上海市宝山区2020届高三数学上学期期末教学质量监测试题

上海市宝山区2020届高三数学上学期期末教学质量监测试题
本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1. 设集合{}{}A B 234120123==，，，，，，，，则A B =I ．
2.
n n
n n
n lim 5757→∞-=+ ． 3. 函数y cos x 2
2(3)1π=-的最小正周期为 ．
4. 不等式
x x 2
11
+>+的解集为 ． 5. 若i
z i
23-+=
（其中i 为虚数单位），则Imz = ． 6. 若从五个数10123-，，，，中任选一个数m ，则使得函数f x m x 2
()(1)1=-+在R
上单调递增的概率为 ．（结果用最简分数表示）
7. 在n x
23
(
+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于 ．
8. 半径为4的圆内接三角形ABC 的面积是
1
16
，角A B C 、、所对应的边依次为a b c 、、，则abc 的值为 ．
9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线x y 22
125144
-=的右焦点是C 的焦点F ．若斜
率为1-，且过F 的直线与C 交于A B ，两点，则AB = ．
10. 直角坐标系xOy 内有点P Q (21)(02)---，、，，将ΔPOQ 绕x 轴旋转一周，则所得
几何体的体积为 ．
11. 给出函数g x x bx 2
()=-+，h x mx x 2
()4=-+-，这里b m x R ∈，，，若不等式
g x b ()10++≤（x R ∈）恒成立，h x ()4+为奇函数，
且函数()
()
g x x t f x h x x t ()
()()
⎧≤⎪=⎨>⎪⎩恰有两个零点，则实数t 的取值范围为 ．
12. 若n （n 3≥，n N *∈）个不同的点n n n Q a b Q a b Q a b 111222()()()L ，
、，、、，满足：n a a a 12<<<L ，则称点n Q Q Q 12L 、、、按横序排列．设四个实数k x x x 123，，，
使得k x x x x 22
31322()2-，，成等差数列，且两函数y x y x
2
1
3==+、
图象的所有．．交点P x y 111()，、P x y 222()，、P x y 333()，按横序排列，则实数k 的值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13. 关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341
310
+=⎧⎨
-=⎩的增广矩阵为 （ ）
（A ）3411
310-⎛⎫
⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3
411
3
10⎛⎫
⎪-⎝⎭ （D ）3411
3
10⎛⎫ ⎪⎝⎭
14. 设P P P P 1234，
，，为空间中的四个不同点，则“P P P P 1234，，，中有三点在同一条直线 上”是“P P P P 1234，
，，在同一个平面上”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15. 若函数y f x (2)=-
的图象与函数y log 2=的图象关于直线y x =对称，则
f x ()= （ ）
（A ）x 22
3
- （B ）x 21
3
- （C ）x
23
（D ）x 21
3
+
16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积．设：
数列甲：x x x 125L ，，，为递增数列，且i x N *∈（i 125=L ，，，）； 数列乙：y y y y y 12345，，，，满足{}i y 11∈-，（i 125=L ，
，，）．
c
a b 2
1141
11
---=- 则在甲、乙的所有内积中 （ ）
（A ）当且仅当1234513579x x x x x =====，
，，，时，存在16个不同的整数，它们同为奇数；
（B ）当且仅当12345246810x x x x x =====，
，，，时，存在16个不同的整数，它们同为偶数；
（C ）不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数； （D ）存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
如图，在长方体ABCD A B C D 1111-中，
已知AB BC 4==，DD 18=，M 为棱C D 11的中点． （1）求四棱锥M ABCD -的体积；
（2）求直线BM 与平面BCC B 11所成角的正切值．
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分 已知函数x f x sin 2
()122
=-． （1）求f x ()在322ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，上的单调递减区间； （2）设ΔABC 的内角A B C ，，所对应的边依次为a b c ，，，若
且f C 1
()2
=，求ΔABC 面积的最大值，并指出此时ΔABC 为何种类型的三角形．
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分8分．
设数列{}{}n n a b ，及函数f x ()（x R ∈），n n b f a ()=（n N *∈）．
（1）若等比数列{}
n a 满足a a 1213==，，f x x ()2=，求数列{}
n n b b 1+的前n （n N *∈）
项和；
（2）已知等差数列{}
n a 满足x a a f x q 1224()(1)λ===+，，（q λ、均为常数，q 0>，
