2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案(一)

2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案（一）
考试时间：120分钟
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列叙述不正确的是（）
A．已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面
B．已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点
C．已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线D．已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则
2.已知直线和互相平行，则（）
A. B.
C.或
D.或
3.若空间向量a，b不共线，且－a＋(3x－y)b＝xa＋3b，则xy＝
A.1
B.2
C.4
D.6
4.已知向量不共线，，，如果，那么（）
A.同向
B.反向
C.同向
D.反向
5.已知圆，从圆上任意一点M向轴作垂线段MN，N为垂足，则线段MN
的中点P的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
6.某省新高考方案规定的选科要求为:学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生
物、政治、地理四门学科中任选两科.现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、乙恰有一门学科相同的选科方法有（）
A.24种
B.30种
C.48种
D.60种
7.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为
（）
A．B．C．D．
8.圆E：与圆F：的公切线的条数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.双曲线的右焦点为F，点P在椭圆C的一条渐近线上.O为坐标原点，则
下列说法错误的是（）
A.该双曲线离心率为
B.双曲线与双曲线C的渐近线相同
C.若，则的面积为
D.的最小值为2
10.设函数，则函数的图像可能为（）
A B C D
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11.若则正整数__________．
12.在平行六面体中，，，，
，则________.
13.在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）
14.椭圆的离心率为．
15.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近
线的距离为，则其离心率的值是________．
16.如图，梯形ABCD中，，，，，将△ABC
沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为，且平面平面BCD，则下列四个命题中正确的是______________.
①；
②三棱锥的体积为；
③平面
④平面平面
17.若双曲线经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．
18.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A、B、C、
D、E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人
坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.
19.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F
且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是.
20.已知，，则.
三、解答题（本大题共9小题，每小题10分，共90分）
21.如图，设点A、B在轴上，且关于原点O对称．点P满足，
且的面积为20．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）以A、B为焦点，且过点P的椭圆记为C．设是C上一点，且，求的取值范围．
22.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
23.已知抛物线，过抛物线C的焦点F且垂直于轴的直线交抛物线C
于两点，.
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线的方程；
（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点A、B，直线与准线交于点M.连接，过点F作的垂线与准线交于点N.求证：三点共线.
24.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，，，E为棱AB的中点，F为线
段的中点．
（1）求证：平面
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
25.已知函数.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求函数f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值.
{a n}的前n项和，已知，，．
26.设S
n为数列
的通项公式；
（Ⅰ）求，，并求数列{a
n}
（Ⅱ）求数列的前n项和．
27.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭
圆的短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D.
①求的值；
②设AB的中点M，CD的中点为N，求面积的最大值.
28.已知，，给定个整点，其中，，.
（1）当时从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点，，求
的所有可能值；
（2）从上面个整点中任取m个不同的整点，.
（i）证明：存在互不相同的四个整点，，，，满足，
，；
（ⅱ）证明：存在互不相同的四个整点，，，，满足
，.
29.袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1
个球，摸出的球不再放回.求：
（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；
（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.
0.2022年北京四中高二数学期末考试卷及答案（一）解析
一、选择题
1.【答案解析】
D
【详解】
对于A，空间两直线没有公共点，由空间两直线位置关系的分类知，两直线平行或是异面直线，A正确；
对于B，直线与平面有公共点，由直线与平面位置关系的分类知，直线与平面有无数个公共点(直线在平面内)或仅只一个，即B正确；
对于C，两个不重合平面有公共点，由平面基本性质知，它们有且只有一条经过公共点的公共直线，即C正确；
对于D，正三棱锥的侧棱垂直于底面三角形与该棱相对的边，而在底面三角形所在平面内与该边平行的直线都垂直于这条棱，正三棱锥侧棱不垂直于底面，即D不正确.
故选：D
2.【答案解析】
C
【分析】
根据两直线平行的条件求解．
【详解】时，两直线显然不平行，时，则，解得
或．
故选：C．
3.【答案解析】
D
4.D
5.【答案解析】
A
【分析】
利用相关点法即可求解.
【详解】设线段的中点，，
所以，解得，
又点在圆上，
则，即.
