2021-2022学年云南省名校联盟高一(上)期末数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年云南省名校联盟高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={0,1,2,3,5,6}，B={x|x=2n,n∈N}，则A∩B=()
A. {2,6}
B. {0,1,2}
C. {0,2,6}
D. {0,2,3,6}
2.函数y=√7−x+ln(x−4)的定义域为()
A. (4,7)
B. (4,7]
C. (−∞,7]
D. (4,+∞)
3.已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角(正角)的弧度数为()
A. 1
B. π
3C. 2 D. 2π
3
4.已知a=log35，b=π，c=2−0.1，则()
A. a<b<c
B. c<a<b
C. b<c<a
D. a<c<b
5.设p：sinα<√3
2，q：0<α<π
3
，则p是q的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.20世纪30年代，查尔斯⋅里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测
震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lgA−lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)，则里氏7.5级地震的最大振幅余里氏4级地震的最大振幅的比值约为()(参考数据：√10≈3.16.)
A. 790
B. 1580
C. 3160
D. 6320
7.已知角θ的终边经过点P(√2,−√7)，则cos(θ+π
3
)=()
A. √6+√7
6B. √6−√7
6
C. √2−√21
6
D. √2+√21
6
8.函数f(x)=3x−1
3x+1
cosx(−6≤x≤6)的图象大致为()
A.
B.
C.
D.
9. 将函数f(x)=cos(2x −π6)的图象向左平移π
6个单位长度后，得到函数g(x)的图象，
则( )
A. g(x +π
4)为奇函数
B. g(x)的图象关于直线x =π
6对称 C. g(x)的图象关于点(−π
12,0)对称
D. g(x)在(0,π
4)上单调递减
10. 已知sin(π
6−α)=1
5，则sin(2α+π
6)=( )
A. −23
25
B. 23
25
C. −7
25
D. 7
25
11. 已知定义在R 上的偶函数f(x)满足f(−x)=−f(2+x)，当−2≤x ≤0时，
f(x)单调递增，则( )
A. f(tan 7π24)<f(2021)<f(log 31
2) B. f(tan 7π24)<f(log 31
2)<f(2021) C. f(log 31
2)<f(2021)<f(tan 7π
24)
D. f(log 31
2)<f(tan 7π
24)<f(2021)
12. 设函数f(x)={
−x 2+4x,1>1,
2x +a,x ≤1,
则下列说法错误的是( )
A. 当a =1时，f(x)的值域为(−∞,4]
B. 当f(x)的单调递增区间为(−∞,2]时，a ≤1
C. 当1≤a ≤3时，函数g(x)=f(x)−3有2个零点
D. 当a =3时，关于x 的方程f(x)=7
2有3个实数解
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知a >0，b >0，且ab =2，则2a +b 的最小值为______，此时a +b =______． 14. 已知cos(α−π
2)cosβ=1
4，cosαsinβ=cos
7π3
，则sin(α+β)=______．
15. 已知幂函数f(x)的图象过点(−2,−8)，且f(a +1)≤−f(a −3)，则a 的取值范围是
______．
16.已知f(x)不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数f(x)：______．
①定义域为R；
)；
②f(x)=f(x+π
2
③1+f(2x)=2f2(x)；
)≠−1．
④f(π
4
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.求值：
(1)2512−(−3)2×(33
)−23+(π−√3)0，
8
(2)log62+log63+lg0.001+e3ln2．
18.已知非空集合A={x|2a−3<x<a}，B={x|x2−2x−8≤0}．
(1)当a=0时，求A∪B，A∩(∁R B)；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．
)的部分图象如图所示．
19.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π
2
(1)求f(x)的解析式；
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的m(m>1)倍(纵坐标不变)后，
)上有最大值，求m的取值范围．得到函数y=g(x)的图象，若g(x)在(0,π
3
20.已知函数f(x)=4x−a
