6.1圆的基本性质核心考点演练(讲练)(原卷版)-简单数学2021年中考一轮复习宝典(全国通用)

6.1圆的基本性质
考点1：垂径定理及其推论
例1．（2021·江苏盐都区·九年级期末）如图，已知点B的坐标为（7，10），点A的坐标为（7，6），点P
为⊙A上一动点，PB的延长线交⊙A于点N，直线CD⊥AP于点C，交PN于点D，交⊙A于E，F两点，且PC：CA＝1：4，
（1）当点P运动使得点E为劣弧 PN的中点时，求证：DF＝DN；
（2）在（1）的条件下，直接写出CP：DP的值为 ．
（3）设⊙A的半径为5，当△APD的面积取得最大值时，求点P的坐标．
点拨：
本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练掌握这些性质和定理，正确作出辅助线是解题关键．
知识点训练
1．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·九年级期末）下列语句中正确的是（ ）
A ．长度相等的两条弧是等弧
B ．平分弦的直径垂直于弦
C ．相等的圆心角所对的弧相等
D ．直径所在直线是圆的对称轴
2．（2021·西安市铁一中学九年级期末）如图，O e 的直径AB 交弦CD 相于点P ，且45,APC Ð=°若
PC PD ==OA 的长为（ ）
A ．3
B ．
C ．
D 3．（2021·浙江杭州市·九年级期末）如图，AB 是O e 的弦（非直径），点C 是弦AB 上的动点（不与点A ，
B 重合）
，过点C 作垂直于OC 的弦DE ．若设O e 的半径为r ，弦AB 的长为a ，AC m BC
=，则弦DE 的长（ ）
A ．与r ，a ，m 的值均有关
B ．只与r ，a 的值有关
C ．只与r ，m 的值有关
D ．只与a ，m 的值有关
4．（2021·内蒙古赤峰市·九年级期末）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论： ①AD ⊥BD ；②BC 平分∠ABD ；③BD=2OF=CF ；④△AOF ≌△BED ，其中一定成立的是（ ）
A ．①②
B ．①③④
C ．①②④
D ．③④
5．（2019·浙江杭州市·九年级期末）如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，G 是弧BC 上任意一
点，线段AG 与DC 交于点F ，连接,,AD GD CG ．若15,AG AF CD ×==，则O e 的直径为（ ）
A ．4
B ．
C
D ．6．（2020·全国九年级课时练习）如图，直线4y x =-+与x 轴、y 轴分别交于D ，C 两点，P 是直线CD 上
的一个动点，⊙A 的圆心A 的坐标为(﹣4，﹣4)，半径为PO 与⊙A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．当OP ＝t ，OQ ＝S ，则S 与t 的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（2021·江西赣州市·九年级期末）（1）解方程：(4)2(4)x x x -=--；
（2）已知：如图，O e 的直径AB 与弦CD （不是直径）交于点F ，若FB =2，CF =FD =4，设O e 的半径为r ，求AC 的长．
8．（2021·河南商丘市·九年级期末）如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，12AB =，4AC =．点O 在AB 上，以O 为圆心，过点A 的O e 与BC 相切于点D ，与AC 相交于点E ，与AB 相交于点F ．
（1）连结EF ，求sin EFA Ð的值；
（2）求证： DE
DF =．
9．（2020·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）已知O e 的半径为2r =，弦AB =，点B 是 CD
的中点，AB 与CD 交于点E ．
（1）求圆心O 到弦AB 的距离．
（2）求AEC Ð的度数．
10．（2020·温州市第十二中学九年级期中）如图，点E 为O e 弦CD 的中点，过点O ，E 作直径
()AB AE BE >，连接BD ，过点C 的弦//CF BD 交AB 于G ．求证：AGF F Ð=Ð．
考点2：垂径定理实际应用
例2.（2020·浙江宁波市·九年级期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？点拨：
此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
知识点训练
1．（2021·安徽阜阳市·九年级期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计
算弧田面积所用公式为：弧田面积＝1
2
（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公
式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cos∠OAB＝（）
A．3
5
B．
24
25
C．
4
5
D．
12
25
2．（2021·江苏扬州市·九年级期末）如图，把一只篮球放在高为16cm的长方体纸盒中，发现篮球的一部分
露出盒，其截图如图所示．若量得EF ＝24cm ，则该篮球的半径为_____cm ．
4．（2020·西安益新中学九年级期末）如图，MN 为O e 的直径，A 、B 是O e 上的两点，过A 作AC MN ^于点C ，过B 作BD MN ^于点D ，P 为DC 上的任意一点，若20MN =，8AC =，6BD =，则PA PB +的最小值为______．
5．（2021·江苏盐城市·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO ⊥CD 于点A ，求间径就是要求⊙O 的直径．
再次阅读后，发现AB ＝1寸，CD ＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O 的直径．
7．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，某零件的截面为弓形.