故选：A
6.【答案解析】
D
【分析】
以甲，乙所选相同学科是否在物理、历史两科中分为两类，每类中由排列组合公式和基本原理可求．
【详解】解：分为两类，第一类物理、历史两科中是相同学科，则有种选法；第二类物理、历史两科中没相同学科，则有种选法，
所以甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有种，
故选：．
7.【答案解析】
D
【详解】
设圆柱的底面半径为，高为，
∵圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是24，
∴，解得，
∴圆柱的体积为，
故选:D．
8.【答案解析】
B
【分析】
求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相交，从而得到两圆公切线的条数．
【详解】解：化为，
可知圆的圆心坐标为，半径为2；
又圆的圆心坐标为，半径为1．
而，即．
圆与圆相交，则公切线条数为2．
故选：．
9.【答案解析】
D
【分析】
A.根据双曲线方程，求出a，b，c，利用离心率公式求解判断；
B.分别求出两个双曲
线的渐近线方程判断； C.根据点P在渐近线上，又，利用直线PO与直线
PF的方程联立，求得点P的坐标求解判断；D.由的最小值为点F到渐近线的距离求解判断.
【详解】A.因为双曲线方程为，所以，
则，故正确；
B.双曲线与双曲线的渐近线方程都为，故正确；
C.设，因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程为，即为直线PO
的方程，又因为，所以直线PF的方程为，由
，解得，即，所以，故正确；
D.，其中一条渐近线为，则的最小值为点F到渐近线的距离，
即，故错误；
故选：D
10.【答案解析】
B
解析：
，
所以为偶函数，排除A，C；
，排除D，故选B．
二、填空题
11.【答案解析】
5
【分析】
按组合数、排列数公式列出等式求解即可.
【详解】由得，
解得
故答案为：5
12.【答案解析】
【分析】
在平行六面体中，利用对角线向量，利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量数量积的运算律求得结果.
【详解】由平行六面体的特征可知，
所以
，
所以，
故答案为：.
13.【答案解析】
15
【分析】
由二项式展开式通项有，可知常数项的值；
【详解】二项展开式通项为，
∴当时，常数项，
故答案为：15
14.【答案解析】
15.【答案解析】
2
分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为
所以，因此
16.【答案解析】
③④
【分析】
利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及性质定理可判断①③④；利用三棱锥的体积公式可判断②.
【详解】解：如图所示：
设中点为，连接，
对①，，即，
，
又平面平面，
平面，
又平面，
，
若，
，
平面，
又平面，
，
与已知矛盾，所以①错误；
,对②，，，
，，
又，
，
，
，所以②错误；
对③，平面平面，
平面平面，
，
平面，所以③正确；
对④，平面，
平面，
平面平面，所以④正确
故答案为：③④.
17.【答案解析】
【分析】
将点的坐标代入双曲线的方程，求出实数的值，进而可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】将点的坐标代入双曲线的方程得，，可得，
所以，双曲线的方程为，因此，该双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
18.【答案解析】
45
【分析】
先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果.
【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；
剩下四人进行错排，设四人座位为，则四人都不坐在自己位置上有
这9种可能；
所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种
故答案为：45
19.【答案解析】
(1,2)
20.【答案解析】
三、解答题
21.【答案解析】
（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）设，根据点满足，得到直线的方程为，直线的方程为，两方程联立用c表示点P的坐标，再根据的面积为，由求得c即可.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，P，从而由求得a，进而得到椭圆的方程，然后根据求解.
【详解】（Ⅰ）如图所示：
设，
则直线的方程为，直线的方程为．
由解得
所以．
故的面积．
所以，
解得．
所以点的坐标为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以，．
设以为焦点且过点的椭圆方程为．
则，又，
所以椭圆的方程为．
所以，即．
因为，所以．
所以．
所以的取值范围是．
22.【答案解析】
（1）；（2）.
【分析】
（1）由余弦定理结合，可得，即，又因为，即可得解；
（2）由正弦定理可得，
由，再结合三角形为锐角三角形可得，即可得解.
