人教版九年级上册数学期末考试试卷含答案

人教版九年级上册数学期末考试试题
一、单选题
1．如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（
）
A ．2
10
x +=（）B ．2
10
x -=（）C ．2
12
x +=（）D ．2
12
x -=（）3．关于x 的方程x 2+2x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值是（）
A ．m ＝1
B ．m ＝﹣1
C ．m ＝2
D ．m ＝﹣2
4．若x 支球队参加篮球比赛，共比赛了42场，每2队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是（）
A ．x(x ﹣l)＝42
B ．x(x+1)＝42
C ．1
2x(x ﹣l)＝42
D ．1
2x(x+1)＝42
5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE ＝65°，则∠A 的度数为（）
A ．112°
B ．68°
C ．65°
D ．52°
6．如图，△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，若AD ＝2，A′D′＝3，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（
）
A ．4：9
B ．9：4
C ．2：3
D ．3：2
7．若A （﹣3，y 1），C （1，y 2）在二次函数y ＝x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2的关系是A ．120
y y ->B ．120
y y -=C ．120
y y -<D ．无法确定
8．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转30°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC 的度数为100°，则∠B 的度数是（
）
A ．40°
B ．35°
C ．30°
D ．15°
9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的大小为（
）
A ．40°
B ．50°
C ．80°
D ．100°
10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a+b ＝0；②2c>3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，a ＝2
2
-
．其中正确的个数（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
11．抛物线y ＝x 2﹣6x+2的对称轴为直线_____．
12．若点A （1，a ）关于原点的对称点是B （b ，﹣2）
，则ab 的值是__．13．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，PA ＝6，∠APB ＝60°，则OC 的长为__．
14．圆锥的底面直径是8cm ，母线长9cm ，则圆锥的侧面积为__．
15．已知抛物线y ＝x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若﹣1＜x ＜2，则y 的取值范围是____
16．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 是半径为2的⊙A 上一动点，点M 是CD 的中点，则BM 的最大值是__．
17．如图，线段AB ＝4，M 为AB 的中点，动点P 到点M 的距离是1，连接PB ，线段PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PC ，连接AC ，则线段AC 长度的最大值是_____．
三、解答题18．解下列方程（1）x 2﹣6x ﹣18＝0
（2）()2
23(2)
x x -=-19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(﹣1，0)，B(﹣2，﹣2)，C(﹣4，﹣1)．
（1）将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）求点B 运动路径长；
20．已知关于x 的方程()2
2310kx k x k ++++=．
（1）若1x =是该方程的根，求k 的值；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
21．如图，在△ABC 中，BA=BC ，点BD ⊥AC 于点D ，DE ⊥AB 于点E （1）求证：△AED ∽△CDB ；
（2）如果BC ＝10，AD ＝6，求AE 的值．
22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高（1）作出Rt △ABC 的外接圆（保留作图痕迹，不用写过程）（2）若AD ＝16，BC ＝15，求BD 的长；
23．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元，平均每天可以多售出20箱．（1）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？
（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？