（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．
（2）若AB =1．
①求弓形的半径
②求 AB 的长
8．（2021·浙江嘉兴市·九年级期末）如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O 为圆心，AB 为直径，
点A ，B ，C ，D 是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中作出BD 边上的中线CE ．
（2）在图2中作BCD Ð的角平分线CF ．
9．（2021·广西河池市·九年级期末）如图1，点P 表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆．若O e 被水面截得的弦AB 长为8m ，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．
10．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）凰仪桥始建于嘉泰以前，是绍兴市区的一座古桥，此桥可以看成是一种特殊的圆拱桥，已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m ，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m ．求此桥拱圆弧的半径（精确到0.1m ）
11．（2020·安徽芜湖市·九年级三模）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：“如图，OC AB ^，垂足为D ，1CD =寸，1AB =尺，求O e 的直径是多少寸? ”（注：1尺10=寸）
考点3：弦、弧、圆心角
例3. （1）
（2021·天津市河东区一号桥中学九年级期末）如图，已知⊙O 的半径为3，弦AB 、CD 所对的圆心角分别是∠AOB 、∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝4，则弦AB 的长为_____．
（2）（2021·安徽安庆市·九年级期末）如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ED ,所对的圆心角分别是BAC Ð，EAD Ð．已知6DE =，180BAC EAD Ð+Ð=°，则弦BC 的弦心距等于（ ）
A B C ．4D ．3
点拨：
本题考查了圆心角、弧、弦的关系．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，解题的关键是熟练运用相应的定理．
知识点训练
1．（2021·湖北随州市·）如图，O e 的直径AB 垂直于弦,CD 垂足为,22.5,2E A OC Ð=°=，则CD 的长为（ ）
A B ．2C ．D ．4
1．（2020·福建厦门市·厦门外国语学校九年级期中）如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知…求证…”的形式，下列正确的是（ ）
A ．已知：在⊙O 中，弧AD ＝弧BC ．求证：∠AO
B ＝∠COD ，AD ＝BC
B ．已知：在⊙O 中，弧AB ＝弧CD ．求证：∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD
C ．已知：在⊙O 中，弧A
D ＝弧BC ，∠AOB ＝∠COD ．求证：AD ＝BC
D ．已知：在⊙O 中，弧AB ＝弧CD ，∠AOB ＝∠COD ．求证：AB ＝CD
3．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级一模）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，且∠ADC ＝120，若点E 为弧BC 的中点，连接DE ，则∠CDE 的大小是（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
5．（2021·浙江宁波市·九年级期末）如图，点A ，B ，C 都在O e 上，2tan 3ABC Ð=
，将圆O 沿BC 翻折后恰好经过弦AB 的中点D ，则BC AB
的值是___________．
6．（2020·天津河西区·九年级期中）如图，在半径为5的O e 中，120AOB Ð=°，则弦AB 的长度为______．
7．（2021·安徽九年级二模）如图，⊙O 的半径为5，△ABC 是⊙O 的内接三角形，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．若CD =3，AC =6，则BC =_________．
8．（2020·福建厦门市·厦门双十中学九年级期中）如图，在圆O 中，若AB CD =，且3AD =，求CB 的长度．
2．（2021·江苏淮安市·九年级期末）如图，OA 、OB 、OC 是⊙O 的三条半径，弧AC 等于弧BC ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点，CD 与CE 相等吗？为什么？
考点4：圆周角定理及其推论
例4. （2021·广西河池市·九年级期末）如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是 AB 上的两点，AC 与BD
相交于点F ，AD BC =，BE 是半圆O 所在圆的切线，与AC 的延长线相交于点E ．
（1）求证：ABC BAD @△△；
（2）若BE BF =，求证：AE 平分DAB Ð．
点拨：
本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．知识点训练
