离散数学 实数集合与集合的基数
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可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3
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...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
.
1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数
定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
定理 (1) 可数集合的任何子集是可数集. 证: 设A可数, BA, 则BA,即 card B card A 0. (2) 两个可数集的并集和笛卡尔积是可数集. 证: A={a11, a12, …, a1n, …}, B={a21, a22, …, a2n, …}, A∪B={a11, a12, a21, a13, a22,…} (3) 若K是无限集合, 则P(K)是不可数的.
自然数的运算
加法 定义: 令+:N×NN, 且对m, nN <m, n>Am(n) 记Am(n)=m+n. 其中Am(0)=m, Am(n+)= (Am(n))+, 则称 +为N上的加法运算.
1. 例:
由加法定义计算3+2.
定理.
设m, nN, 则 0+m=m+0=m (加法规则1) m+n+=(m+n)+ (加法规则2) 证明: m+0=Am(0)=m. (定义) 0+m=A0(m)=A0((m-1)+)=… m+n+=Am (n+)=(Am(n))+=(m+n)+
例:
A={a, b, c}, B={{a}, {b}, {c}}. N偶={n | nN∧n为偶数}, N奇={n | nN∧n为奇数}
可数集合
定义1:
对集合K, 如果card K0, 则称K是可 数集合. 定义2: 如果集合K是有限的或与N等势, 则称 K是可数集合.
集合的基数
基数----集合中元素的个数.
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”
问题。
一.自然数
定义:
对任意集合A, 定义 A+=A∪A 称A+为A的后继, A为A+的前驱. 例: 若A=Ф, 则 Ф+= (Ф+)+=. ((Ф+)+)+=
一.自然数
定义:
N≈Z. 解: 取f: NZ, 且nN,
例:
n 1 2 f (n ) n 2 n 为奇数 n 为偶数
或,
取g: ZN, 对nZ
n 0 n 0 n 0
0 g (n ) 2 n 2 | n | 1
例: N≈Q. 因为每个有理数都可以写成一个分数形式如下：
集合0=Ф是一个自然数, 若集合n是一个 自然数, 则集合n+1=n+也是一个自然数.
0=Φ 1=0+=0∪0=0 2=1+=1∪1=0,
1 3=2+=2∪2=0, 1, 2 … n+1=n+=0, 1, 2, 3, … , n.
定义: 设F是一个函数, Adom F, 对xA, 有F(x) A, 则称A在函数F下是封闭的. Peano系统是满足以下公理的有序三元组<M, F, e>, 其中M为一个集合, F为函数, e为首元素. 5条 公理为 (1) eM. (2) M在F是封闭的. (3) eranF. (4) F是单射. (5) 若M的子集A满足 ① eA ② A在F下是封闭的, 则A=M 定理. 设N为自然数集合, σ: N→N, 且σ(n)=n+, 则 <N,σ, 0>是Peano系统.
已知的基数按从小到大的次序排列就是 0, 1, …, n, …, 0, 1 (=20), 21, … 连续统假设:不存在基数k, 使得0 <k< 20.
一.自然数
定义: 对任意的自然数m和n. m<nmnn>m mnmnn≥m 定理. 对任意的自然数m和n, 下列三式有且仅有一 式成立： m<nm=nm>n（三歧性）。 注1：任何自然数都不是自己的元素。 注2：任何自然数都是它自己的子集。 注3: m<nmn.
x 0 x 1 x 1 2
n
,
n 1, 2 , 3 ,
x 取其他值
定理. (康托尔定理) (1) (N≈R) (2) 对任意的集合A, (A≈P(A)).
§3 有限集合与无限集合
定义:
集合A是有限集合, 当且仅当存在nN, 使nA. 否则, 称A为无限集. 定理1. 不存在与自己的真子集等势的自然数. 推论1. 不存在与自己的真子集等势的有限集合. 推论2. 任何与自己的真子集等势的集合是无限 集合. 推论3. 任何有限集合只与唯一的自然数等势.
