∵PF1⊥PF2，F1F2＝2c
∴PF12+PF22＝F1F22．
∴2c2＝5a2
∴e＝，
故选：B．
7．【解答】解：一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图均由三角形和半圆组成，则该几何体的直观图如图：
球的半径为6，四棱锥的高为9，底面对角线的长度为12，
几何体的体积为：×12×6×9＝216+144π．
故选：A．
8．【解答】解：函数f（x）＝，
函数y＝f（x）+3x的零点个数，
就是函数y＝f（x）与y＝﹣3x
两个函数的图象的交点个数：
如图：
由函数的图象可知，零点个数为2个．
故选：C．
9．【解答】解：∵AB⊥BC，且AB＝BC＝3，则，且△ABC是以AC 为斜边的等腰直角三角形，
∴，则△SAC是边长为的等边三角形，
如下图所示，取AC的中点M，则SM⊥AC，且，
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，SM⊥AC，SM⊂平面SAC，∴SM⊥平面ABC，
∵BM⊂平面ABC，所以，SM⊥BM，
∵AM＝CM＝BM，由勾股定理易得，，
所以，该四面体的外接球的直径为，则，
因此，该四面体外接球的表面积为4πR2＝24π．
故选：D．
10．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+）（0≤x＜π），∴2x+∈[，）．∵f（α）＝sin（2α+）＝f（β）＝sin（2β+）＝∈（0，）（α≠β），不妨假设α＜β，
则2α+∈（，π），2β+∈（2π，），
∴α∈（，），β∈（），则α+β∈（，）．
再根据sin（2α+）﹣sin（2β+）＝2cos，∴cos（α+β+）＝0，则α+β+＝，或α+β+＝，
则α+β＝（舍去）或α+β＝，
故选：D．
11．【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），
∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），
联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝，x1x2＝1，
∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，∵M（﹣1，1），
∴＝（x1+1，y1﹣1），＝（x2+1，y2﹣1），
∵•＝0，
∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，
整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2＝0，
∴1+2+﹣4﹣+2＝0，
即k2﹣4k+4＝0，
∴k＝2．
故选：A．
12．【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣3x2+c，
则g（1）＝f（1）﹣3+c，
而f（1）﹣g（1）＝3，
故g（1）＝g（1）+c，
故c＝0，
故g（x）＝f（x）﹣3x2，
则g（﹣x）＝f（﹣x）﹣3x2，
故g（x）+g（﹣x）＝f（x）+f（﹣x）﹣6x2，
而f（x）+f（﹣x）＝6x2+3，
故f（x）+f（﹣x）﹣6x2＝3，
故g（x）+g（﹣x）＝3，
故g（x）的图象关于（0，）对称，
故＝，
故M+N＝3，
故选：D．
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y＝﹣x z，平移直线y＝﹣x可知，
当直线经过点A（2，6）时，直线的截距最小值，
此时目标函数取最大值z＝2+3×6＝20，
故答案为：20．
14．【解答】解：∵数列{a n}是由实数构成的等比数列，a1＝2，且a2﹣4，a3，a4成等差数列，
∴2a3＝（a2﹣4）+a4，即2×2q2＝2q﹣4+2q3，
整理，得（q﹣2）（q2+1）＝0，
∴{a n}的公比q＝2．
故答案为：2．
15．【解答】解：由题意，短轴长为2，长轴为6的椭球体的体积
V＝2（π•12•3﹣•π•12•3）＝4π．
故答案为：4π
16．【解答】解：圆x2+（y﹣e2﹣1）2＝1的圆心坐标为：C（0，e2+1）．y＝lnx对x求导可得：y′＝．
设与曲线y＝lnx相切的切点为M（x0，lnx0），且满足CM与切线垂直．
则•＝﹣1，
化为：lnx0+﹣e2﹣1＝0，
令g（x）＝lnx+x2﹣e2﹣1在（0，+∞）上单调递增，且g（e）＝0．
∴x0＝e．
∴切点为：（e，1）．
∴线段PQ长度的最小值＝﹣1＝e﹣1．
故答案为：e﹣1．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．【解答】解：（1）∵．∴n≥2时，+……+＝n﹣1．
∴＝1，可得a n＝10n．
（2）S n＝10+102+……+10n＝＝（10n﹣1）．
∵，
∴λ•+＝λ•+（10n﹣1）．
化为：λ＝．
18．【解答】解：（1）∵．，∠CAP＝﹣＝，
∴在△P AC中，由余弦定理知：PC2＝AP2+AC2﹣2AP•AC cos∠CAP，即：7＝3+AC2﹣2×，
解得：AC＝4，（负值舍去），
∴由正弦定理，可得：，
解得：sin C＝，
∴cos C＝＝，