，a>0．
4x+a
(1)判断f(x)的单调性，并用定义证明；
(2)若f(x)为奇函数，求关于x的不等式f(2ax)<f(4a)的解集．
21.已知函数f(x)=log a(x+2)+log a(1−x)(a>0且a≠1)．
(1)若a=3，求f(x)的单调区间；
(2)已知f(x)有最大值，且∀x∈(−2,1)，∃b∈[0,1]，f(x)<22b−1，求a的取值范
围．
22.已知函数f(x)=sinωx(ω>0)．
(1)若至少存在两个x0∈(0,π
2
)，使得f(x0)=1，求ω的取值范围；
(2)若f(x)再(π,5π
3)上单调递增，且存在m∈(π,5π
3
)，且存在f(m)<0，求ω的取值
集合．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A ={0,1,2,3,5,6}， B ={x|x =2n,n ∈N}， ∴A ∩B ={0,2,6}． 故选：C ．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：要使原函数有意义，则{7−x ≥0
x −4>0，解得4<x ≤7．
∴函数y =√7−x +ln(x −4)的定义域为(4,7]． 故选：B ．
由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设半径为r ，圆心角为α，面积S =1
2r 2α，则α=2S
r 2=2×932
=2．
故选：C ．
由已知利用扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵log 33<log 35<log 39=2，∴1<a <2， ∵0<2−0.1<20=1，∴0<c <1， ∴c <a <b ，
故选：B ．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
5.【答案】B
【解析】解：由sinα<√3
2
，可得2kπ−
5π3
<α<2kπ+π
3(k ∈Z)，
故由sinα<√3
2
，不能够推出0<α<π
3，
由0<α<π
3，可推出sinα<√3
2
，
故p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．
根据充要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查了充要条件的定义，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：设里氏7.5级地震的最大振幅余里氏4级地震的最大振幅分别为A 1，A 2， 则{lg A
1A 0=7.5lg A 2
A 0
=4
， 所以A 1=107.5A 0，A 2=104A 0， 故A 1
A 2
=
107.5104
=103.5=1000√10≈3160．
故选：C ．
根据题意列出关于对数的方程组，利用指数幂及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数与对数的相互转化即对数的运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵角θ的终边经过点P(√2,−√7)， ∴sinθ=√7√(√2)2+(−√7)2
=
−√73
，
cosθ=
√2
3
， ∴cos(θ+π
3)=1
2cosθ−√3
2
sinθ=
√2
6
+
√216
=
√2+√21
6
， 故选：D ．
利用三角函数的定义可求得sinθ与cosθ，再利用两角和的余弦即可求得cos(θ+π
3)的值． 本题考查三角函数的定义及两角和的余弦，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】 【分析】
结合函数奇偶性和函数值的对应性进行排除判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号的一致性，利用排除法是解决本题的关键． 【解答】 解：f(−x)=
3−x −13−x +1
cos(−x)=
1−3x 1+3x
cosx =−f(x)，且函数定义域关于原点对称，
即函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除，A ，B ， 当0<x <1时，cosx >0，3x −13x +1
=1−2
3x +1>0，排除C ，
故选：D ．
9.【答案】D
【解析】解：由题可知g(x)=cos(2x +π
6)， 则g(x +π
4)=cos(2x +
2π3
)不是奇函数，所以A 错误，
因为g(π
6)=0，g(−π
12)=1，所以B ，C 均错误， 故选：D ．
可先由题求出g(x)的解析式，再逐一判断选项即可．
本题考查了三角函数的图像及其性质，考查了逻辑推理的核心素养，属于中档题．
【解析】解：令t=π
6−α，故sint=1
5
，α=π
6
−t，
故sin(2α+π
6)=sin(π
2
−2t)=cos2t=1−2sin2t=23
25
．
故选：B．