定义:
指数运算
定义:
设⊙: NNN, 且对m, nN, <m, n>Em(n), 记作:mn.称⊙为N 上的指数运算.其中Em(0)=1, Em(n+)=Em(n) m. 例: 用定义计算32. 定理. 对m, nN, 有 m0=1 mn+=mnm.
性质
集合的等势
定义:
设A, B为两个集合, 如果存在A到B的双 射函数, 则称A和B等势, 记A≈B. 否则称A和B 不等势, 记(A≈B)或A≈B. 例: N偶=nnNn为偶数. N奇=nnNn为奇数. N2n=xx=2n nN. 则N≈ N偶, N≈ N奇, N≈N2n
定理.
设m, n, kN, 则 (1) m+(n+k)=(m+n)+k (2) m+n=n+m (3) m(n+k)=mn+mk (4) m(nk)=(mn) k (5) mn=nm
整数集合Z
定义:
对自然数集合N, 令 Z+=N-0. Z=<0, n>n Z+. Z= Z+∪0∪Z. 则称Z+的元素为正整数, Z的元素为负整数, Z的元素为整数.
例:
利用加法规则计算3+2
乘法
令 : NNN, 且对m, nN, <m, n>Mm(n), 记作Mm(n)=mn. 其中Mm(0)=0, Mm(n+)=Mm(n)+m, 则称 为N上的乘法运算. 例: 利用定义计算32. 定理. 设m, nN, 则 m0=0 (乘法规则1) mn+=mn+m (乘法规则2) 例: 利用乘法规则1和2重新计算32.
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0/2 0/3
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2/1
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3/1
3/2 3/3
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可以从0/1开始按照箭头指定次序排列Q中元素 所以N≈Q 。 2 另外 Z×Z≈N 如右图所示。 1
-3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3
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...Βιβλιοθήκη ......(0, 1)≈R. 解: x(0, 1), f(x)=tgπ 例: [0, 1]≈(0, 1)
例:
2x 1 2
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1 4 1 f (x) 2 x 4 x
§4 集合的基数
定义: 设A为任意一个集合, 用card(A)表示A中的元素 个数, 并称card(A)为集合A的基数. 作以下5条规定: (1) 对集合A, B, 规定 card(A)=card(B) AB (2) 对有限集合A, 规定与A等势的自然数n为A的基 数. 记作: card(A)=n. (3) 对自然数集合N, 规定 card(N)=0 (4) 对于实数集合R, 规定 card(R)=1 (5) 将0, 1, 2, … , 0, 1都称作基数. 其中自然数0, 1, 2, … 称为有限基数, 0, 1称为无限基数.
定理.
集合A是无限可数集合A可写成如下 的式{a1, a2, …, an, …}.
定理 (1) 可数集合的任何子集是可数集. 证: 设A可数, BA, 则BA,即 card B card A 0. (2) 两个可数集的并集和笛卡尔积是可数集. 证: A={a11, a12, …, a1n, …}, B={a21, a22, …, a2n, …}, A∪B={a11, a12, a21, a13, a22,…} (3) 若K是无限集合, 则P(K)是不可数的.
自然数的运算
加法 定义: 令+:N×NN, 且对m, nN <m, n>Am(n) 记Am(n)=m+n. 其中Am(0)=m, Am(n+)= (Am(n))+, 则称 +为N上的加法运算.
1. 例:
由加法定义计算3+2.
定理.
设m, nN, 则 0+m=m+0=m (加法规则1) m+n+=(m+n)+ (加法规则2) 证明: m+0=Am(0)=m. (定义) 0+m=A0(m)=A0((m-1)+)=… m+n+=Am (n+)=(Am(n))+=(m+n)+
例:
A={a, b, c}, B={{a}, {b}, {c}}. N偶={n | nN∧n为偶数}, N奇={n | nN∧n为奇数}
可数集合
定义1:
对集合K, 如果card K0, 则称K是可 数集合. 定义2: 如果集合K是有限的或与N等势, 则称 K是可数集合.
集合的基数
基数----集合中元素的个数.
