福建师大附中高二上学期期中考试数学(文)试题

福建师大附中20XX-20XX学年高二上学期期中考试
数学(文)试题
(总分值：150分，时间：120分钟)
说明：试卷分第I卷和第II卷两局部.，清将答案，填写在答卷上，考试结束后只交答案卷.
第I卷(选择题共60分)
•、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有•项是符合题目要求的.
1.在中，匕4 = 30。

,。

= 2,/; = 8,满足条件的A48C ( )
A.有一解
B.有两解
C.无，解
D.不能确定
2.以下命题中，正确的选项是( )
A.假设a > b .那么ac2 > be2:
B.-2 <3,1 < 入 < 2,那么一3 < a-b < 1
C.假设a > b>0jn>0.那么3<化，
D.假设。

〉b, c> d ,那么ac > M
a b
9 *
3.己知A=(A|A:2-2A >0｝,B=,那么AUB=( )
A・(1,2) B. (2,3) c・(f,0)U(l，斯)D・(f,0)Ud，2)
4 .在等差数列｛《｝中，《+%+%=27, S〃表示数列也』的前〃项和，那么S n=()
A. 18
B. 99
C. 198
D. 297
5.满足c = 2ocos8,那么AA8C的形状是()
A.等股三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
6.记等比数列0｝的前〃项和为S’，假设£=3,&=30,那么约=( )
角
A. 9
B. 27
C. -8
D. 8
7.在平面直角坐标系中，假设点(2J)在直线x-2y + 4 = 0的右下方区域包括边界，那么，的取值范围是 ( )
A./<3
B. r >3
C. f >3
D. Z<3 8 .某商场今年销告计算机5 000台.如果平均每年的销传量比上一年的销传量增加10%,那么从今年起,
大约( )年可以使总销传量到达30000台.(结果保存到个位)(参考数据
lgl.1 ^0.041, lg 1.6^0.20)
A.3
B.4
C.5
D.6
9.假设实数满足+,那么x2 +v2的最小值为()
A* < 0,
A. >/2
B. 2
C. —-
D.
2 2
10.如果方程・/+(〃—1)1+麻一2 = 0的两个实根一个小于0,另一个大于I.那么实数〃?的取值范围是
()
A. (1,75),
B. (-V2J)
C.(-V2,V2)
D.(L2)
11.以下命题正确的选项是( )
A.x/7 + Vi(j<x/3 + Vi4
B.对任意的实数X•都有/>x2-x+l恒成立.
C. y = 2x(2-x\(x>2)的最大值为 2
D. y= +x2(xe R)的最小值为 2
r+2
12.设0<人<1 + 〃,假设关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个，那么()
A. -I <a<0
B.Ovvvl CA<a<3 D.3< a <6
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题：木大题共5小题，每题4分，.共20分，把答案填在答题卡相应位置.
13. ________________________________ 己知S〃=2〃+3 ,那么弓= ・
的前〃项和为 _________
14.数列L—^——，…,]+ 2 + .・.+ 〃
15.己知三条线段的大小关系为：2<3<r,假设这三条线段能构成饨角三角形，
那么x的取值范围为_________
16.如以下图所示.从中间阴影算起，图1表示蜂巢有1层只有一个室，图2表示蜂巢有2层共有7个室.
图3表示蜂巢有3层共有19个室，图4表示蜂巢有4层共有37个室.观察蜂巢的室的规律，指出蜂巢有n层时共有______ 个室.
三、解答题：本大题共6小题，共的分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题总分值12分）
等差数列｛%｝满足§ =18,@ =l（）o
（I）求通项｛%｝的通项公式及&的最大值：
（1【）设如=a n+ 2” .求数列仇｝的其前n项和T n.
18.（本小题总分值12分）
A ABC的内的A、B、C所对的边分别为a.b、c且o = 5,sinA = Jj
5
（I）假设S：MRC=炳，求周长的最小值：（II）假设cosB = ：,求边c的值.
19.（本小题总分值12分）
福州市某大型家电商场为了使每月销传空调和冰箱获得的总利润到达最大,对某月即将出传的
问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供给量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？
20. （本小题总分值12分）
如下图，某房地产开发公司方案在一楼区内建造一个长方形公园ABCD.公园由长方形的休闲区
的面积为4000小2,人行道的宽分别为4m 10 nr.
（I ）设休闲区的长人刀=人•也， 求公园ABCD 所占面积S 关于X 的函数S （X ）的解析
（II ）要使公园ABCD 所占总面积最小，休闲区 LGQ 的长和宽该如何设计？
21. （本小题总分值12分）
某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 的O 北偏西30。