∴sin B＝sin（∠BAC+C）＝sin∠BAC cos C+cos∠BAC sin C＝+（﹣）×＝，
∴在△ABC中，由正弦定理，可得：，解得：BC＝2，
∴PB＝BC﹣PC＝2﹣＝．
（2）设∠APB＝θ，则∠ACP＝θ﹣，
在Rt△APB中，PB＝，
在△P AC中，由正弦定理知＝，得PC＝，
于是＝+＝＝
，
由题意知＜θ＜，＜＜，可得：sin（）∈（，1]，
故＜sinθ＜1，
可得：＝∈（1，]，即的取值范围为：（1，]，
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥CD，
又平面MCD⊥平面ABC，且平面MCD∩平面ABC＝CD，
∴BC⊥平面MCD，则MD⊥BC，
又MD⊥MB，MB∩BC＝B，
∴MD⊥平面MBC，而MD⊂平面MAD，
∴平面AMD⊥平面CMB；
（2）解：过M作MO⊥CD，则MO⊥平面ABCD，
设OC＝x，则OD＝2﹣x，AO＝，
在Rt△DMC中，可得OM＝．
由AM与平面ABCD所成角的正切值为，得，
解得x＝或x＝1．
∵MD≥MC，∴x＝1．
以O为坐标原点，分别以OC，OM所在直线为y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（2，﹣1，0），D（0，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1）．
设平面ABM与平面ADM的一个法向量分别为，
．
由，取z1＝2，得；
由，取z2＝﹣1，得．
∴cos＜＞＝＝．
∴二面角B﹣MA﹣D的正弦值为．
20．【解答】解：（1）由过点F1的直线与椭圆C交于M，N两点，△F2MN的周长为8，可得4a＝8，a＝2；
椭圆的方程中令x＝y，可得x2＝y2＝…①．
可得，…②，
由①②及a＝2可得a2＝4，b2＝3．
∴椭圆C的方程为：；
（2）当直线AB的斜率k＝0时，
此时k1，k2（O为坐标原点），满足4k1k2＝﹣3，k1＝﹣k2．
可令AB的方程为：y＝，（x B＞0）
由可得B（，），
此时|OP|＝，
当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t，
由可得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，
△＝36m2t2﹣4（3m2+4）（3t2﹣12）＞0⇒9m2﹣t2+12＞0…①
，
x1+x2＝m（y1+y2）+2t＝．
∴p（，）．
∵4k1k2＝﹣3，∵⇒4y1y2+3x1x2＝0．
⇒（4+3m2）y1y2+3mt（y1+y2）+3t2＝0．
⇒3t2﹣12++3t2＝0．
⇒2t2＝3m2+4…②
由①②可得t2≥2
|OP|2＝＝＝＝＝∈（，2]
|OP|．
综上，|OP|的取值范围为[，]．
21．【解答】解：（1）f′（x）＝2x﹣a﹣＝＝（x＞1），当，即a≤0时，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，f（x）在（1，+∞）上单
调递增；
当＞1，即a＞0时，若x∈（1，），则f′（x）＜0，若x∈（，+∞），则f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
（2）函数g（x）＝f（x）+e x﹣2﹣x2+（a﹣1）ln（x﹣1）＝e x﹣2﹣ax﹣ln（x﹣1）+2a．则g′（x）＝，令h（x）＝g′（x），
则h′（x）＝＞0，∴g′（x）在（1，+∞）上单调递增，
当x＞1且x→1时，g′（x）→﹣∞，x→+∞，g′（x）→+∞，
∴g′（x）在（1，+∞）上有唯一零点x1，
当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）min＝g（x1），
由已知函数g（x）有且只有一个零点x0，则x0＝x1．
∴，即，
＝0．
，
令t（x）＝（x＞1）．
则t′（x）＝＝＝
．
∴x∈（1，2）时，t′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，t′（x）＜0．
∴t（x）在（2，+∞）上单调递减．
∵t（2）＝1＞0，t（3）＝﹣ln2+＜0，
∴t（x）在（2，3）上有一个零点，在（3，+∞）上无零点．
若t（x）在（1，2）上有一个零点，则该零点必小于3．
综上，x0＜3．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（1）∵直线l的极坐标方程为，即﹣3＝0，
即﹣ρcosθ﹣3＝0，
∴直线l的直角坐标方程为x﹣+3＝0，
∵曲线C的参数方程为（α为参数）．
∴曲线C的直角坐标方程为＝1．
（2）∵点P是曲线C上的一个动点，∴设P（），
∴P到直线l的距离d＝＝，（tanβ＝﹣），
当sin（α+β）＝1时，点P到直线l的距离d取最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（1）f（x）＜4⇔或或；
解得﹣＜x＜；
f（x）＜4的解集为（﹣，）；
（2）f（x）＝，
∴f（x）max＝6，
∴∀x∈[﹣1，2]，f（x）+t2＜7t成立⇔6+t2＜7t，
解得1＜t＜6，
实数t的取值范围是（1，6）．。