2018-2019高二上学期数学期末复习卷(必修3+选修2-1和选修2-2第一章)

2018-2019高二上学期数学期末复习卷
一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分）
1．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n 人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n ＝( )
A ．660
B ．720
C ．780
D ．800
2.在区间[]3,4-内随机取一个实数x ，则满足22x ≥的概率为（ ）
A.
27
B.
37
C.
47
D.
57
3．下列命题中错误的是( )
A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题
B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”
C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题
D ．00,x ∃>使“00x x
a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件
4．如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．
的是（ ） A ．2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B ．2018年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高
C ．从两图来看，2018年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D ．从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
5.已知双曲线的离()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）
A.1
4
y x =±
B.13
y x =±
C.12
y x =±
D.y x =±
6. 在1, 2, 3, 4,5这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的平均数的概率是( )
A. 101
B. 52
C.103
D.5
1
7． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
A. 12018
B. 12019
C.
2017
2018
D.
2018
2019
8．在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱
AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角为( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
9．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是( )
A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3
k ＋1
10.如图，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长都相等，E ，F ，G 分别为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )
A.35
B.56
C.3310
D.36
10
11．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，
开始
结束
k = 1 , S = 0
k = k + 1
k < 2018?
输出S
S = S +
k (k +1)
1是
否
(4,1)，…，则第62个“整数对”是( )
A ．(7,5)
B ．(5,7)
C ．(2,10)
D ．(10,1)
12.抛物线y=2x 2上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长度为3，则点M 纵坐标的最小值为（ ） A.
811 B. 45 C. 2
3
D. 1 二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为___________ 14．已知cos π3＝12
，
cos π5cos 2π5＝14，
cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，
……
根据以上等式，可猜想出的一般结论是________________________________________； 15.如图所示，在大小为30°的二面角A ­EF ­D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是___________________
16.已知直线y=kx+m(K>0)与抛物线C:y 2=4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若3 ，则K 等于________.
三、解答题（本题共6个小题，共70分）
17. （本小题满分10分）已知p:方程表示双曲线；q:方程
表示焦点在x 轴上
的椭圆.若为真命题，
为假命题，求实数m 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取
了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：
AQI
图1 A 地空气质量指数（AQI ）
0.0050.0030.002
0.008
图2 B 地空气质量指数（AQI ）
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
（1）试根据样本数据估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；
(2) 若分别在A、B两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.
19．某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离)．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.
表1：无酒状态
表2：酒后状态
已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．
(1)求m，n的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程y
^
＝b
^x
＋a
^
；
(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？
(附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，
其回归直线y
^
＝b
^x
＋a
^
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
（b
^
＝
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
-
⋅
-
=
-
-
-
n
i
n
i
i
n
i
n
i
i
x n
x
y
x n
y
x
x
x
y
y
x
x
1
i
2
2
1
i
1
i
2
1
i
)
(
)
)(
(
，a
^
＝y－b
^x
)
20．等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.
(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n n
(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
21．（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDFE 中，底面ABCD 为矩形，
//EF AB ，BC FD ⊥，过BC 的平面交棱FD 于P ，交棱FA 于Q ．
（1）证明：//PQ 平面ABCD ；
（2）若,,2,CD BE EF EC CD EF BC tEF ⊥===，求平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角的大小．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆
()22
2210x y
a b a b
+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =
x 轴正半轴一点(),0m
且斜率为3
-
的直线l 交椭圆于,A B 两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数m 使0FA FB ∙=，若存在求出实数m 的值；若不存在需说明理由.
2018-2019高二上学期数学期末复习卷答案
一、选择题
1．解析：选B 由已知条件，抽样比为13
780＝1
60，从而35
600＋780＋n ＝1
60，解得n ＝720.