利用换元法，结合倍角公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，利用换元法进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查抽象函数的应用，考查函数的周期性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，是中档题．
先由函数是偶函数结合f(−x)=−f(x+2)求得周期，再由−2≤x≤0时f(x)单调递增和函数的奇偶性，可知函数f(x)在0≤x≤2时单调递减，由三角函数及对数的运算性
质求得tan7π
24与log31
2
的范围，结合单调性得答案．
【解答】
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)=f(−x)，
又f(−x)=−f(x+2)，∴f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数，
则f(2021)=f(505×4+1)=f(1)，
∵π
4<7π
24
<π
3
，∴1<tan7π
24
<√3，
log31
2
=−log32∈(−1,0)，
∵当−2≤x≤0时，f(x)单调递增，∴当0≤x≤2时，f(x)单调递减．
∵|log31
2|<1<|tan7π
24
|，∴f(tan7π
24
)<f(2021)<f(log31
2
)．
故选：A．
【解析】解：A.当a =1时，f(x)={−x 2+4x,x >1
2x +1,x ≤1
，如图，
所以f(x)的值域为(−∞,4]，故A 正确； B .f(x)在(−∞,1]和(1,2]单调递增， 因为f(x)的单调递增区间是(−∞,2]， 所以2+a ≤−1+4，即a ≤1，故B 正确； C .当x >1时，由f(x)=3，得x =3，
当x ≤1时，令f(x)=2x +a =3，得2x =3−a ， 此方程有唯一解，得0<3−a ≤2，
即1≤a <3，此时函数有2个零点，故C 错误； D .当a =3时，函数图象y =f(x)与y =7
2如图所示，
由图可知，有3个交点，所以方程f(x)=7
2有3个解，故D 正确． 故选：C ．
根据图形和二次函数、指数函数的性质即可判断A 、D ； 根据分段函数的单调性求出a 的取值范围，进而判断B ； 根据函数零点与方程的解之间的关系判断C ．
本题考查了分段函数的值域、单调区间及与直线的交点、数形结合思想，属于基础题．
13.【答案】4 3
【解析】解：∵a >0，b >0，且ab =2， ∴2a +b ≥2√2ab =2√4=4， 当且仅当a =1，b =2时取等号， ∴2a +b 的最小值为4，此时a +b =3． 故答案为：4；3．
利用基本不等式求最值即可．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．
14.【答案】3
4
【解析】解：因为sinαcosβ=1
4，cosαsinβ=cos π
3=1
2， 所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=3
4， 故答案为：3
4．
依题意，利用两角和的正弦公式计算可得答案．
本题考查两角和的正弦公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】(−∞,1]
【解析】解：设幂函数f(x)=x α， 将点(−2,−8)代入函数的解析式得： (−2)α=−8=(−2)3，解得：α=3， 故f(x)=x 3，f(x)在R 上递增且是奇函数， 若f(a +1)≤−f(a −3)，则f(a +1)≤f(3−a)， 故a +1≤3−a ，解得：a ≤1， 故答案为：(−∞,1]．
设幂函数f(x)=x α，代入点的坐标，求出f(x)的解析式，结合函数的单调性和奇偶性得到关于a 的不等式，解出即可．
本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是基础题．
16.【答案】f(x)=cos8x(答案不唯一)
【解析】解：由题意得函数f(x)是以T =π
2为周期的周期函数， 由f(2x)=2f 2(x)−1联想三角函数二倍角公式，而f(π
4)≠−1． 故满足题意的函数可以是f(x)=cos8x ． 故答案为：f(x)=cos8x(答案不唯一)．
由已知结合三角函数的性质及相关结论即可求解．
本题主要考查了由函数性质求解函数解析式，解题的关键是函数性质的熟练掌握．
17.【答案】解：(1)251
2−(−3)2×(338
)−
2
3+(π−√3)0 =5−9×
(278
)−2
3+1=6−9×(3
2
)−2=6−4=2．
(2)log 62+log 63+lg0.001+e 3ln2 =log 66+lg10−3+e ln8=1−3+8=6．
【解析】利用指数，对数的性质与运算法则求解即可． 本题考查指数，对数的性质与运算法则，属于基础题．
18.
【答案】解：(1)A ={x|−3<x <0}，B ={x|(x +2)(x −4)≤0}={x|−2≤x ≤4}， 故A ∪B ={x|−3<x ≤4}， A ∩(∁R B)=(−3,−2)；
(2)根据题意得A ⊆B.∵A ≠⌀，∴{2a −3<a
2a −3≥−2a ≤4，
解得1
2≤a <3，故a 的取值范围[1
2,3)．
【解析】(1)根据集合交、并、补运算方法计算即可；(2)问题转化为A ⊆B 可解决此问题．