24．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF ＝DE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD ＝2，DE ＝
5
2
，求DM
的长．25．如图，已知二次函数y ＝ax 2+c 的图象与x 轴分别相交于点A （﹣5，0），点B ，与y 轴相交于C （0，﹣5），点Q 是抛物线在x 轴下方的一动点（不与C 点重合）．（1）求该二次函数的表达式；
（2）如图1，AQ 交线段BC 于D ，令t ＝
QD
AD
，当t 值最大时，求Q 点的坐标．（3）如图2，直线AQ ，BQ 分别与y 轴相交于M ，N 两点，设Q 点横坐标为m ，S 1＝S △QMN ，S 2＝2m 2，试问
1
2
S S
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．26．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥AC ，垂足为D 点，直线OD 与⊙O 相交于E ，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线OD 上，连接PA ，PB ，PC ，且满足∠PCA
＝∠ABC
（1）求证：PA ＝PC ；
（2）求证：PA 是⊙O 的切线；（3）若BC ＝8，
3
2
AB DF =，求DE 的长．
参考答案
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．B 8．B 9．B 10．C 11．x ＝312．2-13
14．236cm π15．-4<y<016．
72
17．
18．（1）13x =23x =；（2）15=x ，22
x =【详解】解：（1）∵26180x x --=，∴2618x x -=∴26927x x -+=，∴()3
327x -=，
∴3x =±
∴13x =23x =（2）∵()2
23(2)x x -=-，∴()2
23(2)0x x ---=，
∴()23(2)0x x ---=，即()5(2)0x x --=，∴15=x ，22x =．19．
（1）见解析；（2
【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图所示，B 运动的路径长为弧BB 1的长，由题意得∠BOB 1=90°∵B （-2，-2）
∴OB ==,
∴点B ．
20．（1）1k =-；（2）9
8
k -＞且0
k ≠【分析】（1）把-1代入方程求解即可；（2）根据根的判别式计算即可；
【详解】⑴把1x =代入该方程得2310k k k ++++=，解得1k =-；⑵分两种情况讨论：
①当0k =时，原方程可化为310x +=，解得13
x =-，
与“该方程有两个不相等的实数根”矛盾，不合题意，应舍去；②当0k ≠时，原方程是关于x 的一元二次方程，∵该方程有两个不相等的实数根，
∴令0∆＞，即()()2
23410k k k +-+＞，解得98k -＞．
综上所述，9
8
k -＞且0k ≠为所求．
21．（1）见解析；（2）
18
5
【分析】（1）由BA=BC ，BD ⊥AC ，得到∠BDC=90°，∠A=∠C ，由DE ⊥AB ，得到∠DEA=∠BDC=90°，由此即可求解；
（2）由三线合一定理可以得到AD=DC=6，由相似三角形的性质可以得到63
105
AE AD CD BC ===，由此即可求解．
【详解】解：（1）∵BA=BC ，BD ⊥AC ，∴∠BDC=90°，∠A=∠C ，
∵DE ⊥AB ，
∴∠DEA=∠BDC=90°，∴△AED ∽△CDB ；（2）∵BA=BC ，BD ⊥AC ，∴AD=DC=6，∵△AED ∽△CDB ，∴
63
105
AE AD CD BC ===，∴318
55
AE CD ==．
22．
（1）见解析；（2）9．【详解】解：（1）如图所作的圆即是Rt △ABC 的外接圆；
（2） ∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高
ACB CDB
∴∠=∠B B ∠∠= Rt ACB Rt CDB
∴ AB BC CB BD
∴
=
2
BC BD AB
∴=
2
1516
BD BD ∴=
+216225BD BD ∴+=2(8)64225BD ∴+-=2(8)289
BD ∴+=817
BD ∴+=±9BD ∴=或25BD =-（舍去）9BD ∴=．
【点睛】本题考查作三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23．
（1）2元或5元；（2）每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元【分析】（1）设每箱应降价x 元，列方程解答；
（2）设每天获利W 元，由题意得到(12)(10020)W x x =-+，化为顶点式即可得到答案．【详解】解：（1）要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x 元，依据题意列方程得，(12)(10020)1400x x -+=，
整理得27100x x -+=，解得12x =，2
5x =；
答：要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价2元或5元．（2）设每天获利W 元，则(12)(10020)W x x =-+，2201401200x x =-++，
220( 3.5)1445x =--+，
∴每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．24．（1）见解析；（2）DM ＝1
2.
