高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公

3.1.1 两角差的余弦公式
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果是( ) A.1
2 B ．－12
C.32
D ．－
32
解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°) ＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝1
2.
答案：A
2．已知cos α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值等于( ) A.52
26 B ．－22
13
C ．－7226
D.32
13
解析：∵cos α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π， ∴sin α＝－12
13
，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝
22⎝ ⎛⎭⎪⎫513－1213＝－7226
. 答案：C
3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝513，0＜θ＜π3，则cos θ等于( ) A.53＋12
26
B.
12－53
13 C.5＋12326
D.
6＋53
13
解析：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1213.
又cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＝53＋1226. 答案：A
4．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010
，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π
6 B.π4
C.3π4
D.5
6
π 解析：因α，β均为锐角，且α<β， 所以－π
2<α－β<0，
所以sin(α－β)＝－25
5，
又0<2α<π，故sin 2α＝
310
10
， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2α·cos(α－β)＋sin 2α·sin(α－β) ＝
1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－255＝－22. 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝34π.
答案：C
5．不满足sin αsin β＝2
2
－cos αcos β的一组α，β值是( ) A ．α＝π2，β＝π
4
B ．α＝2π3，β＝5π
12
C ．α＝2π3，β＝π
12
D ．α＝π4，β＝π
2
解析：因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22
，经检验C 中的α，β不满足． 答案：C
6．已知cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝12cos α＋32sin α＝cos α， ∴
32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝3
3
. 答案：
3
3
7．已知a ＝(cos α，sin β)，b ＝(cos β，sin α)，0<β<α<π2，且a·b ＝1
2，则α－
β＝________.
解析：a·b ＝cos αcos β＋sin α·sin β ＝cos(α－β)＝1
2，
又0<β<α<π
2
，
所以0<α－β<π2，故α－β＝π
3.
答案：π
3
8．化简2cos 10°－sin 20°
cos 20°＝________.
解
析
：
2cos 10°－sin 20°
cos 20°
＝
－－sin 20°cos 20°
＝
3cos 20°＋sin 20°－sin 20°
cos 20°＝ 3.
答案： 3
9．已知sin θ＝15，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3的值． 解析：因为sin θ＝15，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，
所以cos θ＝－1－sin 2
θ＝－
1－125＝－26
5
. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos θcos π3＋sin θsin π3
＝－265×12＋15×3
2
＝
3－26
10
. [B 组 能力提升]
1．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2＋φ
＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A ．－
5
5
B.55
C.115
25
D. 5
解析：因为sin(π＋θ)＝－3
5，
所以sin θ＝3
5，
因为θ是第二象限角， 所以cos θ＝－4
5
.
因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－255， 所以cos φ＝－25
5
，
因为φ是第三象限角，所以sin φ＝－
55
， 所以cos(θ－φ)＝cos θ·cos φ＋sin θ·sin φ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋35×⎝ ⎛⎭⎪
⎫－55＝55. 答案：B
2．已知x ∈R ，sin x －cos x ＝m ，则m 的取值范围为( ) A ．－1≤m ≤1 B ．－2≤m ≤ 2 C ．－1≤m ≤ 2 D ．－2≤m ≤1
解析：sin x －cos x ＝2⎝
⎛⎭
⎪⎫
22sin x －22cos x
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 3π4sin x ＋cos 3π4
cos x
＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －3π4，
因为x ∈R ，所以x －3π
4
∈R ，
所以－1≤cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －3π4≤1，
所以－2≤m ≤ 2. 答案：B
3．已知cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.
解析：因为cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以sin α＝1－cos 2
α＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫152＝
265， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝15×12＋265×32＝1＋6210.
答案：1＋62
10
4．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－1
3，求cos(α－β)．
解析：∵cos α－cos β＝1
2，①
sin α－sin β＝－1
3，②
∴①2
＋②2
，
得(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2
＝14＋19
即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝13
36，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1336＝59
72，
∴cos(α－β)＝59
72
.
5．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；
(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝
⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，
f ⎝
⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝16
17
，求cos(α－β)的值．
解析：(1)由于函数f (x )的最小正周期为10π， 所以10π＝2πω，所以ω＝1
5.
(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，
所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝
⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－65，所以sin α＝35， 又因为f ⎝
⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝2cos β＝1617，
所以cos β＝8
17
，
因为α，β∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
所以 cos α＝45，sin β＝15
17
，
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×817＋35×1517＝77
85
.。