2021年北京39中初二下数学期中试题与参考答案

北京市第三十九中学2020—2021学年度第二学期
八年级数学期中试卷
一、
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A
B C
D 2. 下列各式中，从左向右变形正确的是（
）
A
2=± B
3=
C
=
D =3．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A ．2
，4，5 B ．6，8，11 C ．5，12，12 D ． 1，1
4．若方程(3)230n
m x x -+-= 是关于x 的一元二次方程，则（ ）
A. 3,2m n =≠
B. 3,2m n ==
C. 3,2m n ≠=
D. 3,2m n ≠≠ 5. 下列命题中，不正确．．．
的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且平分
C. 菱形的对角线互相垂直且平分
D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 6. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝8 cm ，AB ＝6 cm ，
DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）．
A ．2 cm
B ．4 cm
C ．6 cm
D ．8 cm
7．如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘B 、C 两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点A ，然后测量出AB 、AC 的中点D 、E ，且DE =10m ，于是可以计算出池塘B 、C 两点间的距离
是（ ）
A. 5m
B. 10m
C. 15m
D. 20m
8．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的
面积分别为2和10，则b 的面积为（ ） A ．8 B C ． D. 12 9．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的 准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴， 设原点为点O ，在数轴上的2个单位长度的位置找 一个点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，且AB=3. 以点O 为圆心，OB 为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P ， 则点P 的位置在数轴上（ ）
A ．1和2之间
B ．2和3之间
C ．3和4之间
D ．4和5之间
10．如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，将ABCD 绕 点B 顺时针旋转90°到GBEF 位置，H 是EG 的中点，若 AB =3，BC =4，则线段CH 的长为（ ） A.
B.
C. D. 二、填空题（本题共21分，每小题3分）
11x 的取值范围是 ．
12. 如图，三角形花园的边界AB ，BC 互相垂直，若测得∠A =30°，BC 的长度为40 m ，则边界
AC 的中点D 与点B 的距离是 m .
（第12题） （第13题） （第14题） 13．如图，在ABCD 中，AE ⊥CD 于点E ，∠B ＝65°，则∠DAE 等于 ．
14．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =10，点E 为DC 边上的一点，将△ADE 沿直线AE 折叠，点D 刚好落在BC 边上的点F 处，则CE 的长是 .
15．现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的 意识却很淡薄.右图是滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开 横平竖直的路的拐角∠ABC ，而走“捷径AC ”，于是在草坪内
走出了一条不该有的“路AC ”．已知AB=40米，BC=30米，
他们踩坏了 米长的草坪，只为少走 米的路.
A
a
b
c
E
A
B
C
D
F
D
B
A C
F E
G
H
A
B C
D
E
16．写出一个同时满足下列两个条件的一元二次方程.
（1）二次项系数是1 （2）方程的两个实数根异号
17. 图1中菱形的两条对角线长分别为6和8,将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形
无重叠地拼成如图2所示的图形.则图1中菱形的面积等于；图2中间的小四边形的面
积等于.
图1 图2
三、解答题（本题共49分, 18-19题，每题10分每小问5分；20题5分；21-26题，每题4分）
18. 计算：
（1）（22
⎛
-
⎝
.
19. 解方程：（1）0
3
8
2=
+
-x
x（配方法）（2）0
3
7
22=
+
-x
x
20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90º，AB=BC=2，AD＝1，CD＝3．
求∠DAB的度数．
21. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF .
求证：四边形BEDF是平行四边形.
22. 已知：如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，点E是AB的中点，AB∥CD，CE∥AD.
求证：四边形AECD是菱形.
23．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF
的数量关系，并证明．
24. 如图，在ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
25.现有10个边长为1的正方形，排列形式如左下图, 请把它们分割后拼接成一个新的正方
形．要求：在左下图中用实线画出分割线, 并在右下图的正方形网格图（图中每个小正方形
的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
B E
C F
A D
E D
C
B
A
C
A D
E
F
E
26．已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．
（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是，∠EMC=________°；
（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论；
②求∠EMC的度数．
八年级数学附加题
四、解答题（本题共20分）
1．（6分）关于x的一元二次方程ax2+bx－2018=0
有一个根为x = 1，写出一组满足条件的实数
a，b的值：a＝，b＝
．
2．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABDE，
连接AD、BE，交点为O，且OC＝2
4．
（1）求证：CO平分∠ACB；
（2）求BC的长．
3．（7分）如图1，点A（a，b）在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与
坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作
“垂点矩形”.
（1）在点P（1，2），Q（2，-2），N（
1
2，-1）中，是“垂点”的点为；
（2）点M（-4，m）是第三象限的“垂点”，直接写出m的值；
（3）如果“垂点矩形”的面积是
16
3
，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐
（4
图2
图1
图1 图2
E
B
C
A
O
D
北京市第三十九中学2020—2021学年度第二学期八年级数学期中试卷答案及评分标准
一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
答案不唯一
210
x-=
18．（1）
解：原式=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（22
⎛
⎝
.