本题考查集合交、并、补运算及充分、必要条件应用，考查数学运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由图可知(3+1
4)T =
7π8
−(−5π24)=
13π12
，
则T =π
3=
2πω
，解得ω=6．
将点(−5π24,0) 代入f(x)=sin(6x +φ)，
可得−
5π4
+φ=kπ(k ∈Z)，
因为|φ|<π
2，所以φ=π
4．
故f(x)的解析式为f(x)=sin(6x +π
4). (2)依题意可得g(x)=sin(6
m x +π
4)，
因为g(x)在(0,π
3) 上有最大值，且当x ∈(0,π
3)时，6
m x +π
4∈(π4,2π
m +π
4)， 所以2π
m +π
4>π2，
又m >1，所以1<m <8． 即m 的取值范围是(1,8)．
【解析】本题考查了由y =sin(ωx +φ)的部分图像确定三角函数解析式，还考查了图像变换，属于较难题．
(1)由函数f(x)的部分图像先求出周期T ，然后求出ω的值，将特殊点代入可求求出φ的值，进而能够求出f(x)的解析式．
(2)由图像变换可以得到g(x)=sin(6
m x +π
4)，g(x)有最大值即为2π
m +π
4>π
2，可以求出m 的取值范围．
20.【答案】解：(1)函数f(x)在R 上单调递增．
证明：f(x)的定义域为R ，∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 有f(x 1)−f(x 2)=1−2a
4x 1+1−1+2a
4x 2+1=2a(4x 1−4x 2)
(4x 1+1)(4x 2+1)， 因为a >0，x 1−x 2<0，可得4
x 1
−4
x 2
<0，所以2a(4x 1−4x 2)
(4x 1+1)(4x 2+1)<0，即f(x 1)<f(x 2)，
所以函数f(x)在R 上单调递增．
(2)由题意得f(0)=0，即1−a =0，解得a =1． 则f(x)=
4x −14x +1
，可得f(−x)+f(x)=
4−x −14−x +1
+
4x −14x +1
=0，即f(−x)=−f(x)，
则f(x)为奇函数，
由(1)可知f(x)在R 上单调递增， 所以由f(2x )<f(4)，得2x <4， 解得x <2，
故不等式的解集为(−∞,2)．
【解析】(1)由单调性的定义和指数函数的单调性、不等式的性质可得结论； (2)由奇函数的性质可得f(0)=0，解方程可得a ，原不等式化为2x <4，解不等式可得所求解集．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由{x +2>01−x >0
，可得−2<x <1，即f(x)的定义域为(−2,1)，
当a =3时，f(x)=log 3(−x 2−x +2)， 令t =−x 2−x +2(−2<x <1)，则y =log 3t ，
由y =log 3t 在t ∈(0,+∞)递增，t =−x 2−x +2在(−2,−1
2)递增，在(−1
2,1)递减， 故f(x)的单调递增区间为(−2,−1
2)，单调递减区间为(−12,1)；
(2)f(x)=log a (−x 2−x +2)，t =−x 2−x +2=−(x +1
2)2+9
4，可得t ∈(0,9
4]， 因为f(x)有最大值，所以y =log a t 在(0,9
4]上有最大值， 则a >1，y max =log a 9
4，
因为b ∈[0,1]，所以22b−1∈[1
2,2]，
因为∀x ∈(−2,1)，∃b ∈[0,1]，f(x)<22b−1，所以log a 9
4<2， 所以a 2>9
4，解得a >3
2， 故a 的取值范围是(3
2,+∞)．
【解析】(1)求得f(x)的定义域，运用复合函数的单调性：同增异减，以及对数函数、二次函数的单调性，可得所求单调区间；
(2)由二次函数的最值求法，结合对数函数的单调性，判断a >1，可得f(x)的值域，再由指数函数的单调性可得22b−1的范围，由题意可得f(x)max <(22b−1)max ，解不等式可得所求范围．
本题考查复合函数的单调性和函数的最值，以及函数的任意性和存在性问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知，f(x)的图像在(0,π
2
)上至少有两个最高点．
因为x0∈(0,π
2)，ω>0，所以ωx0∈(0,ωπ
2
)，
因此ωπ
2>5π
2
，
解得ω>5，故ω的取值范围为(5,+∞)．
(2)依题意得5π
3−π≤1
2
×2π
ω
，又ω>0，所以0<ω≤3
2
．
当m∈(π,5π
3)时，ωm∈(ωπ,5ωπ
3
)，又∃m∈(π,5π
3
)，f(m)<0，所以2kπ−π
2
≤ωπ<
2kπ(k∈Z)，
即2k−1
2≤ω<2k(k∈Z).当k≤0或k≥2时，[2k−1
2
,2k)∩(0,3
2
]=⌀；
当k=1时，3
2≤ω<2，又0<ω≤3
2
，则ω=3
2
．
故ω的取值集合为{3
2
}．
【解析】(1)由题意知，f(x)的图像在(0,π
2)上至少有两个最高点，ωπ
2
>5π
2
，可得ω的取
值范围；
(2)依题意得5π
3−π≤1
2
×2π
ω
，可得0<ω≤3
2
，可得2kπ−π
2
≤ωπ<2kπ(k∈Z)，进而
可求ω的取值集合．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．。