弹性力学例题

的作用，试用应力函数
求解图示问题的应力及位移，设在A点的 位移和转角均为零。
F
Fb/2
O
x
bb h
A y
解： 应用应力函数求解：
(1) 校核 相容方程
，满足.
(2) 求应力分量 ，在无体力时，得
(3) 考察主要边界条件，
均已满足
考察次要边界条件，在y=0上， 满足。 得 得
代入，得应力的解答，
Fs
.
(b)
由(a),(b) 解出
最后一个次要边界条件(x=l上)，在平 衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件 下，是必然满足的，故不必再校核。
代入应力公式，得
例题2
y
o
挡水墙的密
度为 ，厚度
为b,图示,水的密
度为 ，试求
应力分量。
x
解：用半逆解法求解。 1
， 体力求得应力分
量为
2Φ
τ xy
xy
x2 (3Ay2 2By C) 2
( A y4 2B y3 3Gy2 2Hy I ).
2
3
5. 考察边界条件：
主要边界
上,有
得
x( A
b3 8
B
b2 4
C
b 2
D)
2 gx;
(a)
得 x(A b3 B b2 C b D) 0;
(b)
8 42
( xy )yb/ 2 0,得
x2 (A 3b2 Bb C) 24 (A b4 B b3 G 3b2 32 12 4
Hb I ) 0.
由上式得到
求解各系数，由
得 得 得 得
由此得 又有 代入A,得
在次要边界（小边界）x=0上，列出三 个积分的边界条件：
由式(g),(h)解出
例题1 例题2
例题3 例题4
例题5 例题6
例题7 例题8
o
h/2
y
dy
h/2
x
图l 3-5
y
解： 本题是较典型的例题，已经给出了应
力函数 ，可按下列步骤求解。
1. 将 代入相容方程，显然是满足的。
2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。
3. 考察边界条件： 主要边界
15),
上应精确满足式(2-
上述应力已满足了
和全部边界条
件，因而是上述问题的解。
(4) 求应变分量，
(5) 求位移分量，
另两个积分的边界条件， 显然是满足的。
于是将各系数代入应力表达式，得最后的 应力解答。
读者试校核在x=l的小边界上，下列条 件是满足的，
例题6
矩形截面的柱体受到 顶部的集中力 和 力矩M的作用，不计 体力，试用应力函数
例题5
例题1
• 固定边椭圆板的边界方程为
•
(
x a
2 2
y2 b2
1)
0,
a
O
x
受均布荷载 作用，如图，
b
试求其挠度和内力。
y
解：固定边的边界条件是
w (w, n )s
0.
(a)
由 (w)s 0
，显然(w)
s
s
0
。因此，从方向
导数的公式可推出，
(
w x
,
w y
)
s
0.
(b)
为了满足边界条件(a)，可以令
代入应力分量的表达式得最后的应力解答：
例题3 已知
试问它们能否作为平面问题的应力函数？
解： 作为应力函数，必须首先满足相容方程，
将 代入， (a) 其中A= 0，才可能成为应力函数； (b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力
函数。
例题4
图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中
力F和力矩
在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢
量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的
边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表
示了负x面上的
的正方向，由此得：
h/2
h/2 (σx )x0 y d y M ,
得
C
2M h3
;
h/2
h/2 ( xY )x0 d y Fs ,
得
Ah 1 Dh3 4
o x
y
解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。
本题得出的应力解答是
例题8 试用应力函数
求解图中所示的半平面体在 上受均布切力q的问题。
的边界
q o x
y
解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。
本题得出的应力解答是
例题
例题1 例题2 例题3 例题4
(w,
w x
,
w y
)s
0.
M
y
o
b/2 b/2
hq
q
求解其应力分量。 x
解：应用上述应力函数求解：
(1) 代入相容方程， (2) 求应力分量，在无体力下，
(3)考察边界条件，在主要边界 在小边界（ x= 0）
再由(a),(b)式解出 代入，得应力解答，
例题7 试用应力函数
求解图中所示的半无限平面体在 的边界上受均布压力q的问题。
y=b/2 边界
上，
，所以可假设在区域内
沿x 向 也是一次式变化，即
2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式， 所以
3. 由相容方程求应力函数。代入 得
要使上式在任意的x处都成立，必须
代入 ，即得应力函数的解答，其中已 略去了与应力无关的一次式。
4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式
(2-24) ,注意