解：原式
3
=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
3
=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
19. 方法不唯一
（1）0
3
8
2=
+
-x
x（配方法）（2）0
3
7
22=
+
-x
x（公式法）
283
x x
-=-………1分273
a,b,c
==-=………1分
22
84316
x x
-+=-+……2分22
4742325
b ac()
∆=-=--⨯⨯=…2分
2
413
(x)
-=……3分
4
x-=……4分
775
2224
b
x
a
-±
===
⨯…3分
4
x=±
12
1
3
2
x,x
==…5分
12
44
x==……5分
20．解：连接AC，·················································································· 1分
在Rt△ABC中，∠B＝90º，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ···················· 2分
∴222
AC AB BC
=+．
∴AC= ································· 3分
∵AD＝1，CD＝3，
∴222
AC AD CD
+=．
在△ACD中，222
AC AD CD
+=，
∴△ACD是直角三角形，即∠DAC＝90º．······································· 4分
∵∠BAD＝∠BAC +∠DAC，
∴∠BAD＝135º．········································································ 5分
21．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF
求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：连结BD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
又∵AE=CF，∴EO=FO．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴四边形BFDE是平行四边形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
22．证明：∵AB∥CD，CE∥AD
∴四边形AECD是平行四边形⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
∵AC⊥BC
∴∠ACB＝90º
∵点E是AB的中点∴C E=AE⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴四边形AECD是菱形. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
C
E D
C
B
A
23.答：PD=EF 证明：连结PB
∵PE ⊥AB,PF ⊥BC,AB ⊥BC ∴∠PEB=∠PFB=∠B=90°
∴四边形PEBF 是矩形 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 ∵在△PCD 与△PCB 中 PC=PC,∠PCD=∠PCB=45°,PD=PB ∴△PCD ≌△PCB
PD=PB ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
而在矩形PEBF 中,PB=EF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴PD=EF ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
24．（1）证明：
∵ CF =BE ，
∴ CF +EC =BE +EC ．
即 EF =BC ．
∵ 在ABCD 中，AD ∥BC 且AD =BC ， ∴AD ∥EF 且AD = EF ．
∴ 四边形AEFD 是平行四边形． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 ∵ AE ⊥BC ， ∴ ∠AEF =90°． ∴ AEFD 是矩形． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 （2）解： ∵ AEFD 是矩形，DE =8， ∴ AF =DE =8． ∵ AB =6，BF =10，
∴ 2222226810AB AF BF +=+==． ∴ ∠BAF =90°． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ∵ AE ⊥BF ，
∴ 11
S 22ABF AB AF BF AE =
⋅=⋅△. ∴ 24
5
AB AF AE BF ⋅==． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 25.
解：如图所示：
…………… 2分……… 4分
26．解：（1）ME =MC ，120； ……………………………………………………………… 2分
（2）①ME =MC 仍然成立．
证明：分别延长EM ，CD 交于点G ，如图6．
∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DCB =90°． ∵∠BEF =90°，
∴∠FEB +∠DCB =180°． ∵点E 在CB 的延长线上， ∴FE ∥DC ． ∴∠1=∠G ．
∵M 是DF 的中点， ∴FM =DM ．
在△FEM 和△DGM 中，
∠1=∠G ， ∠2=∠3， FM =DM ，
∴△FEM ≌△DGM ． ∴EM =GM ． ∴在Rt △GEC 中，CM =
1
2
EG =EM ． 即ME =MC ． ……………………………………………………… 3分
②分别延长FE ，DB 交于点H ，如图7． ∵∠4=∠5，∠4=∠6， ∴∠5=∠
6．
∵点E 在直线FH 上，∠FEB =90°，∴∠HEB =∠FEB =90°．
在△FEB 和△HEB 中， ∠FEB =∠HEB ， EB =EB ， ∠5=∠6，
B E
C F
A D
∴△FEB ≌△HEB ． ∴FE =HE ． ∵FM =MD ， ∴EM ∥HD ． ∴∠7=∠4=30°． ∵ME =MC ， ∴∠7=∠8=30°． ∴∠EMC =180°—∠7—∠8=180°—30°—30°=120°． …………………4分
附加题：
1．关于x 的一元二次方程ax 2+bx －2018=0有一个根为x = 1，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a ＝ 1 ，b ＝ 2017 ．(答案不唯一)……………每空3分 2.（1）证明：延长CA 到G ，使AG=BC ，连接GE ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 ∵四边形ABDE 是正方形， ∴AB=AE ，∠EAB=90°，∠EAO=∠AB0=45°，AO=BO=EO ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 ∴∠GAE=∠CBA ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分 ∴∠GAE+∠EAO=∠CBA+∠ABO ， 即∠GAO=∠CBO ． 在△GAO 和△CBO 中 AG=BC
∠GAO=∠CBO AO=BO
∴△GAO ≌△CBO ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分 ∴GO=CO ，∠AGO=∠BCO ． ∴∠AGO=∠ACO ． ∴∠ACO=∠BCO ， ∴CO 平分∠ACB ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2）∵∠ACB=90°，OC 平分∠ACB ， ∴∠ACO=45°， ∴∠CGO=45°， ∴∠GOC=90．
在Rt △GOC 中，由勾股定理，得 CG 2=32+32，
∴CG=8， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分 ∵AC=3， ∴AG=5，
∴BC=5． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
3．解：（1）Q ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
（2）4
3
- ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
（
3）（-4，4
3），（43
-，4）． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
（4）8． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
图2
图1。