数列中的奇偶项问题(学生版)

数列中的奇偶项问题
一、真题剖析
【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=_____ ________
二、题型选讲
题型一、分段函数的奇偶项求和
例1.(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分10分)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S3= 7a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若b n=
a n，n为奇数，
n，n为偶数，
求数列{b
n
}的前2n项和T2n．
变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知等差数列{a n}前n项和为S n(n∈N+)，数列{b n}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；
(2)若c n=
2
S n,n为奇数b n,n为偶数
，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n.
变式2.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知数列a n 满足
a 12+a 222+⋅⋅⋅+a n 2n =n
2
n ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意的n ∈N ∗，令b n =2-n ,n 为奇数
22-n ,为偶数
，
求数列b n 的前n 项和S n ．
变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(10分)已知数列{a n }满足
n 2a n +1
2
+12，为正奇数，2a n 2+n 2
，n 为正偶数．
(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列?说明理由．(2
)求证：数列a 2
n
2n
是等差数列，
并求数列{a 2n
}的通项公式．
题型二、含有(-1)n类型
例2.【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.
(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；
(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.
变式1.【2022·广东省深圳市育才中学10月月考】已知数列a n
的前n项和为S n，且对任意正整数n，a n =34S n+2成立．
(1)b n=log2a n，求数列b n
的通项公式；
(2)设c n=-1
n+1n+1
b n b n+1，求数列
c n
的前n项和T n．
变式2.(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列a n 是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4
=16．
(1)求数列a n 的通项公式；
(2)若b n =-1 n 2a 2n +1log ，求数列b n 的前n 项和T n ．
变式3.(2022·湖北·黄冈中学二模)已知数列a n 中，a 1=2,n a n +1-a n =a n +1.(1)求证：数列a n +1
n
是常数数列；(2)令b n =(-1)n a n ,S n 为数列b n 的前n 项和，求使得S n ≤-99的n 的最小值.
题型三、a n+a n+1类型
例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n
前n项和为
满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.
(1)求数列a n
的通项公式；
和数列b n
(2)设c n=a n⋅b n，求c n
前2n项和T2n.
变式1.(2022·江苏苏州·高三期末)若数列a n
满足a n+m=a n+d(m∈N*，d是不等于0的常数)对任意n∈N*恒成立，则称a n
中，
是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列a n a1=1，a n+a n+1=4n+1(n∈N*)．
(1)求证：a n
是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2,a2022的值；
(2)若数列b n
的前n项和T n．
满足b n=a n+1-a n(n∈N*)，求b n
变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分)已知等差数列{a n}满足a n+a n+1= 4n，n∈N*．
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b1=1，b n+1=
a n，n为奇数，
-b n+2n，n为偶数，
求数列{b
n
}的前2n项和S2n．
三、追踪训练
1.(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*
)，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数．已知a n=2n，且f(m)=m，数列{b m}的前m项和S m，若S m=30，则m的值为()
A.9
B.11
C.12
D.14
2.【2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考】(多选题)已知数列a n
满足a n+1+a n=n⋅
-1 n n+1
2，其前n项和为S n，且m+S2019=-1009，则下列说法正确的是()
A.m为定值
B.m+a1为定值
C.S2019-a1为定值
D.ma1有最大值
3.(2022·江苏南通市区期中)(多选题)已知数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，则
A.{a2n-1}是等比数列
B.
5
i=1
a2i−1+2
=-10
C.{a2n}是等比数列
D.
10
i=1a i
=52
4.(2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n+1，则a1+a3+ a5+⋯+a99=．
5.(2021·天津红桥区·高三一模)已知数列a n 的前n 项和S n 满足：S n =2a n +(-1)n ，n ≥1.(1)求数列a n 的前3项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列a n +
2
3
⋅-1 n 是等比数列：(3)求数列(6n -3)⋅a n 的前n 项和T n .
6.(2022·山东烟台·高三期末)已知数列a n 满足a 1=4，a n +1=12a n
+n ,n =2k -1
a n -2n ,n =2k
(k ∈N *)．
(1)记b n =a 2n -2，证明：数列b n 为等比数列，
并求b n 的通项公式；(2)求数列a n 的前2n 项和S 2n ．。