2. B 3． C
4．答案：D 解析：选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误． 5.C
6. 【答案】D 【解析】在1, 2, 3, 4,5中随机取出三个数，所有的可能结果为(1, 2, 3), (1, 2, 4),(1, 2,5),(1, 3, 4),(1, 3, 5),(1, 4, 5),(2, 3, 4)，(2, 3, 5)，(2, 4, 5)，(3, 4,5)，共10种，其中数字3是这三个不同数字的平均数的结果有(1, 3, 5),(2, 3, 4)，共2种．根据古典概型概率公式可得所求概率为
51102==
p ．即数字3是这三个不同数字的平均数的概率是5
1
．故选D ． 7． D
8．解析：选B 如图所示，以BC ，BA ，BB 1，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标
系，由于AB ＝BC ＝AA 1，不妨取AB ＝2，
则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)，
所以EF ―→＝(0，－1,1)，BC 1―→
＝(2,0,2)， 则cos 〈EF ―→
，BC 1―→
〉＝
22·2
2＝12
，
A
B
C
D
E
F P
Q
故直线EF 与BC 1的夹角为60°. 9．解析：选B 当n ＝k (k ∈N *)时，
左式为(k ＋1)(k ＋2) ·…·(k ＋k )；
当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，
则左边应增乘的式子是
2k ＋1
2k ＋2
k ＋1
＝2(2k ＋1)．
10.解析：选A 设正三棱柱的棱长为2，取AC 的中点D ，连接DG ，DB ，分别以DA ，DB ，DG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B 1()
0，3，2，F (1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫12，32，0，G (0,0,2)，
B 1F ―→
＝()
1，－3，－1，EF ―→
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫12，－32，1，GF ―→＝(1,0，－1)．
设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
EF ―→
·n ＝0，GF
―→
·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
1
2
x －32y ＋z ＝0，
x －z ＝0，
取x ＝1，则z ＝1，y ＝3，
故n ＝(
)
1，
3，1为平面GEF 的一个法向量，
所以cos 〈n ，B 1F ―→
〉＝
1－3－15×
5
＝－3
5，
所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为3
5
.
11．解：选A 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，
不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”， 这样的前n 组一共有
n n ＋1
2
个“整数对”，
注意到10×10＋12＜60＜11×11＋12
，
因此第62个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置， 结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为： (1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，(6,6)，（7，5）…， 因此第62个“整数对”是(7,5)． 12.【详解】由题意设
，
，
，直线
的方程为
，
联立方程
，整理得
，
，，
点
M
的纵坐标
，
弦
的长度为，
，即
，整理得
，即
根据基本不等式，
，当且仅当
，
时
取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.
二、填空题
13．根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，
令a 1＝7，a 2＝32，则d ＝25，所以7＋25(n －1)≤500， 所以n ≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
14．解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为1
2n
，
故可以猜想出结论为cos π
2n ＋1cos 2π
2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝1
2n (n ∈N *)．
15.解析：选D ∵BD ―→＝BF ―→＋FE ―→＋ED ―→
，
∴|BD ―→|2＝|BF ―→|2＋|FE ―→|2＋|ED ―→ |2＋2BF ―→·FE ―→＋2FE ―→·ED ―→＋2BF ―→·ED ―→＝1＋1＋1－3＝3－3，故|BD ―→|＝3-3. 16.【答案】
【解析】 【分析】由题意可知直线l 过抛物线的焦点，过N 做NN ′⊥准线x=﹣1，
垂足为N ′，由数形结合得∠N ′NM 与直线l 倾斜角相等，根据抛物线的定义即可求得tan ∠N ′NM ，即可求得k 的值．【详解】抛物线
C ：y 2=4x
的焦点F （1，0），直线l ：y=kx+m 过抛物线的焦点， k+m=0
过N 做NN ′⊥准线x=﹣1，垂足为N ′，由抛物线的定义，丨NN ′丨=丨NF 丨， 由∠N ′NM 与直线l 倾斜角相等，由
，
则cos ∠N ′NM= = ，则tan ∠N ′NM=±，因为
∴直线l 的斜率k=
，
故答案为：
．
三、解答题
17. （本小题满分10分）试题解析：p 为真命题时，，
q 为真命题时，，
或
，
∵
为真命题，
为假命题，∴与—真一假，
当p 真，q 假时，，当p 假，q 真时，
或
，
∴
.