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”
问题。
一.自然数
定义:
对任意集合A, 定义 A+=A∪A 称A+为A的后继, A为A+的前驱. 例: 若A=Ф, 则 Ф+= (Ф+)+=. ((Ф+)+)+=
一.自然数
定义:
N≈Z. 解: 取f: NZ, 且nN,
例:
n 1 2 f (n ) n 2 n 为奇数 n 为偶数
或,
取g: ZN, 对nZ
n 0 n 0 n 0
0 g (n ) 2 n 2 | n | 1
例: N≈Q. 因为每个有理数都可以写成一个分数形式如下：
集合0=Ф是一个自然数, 若集合n是一个 自然数, 则集合n+1=n+也是一个自然数.
0=Φ 1=0+=0∪0=0 2=1+=1∪1=0,
1 3=2+=2∪2=0, 1, 2 … n+1=n+=0, 1, 2, 3, … , n.
定义: 设F是一个函数, Adom F, 对xA, 有F(x) A, 则称A在函数F下是封闭的. Peano系统是满足以下公理的有序三元组<M, F, e>, 其中M为一个集合, F为函数, e为首元素. 5条 公理为 (1) eM. (2) M在F是封闭的. (3) eranF. (4) F是单射. (5) 若M的子集A满足 ① eA ② A在F下是封闭的, 则A=M 定理. 设N为自然数集合, σ: N→N, 且σ(n)=n+, 则 <N,σ, 0>是Peano系统.
已知的基数按从小到大的次序排列就是 0, 1, …, n, …, 0, 1 (=20), 21, … 连续统假设:不存在基数k, 使得0 <k< 20.
一.自然数
定义: 对任意的自然数m和n. m<nmnn>m mnmnn≥m 定理. 对任意的自然数m和n, 下列三式有且仅有一 式成立： m<nm=nm>n（三歧性）。 注1：任何自然数都不是自己的元素。 注2：任何自然数都是它自己的子集。 注3: m<nmn.
x 0 x 1 x 1 2
n
,
n 1, 2 , 3 ,
x 取其他值
定理. (康托尔定理) (1) (N≈R) (2) 对任意的集合A, (A≈P(A)).
§3 有限集合与无限集合
定义:
集合A是有限集合, 当且仅当存在nN, 使nA. 否则, 称A为无限集. 定理1. 不存在与自己的真子集等势的自然数. 推论1. 不存在与自己的真子集等势的有限集合. 推论2. 任何与自己的真子集等势的集合是无限 集合. 推论3. 任何有限集合只与唯一的自然数等势.
定义:
指数运算
定义:
设⊙: NNN, 且对m, nN, <m, n>Em(n), 记作:mn.称⊙为N 上的指数运算.其中Em(0)=1, Em(n+)=Em(n) m. 例: 用定义计算32. 定理. 对m, nN, 有 m0=1 mn+=mnm.
性质
集合的等势
定义:
设A, B为两个集合, 如果存在A到B的双 射函数, 则称A和B等势, 记A≈B. 否则称A和B 不等势, 记(A≈B)或A≈B. 例: N偶=nnNn为偶数. N奇=nnNn为奇数. N2n=xx=2n nN. 则N≈ N偶, N≈ N奇, N≈N2n
定理.
设m, n, kN, 则 (1) m+(n+k)=(m+n)+k (2) m+n=n+m (3) m(n+k)=mn+mk (4) m(nk)=(mn) k (5) mn=nm
整数集合Z
定义:
对自然数集合N, 令 Z+=N-0. Z=<0, n>n Z+. Z= Z+∪0∪Z. 则称Z+的元素为正整数, Z的元素为负整数, Z的元素为整数.
例:
利用加法规则计算3+2
乘法
令 : NNN, 且对m, nN, <m, n>Mm(n), 记作Mm(n)=mn. 其中Mm(0)=0, Mm(n+)=Mm(n)+m, 则称 为N上的乘法运算. 例: 利用定义计算32. 定理. 设m, nN, 则 m0=0 (乘法规则1) mn+=mn+m (乘法规则2) 例: 利用乘法规则1和2重新计算32.