广东省肇庆市实验中学高中数学(理)选修2-2学案：1.1.1变化率问题

1。

1。

1 变化率问题
一、学习要求
1．理解平均变化率的概念；会求函数在指定区间的平均变化率; 2．能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。

二、先学后讲 1．平均变化率
问题1：气球的膨胀率
气球的体积 V （单位:L )与半径 r （单位：dm ）之间的函数关系是：
V (r )=43
πr 3
； 将半径表示为体积的函数是： r (V )=√3V
4π
3。

当空气容量从 V 1 增加到 V 2 时，气球的平均膨胀率是：
r (V 2 )−r (V 1 )V 2 −V 1。

（当气球体积的增加量相同时，相应半径增加量越来越小，也
就是说“随着气球体积的增大,比值半径的增加量
体积的增加量
越来越小”。

这个比值就是气球的膨胀率。

）
2．高台跳水
运动员相对于水面的高度 ℎ(
跳后的时间 t （单位:s ℎ=−4.9t
2
+6.5t +10=−4.9(t −6598)2
+
当 t ∈[t 1，t 2] 时，运动员的平均速度是：
v̅=ℎ(t 2)
−ℎ(t
1)
t 2
−t
1。

3．函数的平均变化率
函数 y =f(x) 当自变量 x 从 x 1 到 x 2 的平均变化率是： ∆y ∆x =f (x 2)
−f( x 1
)x 2
−x
1。

【要点说明】
（1）∆x 是相对于 x1的一个增量,可用 x1+∆x 代替 x2，即x2=x1+∆x；
∆y=f(x2)−f( x1)=f(x1+∆x)−f( x1)，于是
∆y ∆x =f(x1+∆x)−f( x1)
∆x
;
(2）求函数平均变化率时，f(x)在 x1处有定义，∆x≠0 ；
（3）平均变化率可正、可负，也可以为0；
（4）求函数平均变化率的步骤：先计算 ∆x ；再计算 ∆y ；最后求商∆y
∆x
.
4．
函数 y=f(x)
∆y ∆x =f(x2)−f( x1)
x2−x1
的几何意义是：过曲线
上 A(x
1，f( x1)) ，B(x
2，f( x2))
的割线 AB 的斜率.
三、问题探究
■合作探究
例1．若自变量 x 的增量为 ∆x ,求下列函数的增量 ∆y ．（1）y=ax+b ；(2）y=lnx.
解：（1)∆y=f(x+∆x)−f( x)=[a(x+∆x)+b]−(ax+b)=a∆x；
（2）∆y=f(x+∆x)−f( x)=ln(x+∆x)−lnx=ln(1+∆x
x
) 。

例2．求函数 y=x2−2x+1 在 x=2 附近的平均变化率。

解：设自变量 x 在 x=2 附近的变化量为∆x ,则
∆y=f(2+∆x)−f( 2)=[(2+∆x)2−2(2+∆x)+1]−(22−4+1) =(∆x)2+2∆x，
∴函数的平均变化率为:∆y
∆x =(∆x)2+2∆x
∆x
=∆x+2 。

■自主探究
1.一物体运动方程是 S=2t2，则从2到(2+∆t)这段时间内位移的增量∆S=. （答案：8∆t+2(∆t)2）
2.已知函数 f(x)=2x2−1 的图象上一点(1，1) 及邻近一点 (1，f(1+∆x)) ，则
∆y
∆x
等于。

（答案：4+2∆x）
四、总结提升
本节课你主要学习了。

五、问题过关
1.函数 y=2x2+5 在区间 [2，2+∆x] 内的平均变化率是。

（答案：8+ 2∆x）
2．函数 f(x)=√2x 从 x=1
2到 x=2 的平均变化率为. (答案：2
3
）
3．质点运动规律 S=t2+3 ,则在时间 [3，3+∆t]中，质点的平均速度等于。

(答案:6+∆t)
4．已知函数 f(x)=ax+b 在区间[1，8]上的平均变化率为3，则 a=.
（
答
案
：
3）
5．已知函数 f(x)=x2−x 在区间 [1，t] 上的平均变化率为2，则 t=。

（答案：2）。