18.（本小题满分12分）
解：（1）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地
区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .
--------------------4分
（2）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，
空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ，
B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ， 设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为
C ， 则基本事件空间
1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =， 所以A ，B
两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =
19．解：(1)依题意，得6
10m ＝50－26，解得m ＝40，
又m ＋n ＋36＝100，解得n ＝24. 故停车距离的平均数为
15×26
100＋25×40
100＋35×24
100＋45×8
100＋55×2
100＝27.
(2)依题意，可知x ＝50，y ＝60，
∑=n
i
i y
x 1
i ＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17 800，
∑=n
i
x
1
i 2
＝102＋302＋502＋702＋902＝16 500，
所以b ^
＝17 800－5×50×60
16 500－5×502
＝0.7，
a ^
＝60－0.7×50＝25，
所以回归直线方程为y ^
＝0.7x ＋25.
(3)由(1)知当y >81时认定驾驶员是“醉驾”．令y ^
>81，得0.7x ＋25>81，解得x >80，
当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．
20．解：(1)由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1＋2，
3a 1＋3d ＝9＋32，
所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋
2)．
(2)证明：由(1)，得b n ＝
S n n
＝n ＋
2.
假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，
则b 2q
＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，
所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.
因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧
q 2－pr ＝0，
2q －p －r ＝0，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，
所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
21．（本小题满分12分）
解（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以//AD BC ，又因为AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ，所以//BC 平面ADF ，…………………………………………2分 又因为BC ⊂平面BCPQ ，平面BCPQ 平面ADF PQ =，所以//BC PQ ，……4分
又因为PQ ⊄平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以//PQ 平面ABCD ．……………6分
（2）解：
,,CD BE CD CB BE CB B ⊥⊥=，CD ∴⊥平面BCE ，又因为CE ⊂平面BCE ，
所以CD CE ⊥；因为,,BC CD BC FD CD
FD D ⊥⊥=，所以BC ⊥平面CDFE ，所以
BC CE ⊥，以C 为坐标原点，,,CD CB CE 所在方向为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐
标系C xyz -，设
1EF CE ==，则(2,,0),(2,0,0),(1,0,1)A t D F ，
所以(0,,0),(1,,1)AD t AF t =-=--………7分 设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则
n AD ty n AF x ty z ⎧⋅=-=⎪⎨
⋅=--+=⎪⎩，令1x =，得(1,0,1)n =…9分
易知平面BCE 的一个法向量为(1,0,0)m =，……………………10分
设平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则
2
cos 2n m n m
θ⋅==⋅，……………………………11分 所以4
π
θ=，故平面ADF 与平面BCE 所成锐二面角为
4
π．
22.解：
（1）
抛物线2
8y x =的焦点是
()2,0
()2,0F ∴，2c
=∴，又椭圆的离心率为
33
c a = a =
∴26a =，则222
2b a c =-=
故椭圆的方程为
22
162
x y
+=.
（2）由题意得直线
l 的方程为()()03
y x m m =-
-> 由)22
162x y y x m
⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
消去y 得22
2
260x mx
m -+-=. 由()
224860m m ∆=
-->，解得m <-<又0m >，0m <<∴设()11,A x y ，()
22,B x y ，则1
2x x m +=，2126
2
m x x -=.
))()2
1212121213
33m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-∙-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴.
()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，
()()()()2
1212121223462243333
m m m m FA FB x x y y x x x x -+∙=--+=-+++=
∴ 则由0FA
FB ∙=，即
()
2303
m m -=，
解得0m =或3m =.又0m <<
3m =∴.
即存在3m =使0
FA FB ∙=.。