且q 1≠），n n c n b b b 123()=+++++L （n N *∈）．试求实数对q ()λ，，使得{}
n c 成等比数列．
20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满
分6分．
设椭圆C ：x y a b
22
221+=（a b 0>>）过点(20)-，，且直线x y 510-+=过C 的左
焦点．
（1）求C 的方程；
（2）设x (3)，为C 上的任一点，记动点x y ()，的轨迹为Γ，Γ与x 轴的负半轴，y 轴
的正半轴分别交于点G H ，，C 的短轴端点关于直线y x =的对称点分别为F F 12，
．当点 P 在直线GH 上运动时，求PF PF 12⋅u u u r u u u r
的最小值；
（3）如图，直线l 经过C 的右焦点F ，并交C 于A B ，两点，且A ，B 在直线x 4=上的射影依次为D ，E ．当l 绕F 转动时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．
21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1题满分4分，第2题满分6分，第3题满
分8分．
设z C ∈，且()()
z Rez f z z Rez 0()0⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，，． （1）已知f z f z z i 2()()429+-=-+（z C ∈），求z 的值；
（2）设z （z C ∈）与Rez 均不为零，且n z 21≠-（n N *∈）．若存在k N 0*
∈，使得
()
()
k k f z f z 0
1
()2()+
≤，求证：f z f z 1
()2()
+
≤； （3）若z u 1=（u C ∈），n z f 1+=n z 2(n z +1)+（n N *
∈）．是否存在u ，使得数列z z 12L ，
，满足n m n z z +=（m 为常数，且m N *
∈）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的
u ；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．解：（1）因为长方体ABCD A B C D 1111-，所以点M 到平面ABCD 的距离就是
DD 18=，故四棱锥
M ABCD -的体积为M ABCD V -=
ABCD S DD =1112833
⋅⋅． （2）（如图）联结BC 1，BM ，因为长方体ABCD A B C D 1111-，且M C D 11∈， 所以MC 1⊥平面BCC B 11，故直线BM 与平面BCC B 11所成角就是MBC 1∠， 在Rt ΔMBC 1中，由已知可得MC C D 1111
22
=
=，BC BB B C 22111145=+= 因此，MC tan MBC BC 1115
10
45∠=
==
，即 直线BM 与平面BCC B 11所成角的正切值为5
10
．
18．解：（1）由题意可得f x cosx ()=，故f x ()在322ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，上的单调递减区间为2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
题号 1 2 3 4 5
6 答案 {}23， 1-
1
3
(1)-+∞，
2
25
题号 7
8 9 10
11
12 答案
405
1 104
4π
[20)[4)
-+∞U ，，
1
题号
13 14 15 16 答案 C A C D
（2）由已知可得a b 4+=，Q f C 1()2=
，∴cosC 12=，又C (0)π∈，，∴C 3
π=．故ΔABC S absinC 12
=
=a b 2
()2+≤
=a b 2==时取等号，即ΔABC 面
，此时ΔABC 是边长为2的正三角形．
19．解：（1）由已知可得n n a 13-=（n N *∈），故n n b 1
23-=⋅（n N *∈），所以
n n b b 1+n 2143-=⋅（n N *∈），从而{}n n b b 1+是以12为首项， 9为公比的等比数列，故数
列{}
n n b b 1+的前n 项和为
n
3(91)2
-（n N *∈）． （2）依题意得n a n 2=（n N *∈），所以n b n
q
2(1)λ=+（n N *∈），故
n c n q q n q q
q
2
2
22
2
3(1)11λλλ=+
++-
--
（n N *∈），令q q 2230110
λλ⎧+=⎪
-⎨⎪+=⎩
，解得q 1λ=-⎧⎪⎨=⎪⎩
（q 0=<舍去），因此，存在q ()(12λ=-，，
，使得数列{}n c 成等比数列，且n n c 33()4
=⋅（n N *∈）．
20． 解：（1）依题意可得a 2=，半焦距c 1=，从而b a c 2223=-=， 因此，椭圆C 的
方程为x y 22
143
+=． （2
）因为点x ()在C
上，所以
x 22
)143+=，故轨迹Γ：x y 2214
+=． 不妨
设F 1(0)
，F 20)，P x y ()，，
则PF x y 1()=-u u u r
，
，PF x y 2)=-u u u r
，．易得直线GH ：x y 220-+=，故
PF PF x y 22123⋅=+-u u u r u u u r y 24115()55=--，所以当y 4
5=，即点P 的坐标为24()55-，时，
PF PF 12⋅u u u r u u u r 取得最小值11
5
-．（或这样：因为点P 在直线GH 上运动，所以当OP GH ⊥
时，取得最小值，故x y 22+也取得
最小值，此时(
)
min
x y
2
22
45+==，易得对应点为垂足P 24()55-，，从而，PF PF 12⋅u u u r u u u r
的最小值为
(
)
min
PF PF 12