【分析】（1）先得出∠ABD ＝∠CBD ，进而得出OD ⊥DF ，即可得出结论；
（2）连接DC，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△CBD，进而解答即可．【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE//AB，
∴∠ABD＝∠BDE．
∴∠CBD＝∠BDE．
∵ED＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD．
∵∠EDF＋∠EFD＋∠EDB＋∠EBD＝180°，
∴∠BDF＝∠BDE＋∠EDF＝90°．
∴OD⊥DF．
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°．
∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（AAS）．
∴CD＝AD＝2，AB＝BC．
∵DE＝5 2，
∴
3
2
EC=，EF＝DE＝
5
2，
∵∠CBD＝∠BDE，
∴BE＝DE＝5 2，
∴BF＝BE＋EF＝5，BC＝BE＋EC＝4．∴AB＝4．
∵DE//AB，
∴ABE MEF
∠=∠，BAM EMF
∠=∠，∴△ABF∽△MEF．
∴AB BF ME EF
=，
∴ME＝2．
∴DM＝DE−EM＝51
2
22 -=．
25．（1）二次函数的解析式为y＝1
5
x2﹣5；（2）Q（
5
2，﹣
15
4）；（3）
1
2
S
S＝
1
2
，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）如图1中，过点Q作QE∥AB交BC于E．设Q（m，1
5
m2﹣5），利用相似三角形的
性质构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
（3）是定值．如图2中，设Q（m，1
5
m2﹣5），求出直线AQ，BQ的解析式，求出点M，
N的坐标，利用三角形的面积公式求出S1即可解决问题．
【详解】解：（1）把A（﹣5，0），C（0，﹣5）两点坐标代入y＝ax2+c，
得到
250
5
a c
c
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得
1
5
5 a
c
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴二次函数的解析式为y＝1
5
x2﹣5．
（2）如图1中，过点Q作QE∥AB交BC于E．设Q（m，1
5
m2﹣5），
由（1）可知，A（﹣5，0），B（5，0），C（0，﹣5），
直线BC的解析式为y＝kx+b，直线AQ的解析式为y＝11
k x b+
∴
50
5
k b
b
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
11
2
11
50
15
5
k b
mk b m
-+=
⎧
⎪
⎨
+=-
⎪⎩
解得
1
5
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，1
1
5
5
5
m
k
b m
-
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，直线AQ的解析式为y＝
5
5
m-
x+m﹣5，
由
5
55
5
y x
m
y x m
=-
⎧
⎪
-
⎨
=+-
⎪⎩
，
解得
5
10
1050
10
m
x
m
m
y
m
⎧
=
⎪⎪-
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
，
∴D（
5
10
m
m
-，
1050
10
m
m
-
-
），
∴E（1
5
m2，
1
5
m2﹣5），
∵QE∥AB，
∴△QED∽△ABD，
∴t＝DQ
AD＝
QE
AB＝
2
1
5
10
m m
-
＝﹣
1
50
m2+
1
10
m，
∵﹣1
50＜0，
∴当m＝﹣
1
10
1
2()
50
⨯-
＝
5
2时，t的值最大，此时Q（
5
2，﹣
15
4）．
（3）是定值．
理由：如图2中，设Q （m ，15
m 2﹣5）
，由（2）可知，直线AQ 的解析式为y ＝
55m -x+m ﹣5，当x ＝0时，y ＝m ﹣5，
∴M （0，m ﹣5），
∵直线BQ 的解析式为y ＝
55
m +x ﹣m ﹣5，当x ＝0时，y ＝﹣m ﹣5，
∴N （0，﹣m ﹣5），
∴S 1＝S △MNQ ＝12×m×（2m ）＝m 2，∴12S S ＝2
22m m ＝12，为定值．26．
（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE ＝8．【分析】（1）根据垂径定理可得AD ＝CD ，得PD 是AC 的垂直平分线，可判断出PA ＝PC ；（2）由PC ＝PA 得出∠PAC ＝∠PCA ，再判断出∠ACB ＝90°，得出∠CAB+∠CBA ＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB ＝90°，得出∠CAB+∠PAC ＝90°，即可得出结论；（2）根据AB 和DF 的比设AB ＝3a ，DF ＝2a ，先根据三角形中位线可得OD ＝4，从而得结论．
【详解】（1）证明∵OD ⊥AC ，
∴AD ＝CD ，
∴PD 是AC 的垂直平分线，
∴PA ＝PC ，
（2）证明：由（1）知：PA ＝PC ，
∴∠PAC ＝∠PCA ．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝1
2
BC＝
18
2⨯＝4，
∵
3
2 AB
DF=，
设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝3
2
a
﹣a，
a＝8，
∴DE＝8．。