最新-2018高中数学 第2章2.1.1知能优化训练 新人教B版

1．数列1,2,4,8,16,32…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝2n －1
B ．a n ＝2n －1
C ．a n ＝2n
D ．a n ＝2n
＋1
解析：选B.通过验证法易得a n ＝2n －1
.
2．数列2，5，22，11，…，则25是该数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第10项 D ．第11项
解析：选B.由题意知a n ＝3n －1(n ∈N ＋)，∴a 7＝2 5.
3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，有a 1a 2a 3…a n ＝n 2
，则a 3＋a 5等于( ) A.6116 B.259 C.2516 D.3115
解析：选A.法一：因为a 1·a 2＝4，所以a 2＝4；
因为a 1·a 2·a 3＝1×4×a 3＝32
，所以a 3＝94
.
同理a 4＝169，a 5＝2516，所以a 3＋a 5＝61
16
.
法二：由题意得a 1·a 2·…·a n ·a n ＋1＝(n ＋1)2，a 1· a 2·…·a n ＝n 2
，两式相除得a n ＋1＝(n ＋1n
)2，
所以a 3＝(32)2，a 5＝(54)2
，
所以a 3＋a 5＝61
16
.
4．已知数列{a n }，a n ＝cos n θ，0＜θ＜π6，a 5＝1
2
，则a 10＝________.
解析：由a 5＝cos5θ＝1
2
，
0＜θ＜π6知0＜5θ＜5π
6，
∴5θ＝π3，即θ＝π
15
，
∴a 10＝cos10θ＝cos 10π15＝cos 2π
3
＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－1
2.
答案：－1
2
5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝
n
n ＋2
，求出数列{a n }的前4项，并画出图象．
解：在通项公式中，依次取n ＝1,2,3,4可得到数列{a n }的前4项：a 1＝13，a 2＝12，a 3＝3
5
，
a 4＝2
3
.其图象如图．
1．下面五个结论：①数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点；②数列的项数是无限的；③数列的通项公式是唯一的；④数列不一定有通项公式；⑤将数列看作函数，其定义域是N ＋或它的有限子集{1,2，…，n }．其中正确的是( )
A ．①②④⑤
B ．①④⑤
C ．①③④
D ．①②⑤ 答案：B
2．数列{a n }满足a 1＝13，a n ＝－1
a n －1
(n ≥2，n ∈N )，则a 2018等于( )
A.13 B ．3 C ．－13
D ．－3
解析：选A.由题意知a 1＝13，a 2＝－3，a 3＝13，a 4＝－3，…，∴a 2018＝1
3
.
3．现有四个数列：①a n ＝－2n ＋1 ②a n ＝－n 2＋3n ＋1 ③a n ＝12
n ④a n ＝(－1)n
，这四
个数列中为递减数列的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．②③④
解析：选B.由f (x )＝－2x ＋1，g (x )＝12x 为递减函数，可得a n ＝－2n ＋1，a n ＝1
2
n 为递减
数列．
4．已知数列12，23，34，4
5
，…，那么0.98,0.96,0.94中属于该数列中某一项的应有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选C.首先根据数列的前4项归纳出该数列的通项公式；然后根据通项公式来判
断所给三个数是否为数列中的项．设该数列的通项为a n ，∵数列的前4项为12，23，34，4
5
，∴
归纳出该数列的通项公式a n ＝n n ＋1.令n n ＋1＝0.98＝98100＝4950，∴n ＝49∈N ＋.令n
n ＋1
＝0.96
＝96100＝4850，∴n ＝24∈N ＋.令n n ＋1＝0.94＝94100＝4750，∴n ＝473∉N ＋∴在0.98，0.96，0.94这三个数中，有两个数在该数列中．故选C.
5．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
解析：选C.观察所给数列中各个数字之间的关系，可发现从第三个数字起，每一个都是它前面两个数的和，据此可得x 的值是13.
6．数列23，45，67，8
9，…的第10项是( )
A.1617
B.1819
C.
2021 D.2223
解析：选C.由题意知数列的通项公式是a n ＝2n
2n ＋1
，
∴a 10＝2×102×10＋1＝20
21
.故选C.
7．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数，则这个数列的第2018项是________．
解析：设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＋b ＝2
17k ＋b ＝66，
解得k ＝4，b ＝－2， ∴a n ＝4n －2，
∴a 2018＝4×2018－2＝8182. 答案：8182
8．数列{a n }的通项式公a n ＝1
n ＋n ＋1
，则10－3是此数列的第________项．
解析：a n ＝1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ，令a n ＝10－3，得n ＝9.
答案：9
9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________．
解析：由a n ＝19－2n >0，得n <19
2
，∵n ∈N ＋，∴n ≤9.
答案：9
10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1，则9
17
是不是这个数列的一项？如果是，是
第几项？
解：令2n ＋1n 2＋1＝917，解得n ＝4或n ＝－29(舍)，
∴9
17
是这个数列中的项，且是第4项． 11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)0.8,0.88,0.888，…； (2)12，14，－58，1316，－2932，61
64，…； (3)32，1，710，9
17，…； (4)0,1,0,1，….
解：(1)将数列变形为89(1－0.1)，8
9
(1－0.01)，
8
9
(1－0.001)，…， ∴a n ＝89(1－1
10
)．
(2)各项的分母分别为21,22,23,24
，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把
第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24
－3
2
4，…，
∴a n ＝(－1)n
·2n
－32
n .
(3)将数列统一为32，55，710，9
17
，…，对于分子3,5,7,9，…是序号的2倍加1，可得分
子的通项公式为b n ＝2n ＋1，
对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2
}，可得分母的通项公式
为c n ＝n 2
＋1，
∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1
n 2＋1
.
(4)a n ＝
⎩⎪⎨
⎪
⎧
0 n 为奇数1
n 为偶数
，
又0＝12－12，1＝12＋1
2
，
∴也可为a n ＝1＋－
n
2
.
若考虑到三角函数的特征， 此数列的通项公式也可以写为
a n ＝sin 2n ＋π2或a n ＝1＋cos n π
2
(n ∈N ＋)．
12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2
－5n ＋4. (1)数列{a n }中有多少项为负数？
(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．
解：(1)令a n ＝n 2
－5n ＋4＜0， 解得1＜n ＜4. ∵n ∈N ＋，
∴n ＝2,3，即数列{a n }中仅有两项为负数．
(2)a n ＝n 2
－5n ＋4＝(n －52)2－94
，
其对称轴为n ＝5
2
＝2.5，
又n ∈N ＋，
∴当n ＝2，或n ＝3时，a n 有最小值， ∴a n 的最小值为a 2＝a 3＝－2.。