数学分析2样卷

数学分析2
第十一章广义积分
1 考核的知识：
无穷限广义积分、瑕积分收敛与发撒的概念，绝对收敛与条件收敛的概念及其一些简单的收敛性判别法。

2考核的要求
(1)掌握两类广义积分收敛与发散的概念以及绝对敛与条件收敛的概念。

(2)会用收敛的定义和一些简单的收敛性判别法判别一些无穷积分的敛散性。

第十二章数项级数
1 考核的知识
级数收敛与发撒的概念；收敛级数的基本性质、收敛的必要条件、柯西准则。

正项级数收敛的基本定理，比较判别法及其极限形式，比值判别法及其极限形式，根值判别法及其极限形式，柯西积分判别法。

一般项级数的绝对收敛、条件收敛概念，交错级数及其莱布尼兹判别法。

2 考核的要求
(1)掌握级数收敛与发散的概念，绝对收敛与条件收敛的念。

(2)牢记级数的敛散性，熟练地应用比较判另法、达朗贝尔判别法和柯西判别法判别正项级数的收敛性。

(3)熟练地用莱布尼兹判别法判定交错级数的收敛性。

(4)类比有限和及其结合律、交换律、分配律，建立收敛级数的和（无限和）及其任意项加括号定理，级数的重排，两级数的乘积。

(5) 综合运用前述概念、理论证题。

第十三章函数项级数
1 考核的知识
函数列（函数项级数）收敛与一致收敛概念；一致收敛的柯西准则，确界充要条件；一致收敛的函数列（函数项级数）的极限函数（和函数）的分析性质：连续性，积分号下取极限（逐项可积性），导数号下取极限（逐项可导性）；函数项级数一致收敛判别法：M判别法。

2 考核的要求
(1)函数列（函数项级数）概念、收敛概念与一致收敛概念、一致收敛的柯西准则等。

(2)判断一些简单函数列、函数项级数在区间I上一致收敛或不一致收敛。

第十四章幂级数
1 考核的知识
幂级数的阿贝尔定理，收敛半径，收敛区间，收敛域，幂级数的一致收敛性，和函数的连续性、可微性与可积性；幂级数的运算。

泰勒级数，函数可展成幂级数的条件，基本初等函数的幂级数展开式.
2 考核的要求
(1)会求幂级数的收敛半径、收敛域以及和函数。

(2)记住五个函数的马克劳林展开式，并能应用它们将一些简单函数展开成幂级数 第十五章 Fourier 级数
1考核的知识
三角级数，三角函数的正交性；傅里叶级数及其收敛定理，正弦级数，余弦级数；任意区间上的傅里叶级数. 2 考核的能力
(1)求出（－π，π]或任意区间上的傅里叶级数，并讨论其收敛性；
(2)求出（０，π）上或（０，L ）上的正弦级数、余弦级数，并讨论其收敛性。

(3)用函数的傅里叶级数以及收敛定理求级数的和。

三、考试命题要求
1 考试命题原则：考试命题以考核学生应该掌握的知识和能力为主，用考核能力达到考核知识的目的。

2 考试试题的类型：选择题、填空题、计算题、应用题及证明题。

3 考试命题的分布：
（1）基本性的容易型试题占40%，中等难度试题占40%，较难试题占20%； （2）分数比重
数学分析1：
选择题约占10%，填空题约占10%，计算题约占45%，应用题约占14%，证明题约占21%。

数学分析2：
选择题约占15%，填空题约占15%，计算约占54%，证明题约占16%。

数学分析2样卷
一、选择题（每小题3分，共15分）： 1．若级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则下列级数收敛的是（ ）
A ：
∑∞
=+1
)100(n n a ； B ：∑∞
=1
100n n a ； C ：∑∞
=-1
)100(n n a ； D ：∑
∞
=1100
n n
a 2、设常数0≠a ，且级数
∑∞
=1n n
q
a
收敛，则有（ ） A ：1<q ； B ：1<q ； C ：a q <； D ：1>q 3、下列级数中，绝对收敛的是（ ）
A ：
∑
∞
=-1
)1(n n
n
； B ：
∑
∞
=--1
3
2
1
)1(n n n ； C ：∑∞
=-1)1(n n n ； D ：∑∞
=-1)1(n n
n
n
4、幂级数
∑
∞
=1
n n
n
x 的收敛域是（ ） A ：（-1，1） B ：)1,1[-； C ：]1,1(-； D ：[-1，1] 5、使得瑕积分
1
1
p dx x
⎰
收敛的p 的值为（ ） A. 0p > B. 1p < C. 1p = D. 1p >
二、填空题（每小题3分，共15分）： 1、 级数
∑∞
=1
n n
a
收敛的柯西准则是
2、若级数
∑∞
=1n n
a
收敛，则=∞
→n n a lim
3、函数级数
∑∞
=1
)(n n
x u
在区间I 非一致收敛是指
4、函数)1ln(x +的麦克劳林级数是 它的收敛区间是 ；
5、设
21,1A
dx x +∞
-∞=+⎰ 则A = 。