1．（2021·湖南九年级一模）如图，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC ． 若∠A ＝60°，∠ADC ＝90°，则∠C 的度数是（ ）
A ．25°
B ．27.5°
C ．30°
D ．35°
2．（2021·西安交通大学附属中学航天学校九年级三模）如图，已知O e 为四边形ABCD 的外接圆，120BCD Ð=°，6AB AD ==，则O e 的半径长为（ ）
A ．
B
C ．
D ．3
3．（2018·广东惠州市·九年级期末）如图，A 、B 、C 三点在O e 上，且100BOC Ð=°，则A Ð的度数为（ ）
A ．45°
B ．50°
C ．80°
D ．100°
4．（2021·陕西九年级三模）如图，BD 、CE 是O e 的直径，弦//,AE BD AD 交CE 于点F ，若20A Ð=°，则AFC Ð的度数为（ ）
A ．80°
B ．75°
C ．60°
D ．50°
5．（2021·广西河池市·九年级期末）如图，在O e 中，弦AB ，CD 相交于点P ，40A Ð=°，35B Ð=°，则APD Ð的大小是（ ）
A ．75°
B ．65°
C ．15°
D ．105°
6．（2020·浙江九年级期末）如图，OA ，OB 是O e 的半径，且OA OB ^，点C 在O e 上，则ACB Ð等于（ ）
A ．20°
B ．25°
C ．35°
D ．45°
7．（2018·内蒙古呼伦贝尔市·九年级期末）如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四个点，∠APC =∠CPB =60°，BC=2
O 的半径．
8．（2021·安徽九年级二模）如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为 BC
的中点，连接DA ，DB ，DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F ．
(1)求∠CED 的度数；
(2)求证：AE =BD ．
9．（2021·山西晋中市·九年级期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptolemy ）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy ）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形ABCD 内接于O e ．
求证：AB CD BC AD AC BD
×+×=×下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作BAE CAD Ð=Ð，交BD 于点E ．
∵ AD AD =∴ABE ACD Ð=Ð（依据1）
∴ABE ACD ∽△△（依据2）
∴AB BE AC CD
=∴AB CD AC BE ×=×∵ AB AB =∴ACB ADE
Ð=Ð∵BAE CAD Ð=Ð∴BAE EAC CAD EAC
Ð+Ð=Ð+Ð即BAC EAD
Ð=Ð∴ABC AED
∽△△∴AD BC AC ED
×=×∴()
AB CD AD BC AC BE ED ×+×=×+∴AB CD AD BC AC BD
×+×=×任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：____________________________________________．
依据2：____________________________________________．
（2）如图3，四边形ABCD 内接于O e ，AC 为O e 的直径，5AD =，3tan 4
ACB Ð=
，点D 为 AC 的中点，求BD 的长．
10．（2021·湖北武汉市·九年级期末）如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P 经过A ，B 两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
（1）在图（1）中，⊙P 经过格点C ，画圆心P ，并画弦BD ，使BD 平分∠ABC ；
（2）在图（2）中，⊙P 经过格点E ，F 是⊙P 与网格线的交点，画圆心P ，并画弦FG ，使FG =FA ．
11．（2020·浙江九年级期中）已知P 是O e 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B （不与P ，Q 重合），连接AP 、BP ．若APQ BPQ Ð=Ð．
（1）如图1，当45APQ Ð=°，1AP =，BP =时，求C e 的半径；
（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ 的面积
（3）如图2，连接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上（不与P 、M 重合），连接ON 、OP ，若290NOP OPN Ð+Ð=°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并说明理由．
12．（2020·浙江杭州市·九年级期中）已知：,C D 是以AB 为直径的O e 上的两点，直径AB 垂直平分CD ，并将线段AC 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接ED ，分别交O e 和AB 于,F G ，连接FC ．
（1）求证：ACF AED Ð=Ð；
（2）CD 与AB 交于点P ，其他条件不变，
①连接FB ，当P 为OB 的中点时，若ADC a DFC Ð=Ð，AFC b DFC Ð=Ð，求,a b 的值．②请问EG AP 是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．。