411
355
⋅=
-=-u u u r u u u r ．） （3）易得F (10)，，设l ：x my 1=+（m R ∈），A x y 11()，，B x y 22()，，则D y 1(4)，，E y 2(4)，，
由x y x my 22
1431⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得m y my 22(34)690++-=，显然Δm 2
144(1)0=+>，且m y y m 122634+=-
+，y y m 122
9
34
=-+．将x my 111=+代入直线AE 的方程：x y y y y x 1212(4)()()(4)--=--，并化简可得
my y y y y y y x y my y 121211211()2()5(3)0+++-+-+-=⎡⎤⎣⎦，将m y y m 122634+=-
+，y y m 122
9
34
=-+ 代入可得m m
m y x y my y m m m 1
11222966()(2)5(3)034
3434
⋅-
-
++-+-=+++，即 直线AE 的方程为m y m x +m my y 2
2
115
2(34)3()(34)(3)02
⎡⎤++-+-=⎣⎦，因为m y 1，
任意，所以直线AE 过定点5
(0)2，
．同理可得直线BD 也过定点5(0)2
，．
综上，当l 绕F 转动时，直线AE 与BD 相交于定点5
(0)2
，
．
21．解：（1）设z a bi =+（a b R ∈，）
，则Rez a =． 若a 0≥，则f z ()z =，由已知条件可得a bi i 329--=-+，a b R ∈Q ，，
a b 239-=-⎧∴⎨-=⎩，解得a b 2
3
=⎧⎨
=-⎩，z i 23∴=-． 若a 0<，则f z ()=z -，由已知条件可得a bi i 7529--=-+，a b R ∈Q ，，
∴a b 7259-=-⎧⎨-=⎩，解得a b 2795⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，但a 0<，故a b 279
5⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
舍去．
综上，得z i 23=-． （2）证明如下：令()
()
n
n n
t f z f z 1
()()=
+
，则n
n n t z z
1
=+
（n N *∈）． 假设f z f z 1
()2()
+
>，
即t 12>，因n z 21≠-（n N *∈），故n t 0>（n N *∈），于
是
n t 12+n t t 11
+<⋅n n z z z z
1111++=+
⋅+n n n n z z z z 2211++⎛
⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭n n n n z z z z
2
2
11++≤+
++n n t t 2+=+，即n n n t t t 122++<+ （n N *∈），亦即n n n n t t t t 121+++-<-，故数列{}
n n t t 1+-单调递增．又t 12>，故
t z z
2
22
1=+z z 212⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭z z 2
12≥+-t t 2112=->，即t t 21>，于是，
n n n n t t t t t t 11210+-->->>->L ．所以，对任意的n N *∈，均有n t t 12≥>，与题设
条件矛盾．因此，假设不成立，即f z f z 1
()2()
+
≤成立． （3）设存在u C ∈满足题设要求，令n n n n a Rez b Imz ==，
（n N *∈）．易得对一切
n N *∈，均有n a 0≥，且n n n n n n n
a a a
b b a b 22
111(21)++⎧=++-⎪
⎨
=+⎪⎩ （※）． （ｉ）若{}u i i ∈-，，则{}n z 显然为常数数列，故u i =±满足题设要求．
（ⅱ）若{}u i i ∉-，，则用数学归纳法可证：对任意n N *∈，n n a b ()∉，{}(01)(01)-，，，．
证明：当n 1=时，由{}u i i ∉-，，可知{}a b 11()(01)(01)∉-，，，，． 假设当n k =时，{}k k a b ()(01)(01)∉-，，，，．
那么，当n k 1=+时，
若k k a b 11()++∈，{}(01)(01)-，，，，则k a 10+=，k b 11+=．故k
k k a a b 22
10++-=，k k a b (21)1+=．（※※）
如果k a 0=，那么由k k a b ()∉，{}(01)(01)-，，，可知k b 1≠，这与（※※）矛盾．
如果k a 0>，那么由（※※）得k k k b a a 22
11=++>，即k b 1>，故k k a b 211+⋅>，
与（※※）矛盾．
因此，k k a b 11()++∉，{}(01)(01)-，，，．
综上可得，对任意n N *∈，n n a b ()∉，{}(01)(01)-，，，．
记n n n x a b 22
2=+（n N *∈），注意到
n n x x 1+-n n n n a b a b 222211(2)(2)++=+-+n
n n n n a a a a b 22222
2()2(1)0⎡⎤=++++-≥⎣⎦，即n n x x 10+-≥，当且仅当n n a b 20
1
=⎧⎪⎨=⎪⎩，亦即{}n n a b ()(01)(01)∈-，，，，时等号成立．于是，
有n n x x 1+<（n N *∈），进而对任意m ，n N *∈，均有n m n x x +>，所以n m n z z +≠．从而，此时的u {}i i ∉-，不满足要求．
综上，存在u i =±，使得数列z z 12L ，
，满足n m n z z +=（m 为常数，且m N *∈）对一切n N *
∈成立．。