且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行 驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.
（I ）假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行时间应为多少小时？
（II ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟〉能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值：
22. （本小题总分值14分）
己知二次函数/(x)满足以下两个条件： ①不等式/(x)<0的解集是(・2, 0)
②函数f(A ・)在XG [1,2]±的最小值是3
(I) 求f(x)的解析式：
(II)
假设点(%%。

即 V)在函数/(A )的图象上，且q=99
ARCR （阴影局部）和环公园人行道组成.己知休
闲区 和
式:
(i )求证：数列｛Igd+q,)｝为等比数列
(ii)令" = lg(i + q),是否存在正实数X,使不等式kn2b n>(n+\)b^对于一切的勇 M恒成立？假设存在，指出k的取值范围：假设不存在，请说明理由.
参考答案
—» 713<X <5. 3 疽-3〃 + 1
〃 + 1
17.解：(1)...
2二疽。

,-修二' % …§的最大值为28
⑵席=2”+8小，./ = (2 + ...+ 2
" + 摆
=2，1 + 色三
18.解：(l)v= ：bcsin A =焰二.be = 10,/. I = b +c + 5 2>/bc +5 = 2*^0^ + 5, 当且仅当
b=c =应时.周长取到最小值为2面+ 5 (2) cosB= — >0.且 0<B<丸，.a . sinB= Jl-cos ： B =— 由正弦定理得,b=M ； si nA sinB 再由余弦定理得S = 】+c —2accos8即80 = c' + 25 - 6c = c = ll,或c = —2(舍去) 19•解:
设每月调进空调和冰箱分别为台，总利洵为 3x + 2y 《30
30x+20y<300
< 5x + 10y<110，即｛ x+2y<22 x>0, y>() (百元)那么由题意，得 • y x + 2y = 30 目标函数是z = 6x + 8y. 画图，得! 3X X=22的交点是脚'9)
5 \ 10 0 22
x>0, y>() z 心=6x4 + 8x9 = 96 (百元) 20. <1) A£ =x ， S 》…=4000 :.S⑴=(x+ 20)+ 8) (.r>0) 3x + 4y = 0 x
10(X)0 _____ (2) S(x) = 8(x+20)(—+ 1) =8(500 + x+-^ + 20) 28(52()+2。

1 (XXX)) = 5760 x x I (N)(X)
当且仅当4 = ---------- 即x = 100时取等号 答：当休闲区长人占=100皿宽G4=40〃】时，公园ABCD 所占总面积最小为5760〃? 2 21. (I)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，那么
CCCBA ADCCB DC a r = <
5,n =1
2%22‘
化简得：子=鹫-竺+ 9()()= 400(1-2)2+675
由于 0VlW1/2,即 1/1 W2 所以当』二2时，u 取
得最小值10应, 即小艇航行速度的最小值为10而海里/小时。

22 ft¥： ( I ) V / (x) <0的解集为(・2, 0),且/(x)是二次函救
.L 可设f (x) - ax (x + 2)(々>0),故/ (x)的对称轴为直线x = -1, ・.・/(X)•在［1, 2］上的最小值为.r(l)・3。

・3，
「・ a= 1 , (x) =x 2-*-2x .
(ID(i)*/ 点(a z .a^})在函数/(x) =”+2x 的图家上
•"-,贝IJ 1 + ^a*l —
(1 + a n ) 2
.・. lg(l + 々m) = 21g(l + %),又首项 lg( l+q) = lgl00 = 2
・•・数列(lg(l + aj)为等比数列，且公比为2 -
(ii)由上题可知如=也(1 + %) = 2气要使得不等式如茂,A (〃+1)方打叵成立，即
kn 1 一 2以-2 > 0对于一切的n e ."恒成运
令心一2〃+2 2(“+1)
2
令小 -* - (〃 + l)'-2("D + l-(〃 + !)+上-2‘
n + 1
・.・伽+ i)+J 在〃 e V 是单调屈增的，.・.伽+1)+L 的最小值为2 + ? = ?
w+1 ”+1 2 2
/(〃)姑.=-T — = 4
所以化> 4
2~2
法二：刀=1时，人一2 — 2>0成立，即土 >4
k
答:希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇的航行时间为1/3小时. (II)设小艇与轮船在B 处相遇
由题意可知，(vt) ' =20’ + (30 t) 2-2 • 20 • 30t • cos (90° -30° ), 当Ar>4时，由于对称轴直线〃 = !vl,且g(l) = A:-2-2>0,而函数，(x)在
(L+oo)是增函放，二不等式由->3+1)如恒成立即当k>4时，不等式切％ >伽+ 1)如.1对于一切的以eN*恒成立。