三、判别下列级数的敛散性（每小题5分，共20分）
1、∑∞
=++12
121n n n ； 2、∑∞=122n n n ； 3、()11121n
n n n n ∞
=-⎛⎫
- ⎪+⎝⎭∑ 4、()∑∞=+-1
1)1(n n n n
四、计算题（共34分） 1、（6分）计算广义积分
⎰
∞+++0
2
221
dx x x .
2、（8分）讨论反常积分
⎰
+∞
--0
1dx e x x p 的敛散性。

3、（10分）求幂级数210
(1)21n n
n x n +∞
=-+∑的和函数及其收敛域。

4、（10分）将定义在(,]ππ-上的函数 ()f x x = 展开成Fourier 级数，并求此级数在],[ππ-的和函数。

五、证明题（每小题8分，共16分）：
1、设)2,1(1
1,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞
=1
n n x 发散。

2、证明函数列),(1
)(22+∞-∞∈+
=
x n
x x S n 在一致收敛。

答案与评分标准：
一、1、B 2、D 3、D 4、B 5、B 二、1、ε
ε<+++⇒N ∈∀>∀N ∈∃>∀+++p n n n a a a p N n N 21,,,0
2、0
3、()()000000
0,,,0εε≥-⇒∈∃>∃N ∈∀>∃x S x S I x N n N n
其中()()()I
x x u x S x u x S
n
k k n n n ∈==∑∑=∞
=,,
)(1
1
4、n
n n x n x ∑∞
=+-=+1
1)1()1ln( ，]1,1(-∈x 5、
π
1
三、1、∑∞
=∞→∞→=++=++1
2221
,2
112lim 1121lim
n n n n n n n n n n 发散，所以原级数收敛。

2、()()∑∞
=∞→+∞
→∴<=+=+12
2
2
2
1
22
,12121lim
221lim
n n n n n n n n n n n 收敛 3、∴<=+-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+--∞→∞
→,121121lim
121)1(lim n n n n n n
n
n n 原级数绝对收敛
4、0)
1(1lim
,)
2)(1(1)
1(1)
1()1(1
=+++>
++-∞
→∞
=∑
n n n n n n n n n n n 并且是交错级数，
∑
∞
=+-∴
1
)
1()1(n n n n 收敛
四、1、
()
()4421arctan 1112210020
2πππ=-=+=++=++∞
++∞+∞
⎰⎰
x dx x dx x x
………………………………………….6分 2、⎰⎰⎰
+∞
----+∞
--+=1
11
10
1dx e x dx e x
dx e x
x p x
p x
p
收敛时，即当⎰-----→><-∴=1
1110
,011,
1lim dx e x p p e x
x
x p x
p p
x …….4分
收敛，即又⎰+∞
----+∞
→>=∴=1
112
12,
0lim dx e x e x
x x p x
p x λ 。

所以当且仅当
0>p 时，原积分收敛。

……………………………………………..4分
3、设x x n x x s n x x s n n
n n n n n n n +=-='⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-='+-=∑∑∑∞
=∞
=++∞
=11)1(12)1()(,12)1()(00121
20
则 ………………………………………….4分 所以
)1ln(11
)()(00
x dt t
dt t s x s x
x
+=+='=⎰
⎰
……………………… 3分 22
1
23
213
212lim
1
2)1(3
2)1(lim x x n n x n x
n n n n n n n =++=+-+-∞→+++∞
→
时，时，即当1112
<<-<∴x x 原级数收敛；当1=x 原级数也收敛，但当1-=x 时，原级数发散。

所以级数的收敛域为（-1，1]，即
]1,1(,)1l n (12)1()(1
20
-∈+=+-=+∞
=∑x x n x x s n n n
………………………3分
1、 因为()ππ,)(-=在x x f 是奇函数，所以() ,2,1,0,
0==n a n …………2分
() ,2,1,2
)1(sin 2
1
=-==
+⎰
n n
xdx x b n n π
π………………………….5分
于是⎩
⎨
⎧±=<<-=-≈+∞
=∑ππ
πx x x n nx x f n n ,0,sin )
1(2)(1
1
…………………………..3分 五、
1、证明：n
n n x x x n n n 1
11,
01-=->>+
1
2
,
,4
3
,32
,211453423-->>>>∴
-n n x x x x x x x x n n …………………4分 上述不等式相乘得：
221
1
,1
1
x n x n x x n n ->
∴-> 由∑∑∞
=∞
==-121
11n n n
n 发散知，原级数也发散。

……………………………………….4分 2、 证明：),(,1
lim
)(22+∞-∞∈=+
=∞
→x x n
x x s n ……………..……..2分
n n n x
n
x n x n x x s x S n 111
1
11
)()(22222
2=<++=-+
=
-∴……..4分 由01
lim =∞→n
n 知，），
在（∞+∞-)(x S n 一致收敛于s(x)………………2分。