【详解】（1）由余弦定理可得，
所以，
又，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
即，又因为，所以；
（2）由（1）知，由，
可得，
,
由，且三角形为锐角三角形，
所以，且，
，
，
又，所以，
所以，，
所以的取值范围为.
23.【答案解析】
（1）抛物线的方程为，焦点坐标为(1,0)，准线方程为（2）证明见解析
【分析】
（1）根据抛物线通径的性质，得出，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；
（2）根据题意，设直线，与抛物线方程联立，求出则，
，通过直线相交分别求出和，从而求出和
，通过化简求出，即可证出三点共线.
【详解】解：（1），则，
故抛物线的方程为：，
其焦点坐标为，准线方程为：
（2）设直线，联立，
得，则，
设，，则，
法1：直线，
由得，故点，
直线的斜率，
则直线的斜率，
直线，则点
直线的斜率.
直线的斜率，由得，
则，
所以三点共线.
法2：直线，
由得，故点，
由，得.
直线的斜率，
直线，得点，
由，得.
直线的斜率.
直线的斜率，由得，
由，得，
则有.所以三点共线.
法3：（1）∵，∴，∴，∴，，∴抛物线的标准方程为：，
则焦点坐标为：，准线方程为：.
（2）设直线，联立得：，
，
设，，
∴直线，
当时，，∴，
∴，∴，
∴直线，
当时，，∴，
∴，，
∴
，
∴，
∴共线.
24.【答案解析】
解：（1）如图：取的中点G，连接GF，GB，
则，又，，则四边形为平行四边形，
，又面，面，平面；
（2）如果建立空间直角坐标系,
则，
则，
设面的法向量为，
则，即，令，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
25.【答案解析】
（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）最大值为18，最小值为.
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．
【详解】（1）因为，所以.
令，解得，.
随着x的变化，，变化情况如下表：
x1
00
极大值极小值所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，，，
所以，函数在区间上的最大值为18，最小值为.
26.【答案解析】
（Ⅰ）1,2,；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）代入数据计算得到，，利用公式得到，计算得到答案
（Ⅱ）直接利用错位相加法得到答案.
【详解】(I).当时，
,
当时，
,,
是首项为公比为的等比数列.
,
（II）设
则
即,
上式错位相减:
,
.
27.【答案解析】
（1）；（2）①；②
分析：
（1）由短轴长为2，得到，再由离心率结合计算可得椭圆方程；
（2）①由直线，过右焦点，设出直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出弦长，再由两直线的斜率乘积为，将弦长中的斜率变为
可得弦，相加即可得解；
②由中点坐标公式求出、的坐标，观察坐标知的中点在轴上，所以
整理后利用基本不等式即可得到面积的最值；
解答：解：（1）依题意可得解得，故椭圆的方程为；（2）①设的方程为，，
联立消去并整理得到
，
于是
同理可得
②由①知，，，，
所以，
所以的中点
所以
当且仅当即时取等号，
所以面积的最大值为
28.【答案解析】
（1）2,3,4；（2）（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】
（1）取时，即可表示出整点，进而算出可能的所有取值；
（2）（i）假设不存在互不相同的四个整点满足题设条件，进而得出，与
已知矛盾，结合反证法，即可证明；
（ⅱ）利用关系式，即可作出证明.
【详解】（1）当时，4个整点分别为，
所以的所有可能的值为；
（2）（i）假设不存在互不相同的四个整点，
满足，，，
即在直线中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为，
而，与已知矛盾，
故存在互不相同的四个整点，满足，，
.
（ⅱ）设直线有个选定的点，
若，设上的这个选定的点的横坐标分别为，且满足
，
由，
则中任意不同两项之和的不同的值恰有个，
且，可知，
存在互不相同的四个整点，满足，
.
29.【答案解析】
（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】
（Ⅰ）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率．（Ⅱ）第一次摸到红球后，还余下个红球和个白球，同（Ⅰ）可求概率．
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率．
【详解】设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，
则事件：第一次摸到白球.
（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，
所以.
（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.
所以.
（Ⅲ）.
所以第二次摸到红球的概率.。